MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recnz Unicode version

Theorem recnz 10277
Description: The reciprocal of a number greater than 1 is not an integer. (Contributed by NM, 3-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
recnz  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  ->  -.  ( 1  /  A
)  e.  ZZ )

Proof of Theorem recnz
StepHypRef Expression
1 recgt1i 9839 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  -> 
( 0  <  (
1  /  A )  /\  ( 1  /  A )  <  1
) )
21simprd 450 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  -> 
( 1  /  A
)  <  1 )
31simpld 446 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  -> 
0  <  ( 1  /  A ) )
4 0z 10225 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
5 zltp1le 10257 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( 1  /  A
)  e.  ZZ )  ->  ( 0  < 
( 1  /  A
)  <->  ( 0  +  1 )  <_  (
1  /  A ) ) )
64, 5mpan 652 . . . . 5  |-  ( ( 1  /  A )  e.  ZZ  ->  (
0  <  ( 1  /  A )  <->  ( 0  +  1 )  <_ 
( 1  /  A
) ) )
7 0p1e1 10025 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
87breq1i 4160 . . . . 5  |-  ( ( 0  +  1 )  <_  ( 1  /  A )  <->  1  <_  ( 1  /  A ) )
96, 8syl6bb 253 . . . 4  |-  ( ( 1  /  A )  e.  ZZ  ->  (
0  <  ( 1  /  A )  <->  1  <_  ( 1  /  A ) ) )
103, 9syl5ibcom 212 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  -> 
( ( 1  /  A )  e.  ZZ  ->  1  <_  ( 1  /  A ) ) )
11 1re 9023 . . . 4  |-  1  e.  RR
12 0lt1 9482 . . . . . . . 8  |-  0  <  1
13 0re 9024 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
14 lttr 9085 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <  A )  ->  0  <  A
) )
1513, 11, 14mp3an12 1269 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <  A )  ->  0  <  A
) )
1612, 15mpani 658 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
1  <  A  ->  0  <  A ) )
1716imdistani 672 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  -> 
( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )
18 gt0ne0 9425 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )
1917, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  ->  A  =/=  0 )
20 rereccl 9664 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =/=  0 )  -> 
( 1  /  A
)  e.  RR )
2119, 20syldan 457 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  -> 
( 1  /  A
)  e.  RR )
22 lenlt 9087 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 1  /  A
)  e.  RR )  ->  ( 1  <_ 
( 1  /  A
)  <->  -.  ( 1  /  A )  <  1 ) )
2311, 21, 22sylancr 645 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  -> 
( 1  <_  (
1  /  A )  <->  -.  ( 1  /  A
)  <  1 ) )
2410, 23sylibd 206 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  -> 
( ( 1  /  A )  e.  ZZ  ->  -.  ( 1  /  A )  <  1
) )
252, 24mt2d 111 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  ->  -.  ( 1  /  A
)  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1717    =/= wne 2550   class class class wbr 4153  (class class class)co 6020   RRcr 8922   0cc0 8923   1c1 8924    + caddc 8926    < clt 9053    <_ cle 9054    / cdiv 9609   ZZcz 10214
This theorem is referenced by:  halfnz  10280  facndiv  11506
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-n0 10154  df-z 10215
  Copyright terms: Public domain W3C validator