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Theorem reconn 18861
Description: A subset of the reals is connected iff it has the interval property. (Contributed by Jeff Hankins, 15-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
reconn  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  e.  Con  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x [,] y )  C_  A
) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem reconn
Dummy variables  b 
c  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reconnlem1 18859 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x [,] y
)  C_  A )
21ralrimivva 2800 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  (
( topGen `  ran  (,) )t  A
)  e.  Con )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x [,] y
)  C_  A )
32ex 425 . 2  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  e.  Con  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A ) )
4 n0 3639 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  i^i  A )  =/=  (/)  <->  E. b  b  e.  ( u  i^i  A
) )
5 n0 3639 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  i^i  A )  =/=  (/)  <->  E. c  c  e.  ( v  i^i  A
) )
64, 5anbi12i 680 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( u  i^i  A
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  A )  =/=  (/) )  <->  ( E. b  b  e.  (
u  i^i  A )  /\  E. c  c  e.  ( v  i^i  A
) ) )
7 eeanv 1938 . . . . . . . . 9  |-  ( E. b E. c ( b  e.  ( u  i^i  A )  /\  c  e.  ( v  i^i  A ) )  <->  ( E. b  b  e.  (
u  i^i  A )  /\  E. c  c  e.  ( v  i^i  A
) ) )
8 simplll 736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  ->  A  C_  RR )
9 inss2 3564 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  i^i  A )  C_  A
10 simprll 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  -> 
b  e.  ( u  i^i  A ) )
119, 10sseldi 3348 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  -> 
b  e.  A )
128, 11sseldd 3351 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  -> 
b  e.  RR )
13 inss2 3564 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  i^i  A )  C_  A
14 simprlr 741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  -> 
c  e.  ( v  i^i  A ) )
1513, 14sseldi 3348 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  -> 
c  e.  A )
168, 15sseldd 3351 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  -> 
c  e.  RR )
178adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  b  <_  c )  ->  A  C_  RR )
18 simplrl 738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  ->  u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
1918ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  b  <_  c )  ->  u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
20 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  -> 
v  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
2120ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  b  <_  c )  -> 
v  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
22 simpllr 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  b  <_  c )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x [,] y
)  C_  A )
2310adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  b  <_  c )  -> 
b  e.  ( u  i^i  A ) )
2414adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  b  <_  c )  -> 
c  e.  ( v  i^i  A ) )
25 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  b  <_  c )  -> 
( u  i^i  v
)  C_  ( RR  \  A ) )
26 simpr 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  b  <_  c )  -> 
b  <_  c )
27 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  sup (
( u  i^i  (
b [,] c ) ) ,  RR ,  <  )  =  sup (
( u  i^i  (
b [,] c ) ) ,  RR ,  <  )
2817, 19, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27reconnlem2 18860 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  b  <_  c )  ->  -.  A  C_  ( u  u.  v ) )
298adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  c  <_  b )  ->  A  C_  RR )
3020ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  c  <_  b )  -> 
v  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
3118ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  c  <_  b )  ->  u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
32 simpllr 737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  c  <_  b )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x [,] y
)  C_  A )
3314adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  c  <_  b )  -> 
c  e.  ( v  i^i  A ) )
3410adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  c  <_  b )  -> 
b  e.  ( u  i^i  A ) )
35 incom 3535 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  i^i  u )  =  ( u  i^i  v
)
36 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  c  <_  b )  -> 
( u  i^i  v
)  C_  ( RR  \  A ) )
3735, 36syl5eqss 3394 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  c  <_  b )  -> 
( v  i^i  u
)  C_  ( RR  \  A ) )
38 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  c  <_  b )  -> 
c  <_  b )
39 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  sup (
( v  i^i  (
c [,] b ) ) ,  RR ,  <  )  =  sup (
( v  i^i  (
c [,] b ) ) ,  RR ,  <  )
4029, 30, 31, 32, 33, 34, 37, 38, 39reconnlem2 18860 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  c  <_  b )  ->  -.  A  C_  ( v  u.  u ) )
41 uncom 3493 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  u.  u )  =  ( u  u.  v
)
4241sseq2i 3375 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
C_  ( v  u.  u )  <->  A  C_  (
u  u.  v ) )
4340, 42sylnib 297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  c  <_  b )  ->  -.  A  C_  ( u  u.  v ) )
4412, 16, 28, 43lecasei 9181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  ->  -.  A  C_  ( u  u.  v ) )
4544exp32 590 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  -> 
( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  ->  (
( u  i^i  v
)  C_  ( RR  \  A )  ->  -.  A  C_  ( u  u.  v ) ) ) )
4645exlimdvv 1648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  -> 
( E. b E. c ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  ->  (
( u  i^i  v
)  C_  ( RR  \  A )  ->  -.  A  C_  ( u  u.  v ) ) ) )
477, 46syl5bir 211 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  -> 
( ( E. b 
b  e.  ( u  i^i  A )  /\  E. c  c  e.  ( v  i^i  A ) )  ->  ( (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
)  ->  -.  A  C_  ( u  u.  v
) ) ) )
486, 47syl5bi 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  -> 
( ( ( u  i^i  A )  =/=  (/)  /\  ( v  i^i 
A )  =/=  (/) )  -> 
( ( u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A )  ->  -.  A  C_  ( u  u.  v ) ) ) )
4948exp3a 427 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  -> 
( ( u  i^i 
A )  =/=  (/)  ->  (
( v  i^i  A
)  =/=  (/)  ->  (
( u  i^i  v
)  C_  ( RR  \  A )  ->  -.  A  C_  ( u  u.  v ) ) ) ) )
50493impd 1168 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  -> 
( ( ( u  i^i  A )  =/=  (/)  /\  ( v  i^i 
A )  =/=  (/)  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) )  ->  -.  A  C_  ( u  u.  v ) ) )
5150ex 425 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x [,] y
)  C_  A  ->  ( ( ( u  i^i 
A )  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  A )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A ) )  ->  -.  A  C_  ( u  u.  v
) ) ) )
5251ralrimdvva 2803 . . 3  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A  ->  A. u  e.  ( topGen `  ran  (,) ) A. v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
( ( ( u  i^i  A )  =/=  (/)  /\  ( v  i^i 
A )  =/=  (/)  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) )  ->  -.  A  C_  ( u  u.  v ) ) ) )
53 retopon 18799 . . . 4  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
54 connsub 17486 . . . 4  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  A  C_  RR )  ->  ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  e.  Con  <->  A. u  e.  ( topGen `  ran  (,) ) A. v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
( ( ( u  i^i  A )  =/=  (/)  /\  ( v  i^i 
A )  =/=  (/)  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) )  ->  -.  A  C_  ( u  u.  v ) ) ) )
5553, 54mpan 653 . . 3  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  e.  Con  <->  A. u  e.  ( topGen `  ran  (,) ) A. v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
( ( ( u  i^i  A )  =/=  (/)  /\  ( v  i^i 
A )  =/=  (/)  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) )  ->  -.  A  C_  ( u  u.  v ) ) ) )
5652, 55sylibrd 227 . 2  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A  ->  (
( topGen `  ran  (,) )t  A
)  e.  Con )
)
573, 56impbid 185 1  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  e.  Con  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x [,] y )  C_  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wex 1551    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707    \ cdif 3319    u. cun 3320    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   class class class wbr 4214   ran crn 4881   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   supcsup 7447   RRcr 8991    < clt 9122    <_ cle 9123   (,)cioo 10918   [,]cicc 10921   ↾t crest 13650   topGenctg 13667  TopOnctopon 16961   Conccon 17476
This theorem is referenced by:  retopcon  18862  iccconn  18863  rescon  24935  iooscon  24936  iccllyscon  24939  ivthALT  26340
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-ico 10924  df-icc 10925  df-seq 11326  df-exp 11385  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-rest 13652  df-topgen 13669  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-cld 17085  df-con 17477
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