MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recnz Structured version   Unicode version

Theorem recnz 10337
Description: The reciprocal of a number greater than 1 is not an integer. (Contributed by NM, 3-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
recnz  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  ->  -.  ( 1  /  A
)  e.  ZZ )

Proof of Theorem recnz
StepHypRef Expression
1 recgt1i 9899 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  -> 
( 0  <  (
1  /  A )  /\  ( 1  /  A )  <  1
) )
21simprd 450 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  -> 
( 1  /  A
)  <  1 )
31simpld 446 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  -> 
0  <  ( 1  /  A ) )
4 0z 10285 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
5 zltp1le 10317 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( 1  /  A
)  e.  ZZ )  ->  ( 0  < 
( 1  /  A
)  <->  ( 0  +  1 )  <_  (
1  /  A ) ) )
64, 5mpan 652 . . . . 5  |-  ( ( 1  /  A )  e.  ZZ  ->  (
0  <  ( 1  /  A )  <->  ( 0  +  1 )  <_ 
( 1  /  A
) ) )
7 0p1e1 10085 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
87breq1i 4211 . . . . 5  |-  ( ( 0  +  1 )  <_  ( 1  /  A )  <->  1  <_  ( 1  /  A ) )
96, 8syl6bb 253 . . . 4  |-  ( ( 1  /  A )  e.  ZZ  ->  (
0  <  ( 1  /  A )  <->  1  <_  ( 1  /  A ) ) )
103, 9syl5ibcom 212 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  -> 
( ( 1  /  A )  e.  ZZ  ->  1  <_  ( 1  /  A ) ) )
11 1re 9082 . . . 4  |-  1  e.  RR
12 0lt1 9542 . . . . . . . 8  |-  0  <  1
13 0re 9083 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
14 lttr 9144 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <  A )  ->  0  <  A
) )
1513, 11, 14mp3an12 1269 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <  A )  ->  0  <  A
) )
1612, 15mpani 658 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
1  <  A  ->  0  <  A ) )
1716imdistani 672 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  -> 
( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )
18 gt0ne0 9485 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )
1917, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  ->  A  =/=  0 )
20 rereccl 9724 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =/=  0 )  -> 
( 1  /  A
)  e.  RR )
2119, 20syldan 457 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  -> 
( 1  /  A
)  e.  RR )
22 lenlt 9146 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 1  /  A
)  e.  RR )  ->  ( 1  <_ 
( 1  /  A
)  <->  -.  ( 1  /  A )  <  1 ) )
2311, 21, 22sylancr 645 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  -> 
( 1  <_  (
1  /  A )  <->  -.  ( 1  /  A
)  <  1 ) )
2410, 23sylibd 206 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  -> 
( ( 1  /  A )  e.  ZZ  ->  -.  ( 1  /  A )  <  1
) )
252, 24mt2d 111 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  ->  -.  ( 1  /  A
)  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725    =/= wne 2598   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    < clt 9112    <_ cle 9113    / cdiv 9669   ZZcz 10274
This theorem is referenced by:  halfnz  10340  facndiv  11571
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275
  Copyright terms: Public domain W3C validator