MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recnz Unicode version

Theorem recnz 10087
Description: The reciprocal of a number greater than 1 is not an integer. (Contributed by NM, 3-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
recnz  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  ->  -.  ( 1  /  A
)  e.  ZZ )

Proof of Theorem recnz
StepHypRef Expression
1 recgt1i 9653 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  -> 
( 0  <  (
1  /  A )  /\  ( 1  /  A )  <  1
) )
21simprd 449 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  -> 
( 1  /  A
)  <  1 )
31simpld 445 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  -> 
0  <  ( 1  /  A ) )
4 0z 10035 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
5 zltp1le 10067 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( 1  /  A
)  e.  ZZ )  ->  ( 0  < 
( 1  /  A
)  <->  ( 0  +  1 )  <_  (
1  /  A ) ) )
64, 5mpan 651 . . . . 5  |-  ( ( 1  /  A )  e.  ZZ  ->  (
0  <  ( 1  /  A )  <->  ( 0  +  1 )  <_ 
( 1  /  A
) ) )
7 0p1e1 9839 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
87breq1i 4030 . . . . 5  |-  ( ( 0  +  1 )  <_  ( 1  /  A )  <->  1  <_  ( 1  /  A ) )
96, 8syl6bb 252 . . . 4  |-  ( ( 1  /  A )  e.  ZZ  ->  (
0  <  ( 1  /  A )  <->  1  <_  ( 1  /  A ) ) )
103, 9syl5ibcom 211 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  -> 
( ( 1  /  A )  e.  ZZ  ->  1  <_  ( 1  /  A ) ) )
11 1re 8837 . . . 4  |-  1  e.  RR
12 0lt1 9296 . . . . . . . 8  |-  0  <  1
13 0re 8838 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
14 lttr 8899 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <  A )  ->  0  <  A
) )
1513, 11, 14mp3an12 1267 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <  A )  ->  0  <  A
) )
1612, 15mpani 657 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
1  <  A  ->  0  <  A ) )
1716imdistani 671 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  -> 
( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )
18 gt0ne0 9239 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )
1917, 18syl 15 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  ->  A  =/=  0 )
20 rereccl 9478 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =/=  0 )  -> 
( 1  /  A
)  e.  RR )
2119, 20syldan 456 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  -> 
( 1  /  A
)  e.  RR )
22 lenlt 8901 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 1  /  A
)  e.  RR )  ->  ( 1  <_ 
( 1  /  A
)  <->  -.  ( 1  /  A )  <  1 ) )
2311, 21, 22sylancr 644 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  -> 
( 1  <_  (
1  /  A )  <->  -.  ( 1  /  A
)  <  1 ) )
2410, 23sylibd 205 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  -> 
( ( 1  /  A )  e.  ZZ  ->  -.  ( 1  /  A )  <  1
) )
252, 24mt2d 109 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  ->  -.  ( 1  /  A
)  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    < clt 8867    <_ cle 8868    / cdiv 9423   ZZcz 10024
This theorem is referenced by:  halfnz  10090  facndiv  11301
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025
  Copyright terms: Public domain W3C validator