Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recmulnq Structured version   Unicode version

Theorem recmulnq 8846
 Description: Relationship between reciprocal and multiplication on positive fractions. (Contributed by NM, 6-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
recmulnq

Proof of Theorem recmulnq
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5745 . . . 4
21a1i 11 . . 3
3 eleq1 2498 . . 3
42, 3syl5ibcom 213 . 2
5 id 21 . . . . . . 7
6 1nq 8810 . . . . . . 7
75, 6syl6eqel 2526 . . . . . 6
8 mulnqf 8831 . . . . . . . 8
98fdmi 5599 . . . . . . 7
10 0nnq 8806 . . . . . . 7
119, 10ndmovrcl 6236 . . . . . 6
127, 11syl 16 . . . . 5
1312simprd 451 . . . 4
14 elex 2966 . . . 4
1513, 14syl 16 . . 3
1615a1i 11 . 2
17 oveq1 6091 . . . . 5
1817eqeq1d 2446 . . . 4
19 oveq2 6092 . . . . 5
2019eqeq1d 2446 . . . 4
21 nqerid 8815 . . . . . . . . . 10
22 relxp 4986 . . . . . . . . . . . 12
23 elpqn 8807 . . . . . . . . . . . 12
24 1st2nd 6396 . . . . . . . . . . . 12
2522, 23, 24sylancr 646 . . . . . . . . . . 11
2625fveq2d 5735 . . . . . . . . . 10
2721, 26eqtr3d 2472 . . . . . . . . 9
2827oveq1d 6099 . . . . . . . 8
29 mulerpq 8839 . . . . . . . 8
3028, 29syl6eq 2486 . . . . . . 7
31 xp1st 6379 . . . . . . . . . . 11
3223, 31syl 16 . . . . . . . . . 10
33 xp2nd 6380 . . . . . . . . . . 11
3423, 33syl 16 . . . . . . . . . 10
35 mulpipq 8822 . . . . . . . . . 10
3632, 34, 34, 32, 35syl22anc 1186 . . . . . . . . 9
37 mulcompi 8778 . . . . . . . . . 10
3837opeq2i 3990 . . . . . . . . 9
3936, 38syl6eq 2486 . . . . . . . 8
4039fveq2d 5735 . . . . . . 7
41 nqerid 8815 . . . . . . . . 9
426, 41ax-mp 5 . . . . . . . 8
43 mulclpi 8775 . . . . . . . . . . 11
4432, 34, 43syl2anc 644 . . . . . . . . . 10
45 1nqenq 8844 . . . . . . . . . 10
4644, 45syl 16 . . . . . . . . 9
47 elpqn 8807 . . . . . . . . . . 11
486, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
49 opelxpi 4913 . . . . . . . . . . 11
5044, 44, 49syl2anc 644 . . . . . . . . . 10
51 nqereq 8817 . . . . . . . . . 10
5248, 50, 51sylancr 646 . . . . . . . . 9
5346, 52mpbid 203 . . . . . . . 8
5442, 53syl5reqr 2485 . . . . . . 7
5530, 40, 543eqtrd 2474 . . . . . 6
56 fvex 5745 . . . . . . 7
57 oveq2 6092 . . . . . . . 8
5857eqeq1d 2446 . . . . . . 7
5956, 58spcev 3045 . . . . . 6
6055, 59syl 16 . . . . 5
61 mulcomnq 8835 . . . . . . 7
62 mulassnq 8841 . . . . . . 7
63 mulidnq 8845 . . . . . . 7
646, 9, 10, 61, 62, 63caovmo 6287 . . . . . 6
65 eu5 2321 . . . . . 6
6664, 65mpbiran2 887 . . . . 5
6760, 66sylibr 205 . . . 4
68 cnvimass 5227 . . . . . . . 8
69 df-rq 8799 . . . . . . . 8
709eqcomi 2442 . . . . . . . 8
7168, 69, 703sstr4i 3389 . . . . . . 7
72 relxp 4986 . . . . . . 7
73 relss 4966 . . . . . . 7
7471, 72, 73mp2 9 . . . . . 6
7569eleq2i 2502 . . . . . . . 8
76 ffn 5594 . . . . . . . . 9
77 fniniseg 5854 . . . . . . . . 9
788, 76, 77mp2b 10 . . . . . . . 8
79 ancom 439 . . . . . . . . 9
80 ancom 439 . . . . . . . . . 10
81 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . 15
826, 81mpbiri 226 . . . . . . . . . . . . . 14
839, 10ndmovrcl 6236 . . . . . . . . . . . . . 14
8482, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
85 opelxpi 4913 . . . . . . . . . . . . 13
8684, 85syl 16 . . . . . . . . . . . 12
8784simpld 447 . . . . . . . . . . . 12
8886, 872thd 233 . . . . . . . . . . 11
8988pm5.32i 620 . . . . . . . . . 10
90 df-ov 6087 . . . . . . . . . . . 12
9190eqeq1i 2445 . . . . . . . . . . 11
9291anbi1i 678 . . . . . . . . . 10
9380, 89, 923bitr2ri 267 . . . . . . . . 9
9479, 93bitri 242 . . . . . . . 8
9575, 78, 943bitri 264 . . . . . . 7
9695a1i 11 . . . . . 6
9774, 96opabbi2dv 5025 . . . . 5
9897trud 1333 . . . 4
9918, 20, 67, 98fvopab3g 5805 . . 3
10099ex 425 . 2
1014, 16, 100pm5.21ndd 345 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wtru 1326  wex 1551   wceq 1653   wcel 1726  weu 2283  wmo 2284  cvv 2958   wss 3322  csn 3816  cop 3819   class class class wbr 4215  copab 4268   cxp 4879  ccnv 4880   cdm 4881  cima 4884   wrel 4886   wfn 5452  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084  c1st 6350  c2nd 6351  cnpi 8724   cmi 8726   cmpq 8729   ceq 8731  cnq 8732  c1q 8733  cerq 8734   cmq 8736  crq 8737 This theorem is referenced by:  recidnq  8847  recrecnq  8849  reclem3pr  8931 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-omul 6732  df-er 6908  df-ni 8754  df-mi 8756  df-lti 8757  df-mpq 8791  df-enq 8793  df-nq 8794  df-erq 8795  df-mq 8797  df-1nq 8798  df-rq 8799
 Copyright terms: Public domain W3C validator