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Theorem reconnlem1 18331
Description: Lemma for reconn 18333. Connectedness in the reals-easy direction. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
reconnlem1  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  -> 
( X [,] Y
)  C_  A )

Proof of Theorem reconnlem1
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 731 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  -> 
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  e.  Con )
2 retopon 18272 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
32a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
)
4 simplll 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  A  C_  RR )
5 iooretop 18275 . . . . . . 7  |-  (  -oo (,) z )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
65a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
(  -oo (,) z )  e.  ( topGen `  ran  (,) ) )
7 iooretop 18275 . . . . . . 7  |-  ( z (,)  +oo )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
87a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( z (,)  +oo )  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
9 simplrl 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  X  e.  A )
104, 9sseldd 3181 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  X  e.  RR )
11 mnflt 10464 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  RR  ->  -oo  <  X )
1210, 11syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  -oo  <  X )
13 eldifn 3299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A )  ->  -.  z  e.  A )
1413adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  -.  z  e.  A
)
15 eleq1 2343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  =  z  ->  ( X  e.  A  <->  z  e.  A ) )
169, 15syl5ibcom 211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( X  =  z  ->  z  e.  A
) )
1714, 16mtod 168 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  -.  X  =  z
)
18 eldifi 3298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A )  ->  z  e.  ( X [,] Y
) )
1918adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
z  e.  ( X [,] Y ) )
20 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  Y  e.  A )
214, 20sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  Y  e.  RR )
22 elicc2 10715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( z  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( z  e.  RR  /\  X  <_  z  /\  z  <_  Y ) ) )
2310, 21, 22syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( z  e.  ( X [,] Y )  <-> 
( z  e.  RR  /\  X  <_  z  /\  z  <_  Y ) ) )
2419, 23mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( z  e.  RR  /\  X  <_  z  /\  z  <_  Y ) )
2524simp2d 968 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  X  <_  z )
2624simp1d 967 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
z  e.  RR )
2710, 26leloed 8962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( X  <_  z  <->  ( X  <  z  \/  X  =  z ) ) )
2825, 27mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( X  <  z  \/  X  =  z
) )
2928ord 366 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( -.  X  < 
z  ->  X  =  z ) )
3017, 29mt3d 117 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  X  <  z )
31 mnfxr 10456 . . . . . . . . 9  |-  -oo  e.  RR*
3226rexrd 8881 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
z  e.  RR* )
33 elioo2 10697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  ->  ( X  e.  (  -oo (,) z )  <->  ( X  e.  RR  /\  -oo  <  X  /\  X  <  z
) ) )
3431, 32, 33sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( X  e.  ( 
-oo (,) z )  <->  ( X  e.  RR  /\  -oo  <  X  /\  X  <  z
) ) )
3510, 12, 30, 34mpbir3and 1135 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  X  e.  (  -oo (,) z ) )
36 inelcm 3509 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  (  -oo (,) z )  /\  X  e.  A )  ->  (
(  -oo (,) z )  i^i  A )  =/=  (/) )
3735, 9, 36syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( (  -oo (,) z )  i^i  A
)  =/=  (/) )
38 eleq1 2343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  Y  ->  (
z  e.  A  <->  Y  e.  A ) )
3920, 38syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( z  =  Y  ->  z  e.  A
) )
4014, 39mtod 168 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  -.  z  =  Y
)
4124simp3d 969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
z  <_  Y )
4226, 21leloed 8962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( z  <_  Y  <->  ( z  <  Y  \/  z  =  Y )
) )
4341, 42mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( z  <  Y  \/  z  =  Y
) )
4443ord 366 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( -.  z  < 
Y  ->  z  =  Y ) )
4540, 44mt3d 117 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
z  <  Y )
46 ltpnf 10463 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  RR  ->  Y  <  +oo )
4721, 46syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  Y  <  +oo )
48 pnfxr 10455 . . . . . . . . 9  |-  +oo  e.  RR*
49 elioo2 10697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  ( Y  e.  ( z (,)  +oo )  <->  ( Y  e.  RR  /\  z  < 
Y  /\  Y  <  +oo ) ) )
5032, 48, 49sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( Y  e.  ( z (,)  +oo )  <->  ( Y  e.  RR  /\  z  <  Y  /\  Y  <  +oo ) ) )
5121, 45, 47, 50mpbir3and 1135 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  Y  e.  ( z (,)  +oo ) )
52 inelcm 3509 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  ( z (,)  +oo )  /\  Y  e.  A )  ->  (
( z (,)  +oo )  i^i  A )  =/=  (/) )
5351, 20, 52syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( ( z (,) 
+oo )  i^i  A
)  =/=  (/) )
54 inss1 3389 . . . . . . 7  |-  ( ( (  -oo (,) z
)  i^i  ( z (,)  +oo ) )  i^i 
A )  C_  (
(  -oo (,) z )  i^i  ( z (,) 
+oo ) )
5532, 31jctil 523 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
(  -oo  e.  RR*  /\  z  e.  RR* ) )
5632, 48jctir 524 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( z  e.  RR*  /\ 
+oo  e.  RR* ) )
5726leidd 9339 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
z  <_  z )
58 ioodisj 10765 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (  -oo  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( z  e. 
RR*  /\  +oo  e.  RR* ) )  /\  z  <_  z )  ->  (
(  -oo (,) z )  i^i  ( z (,) 
+oo ) )  =  (/) )
5955, 56, 57, 58syl21anc 1181 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( (  -oo (,) z )  i^i  (
z (,)  +oo ) )  =  (/) )
60 sseq0 3486 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( (  -oo (,) z )  i^i  (
z (,)  +oo ) )  i^i  A )  C_  ( (  -oo (,) z )  i^i  (
z (,)  +oo ) )  /\  ( (  -oo (,) z )  i^i  (
z (,)  +oo ) )  =  (/) )  ->  (
( (  -oo (,) z )  i^i  (
z (,)  +oo ) )  i^i  A )  =  (/) )
6154, 59, 60sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( ( (  -oo (,) z )  i^i  (
z (,)  +oo ) )  i^i  A )  =  (/) )
6231a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  -oo  e.  RR* )
6348a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  +oo  e.  RR* )
64 mnflt 10464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  RR  ->  -oo  <  z )
6526, 64syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  -oo  <  z )
66 ltpnf 10463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  RR  ->  z  <  +oo )
6726, 66syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
z  <  +oo )
68 ioojoin 10766 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  -oo  e.  RR*  /\  z  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  /\  (  -oo  <  z  /\  z  <  +oo ) )  -> 
( ( (  -oo (,) z )  u.  {
z } )  u.  ( z (,)  +oo ) )  =  ( 
-oo (,)  +oo ) )
6962, 32, 63, 65, 67, 68syl32anc 1190 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( ( (  -oo (,) z )  u.  {
z } )  u.  ( z (,)  +oo ) )  =  ( 
-oo (,)  +oo ) )
70 unass 3332 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  -oo (,) z
)  u.  { z } )  u.  (
z (,)  +oo ) )  =  ( (  -oo (,) z )  u.  ( { z }  u.  ( z (,)  +oo ) ) )
71 un12 3333 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 
-oo (,) z )  u.  ( { z }  u.  ( z (,) 
+oo ) ) )  =  ( { z }  u.  ( ( 
-oo (,) z )  u.  ( z (,)  +oo ) ) )
7270, 71eqtri 2303 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  -oo (,) z
)  u.  { z } )  u.  (
z (,)  +oo ) )  =  ( { z }  u.  ( ( 
-oo (,) z )  u.  ( z (,)  +oo ) ) )
73 ioomax 10724 . . . . . . . . 9  |-  (  -oo (,) 
+oo )  =  RR
7469, 72, 733eqtr3g 2338 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( { z }  u.  ( (  -oo (,) z )  u.  (
z (,)  +oo ) ) )  =  RR )
754, 74sseqtr4d 3215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  A  C_  ( { z }  u.  ( ( 
-oo (,) z )  u.  ( z (,)  +oo ) ) ) )
76 disjsn 3693 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  A )
7714, 76sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( A  i^i  {
z } )  =  (/) )
78 disjssun 3512 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  { z } )  =  (/)  ->  ( A  C_  ( { z }  u.  ( (  -oo (,) z )  u.  (
z (,)  +oo ) ) )  <->  A  C_  ( ( 
-oo (,) z )  u.  ( z (,)  +oo ) ) ) )
7977, 78syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  -> 
( A  C_  ( { z }  u.  ( (  -oo (,) z )  u.  (
z (,)  +oo ) ) )  <->  A  C_  ( ( 
-oo (,) z )  u.  ( z (,)  +oo ) ) ) )
8075, 79mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  A  C_  ( (  -oo (,) z )  u.  (
z (,)  +oo ) ) )
813, 4, 6, 8, 37, 53, 61, 80nconsubb 17149 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  /\  z  e.  ( ( X [,] Y )  \  A ) )  ->  -.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  e.  Con )
8281ex 423 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  -> 
( z  e.  ( ( X [,] Y
)  \  A )  ->  -.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  Con ) )
831, 82mt2d 109 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  ->  -.  z  e.  (
( X [,] Y
)  \  A )
)
8483eq0rdv 3489 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  -> 
( ( X [,] Y )  \  A
)  =  (/) )
85 ssdif0 3513 . 2  |-  ( ( X [,] Y ) 
C_  A  <->  ( ( X [,] Y )  \  A )  =  (/) )
8684, 85sylibr 203 1  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A ) )  -> 
( X [,] Y
)  C_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   class class class wbr 4023   ran crn 4690   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736    +oocpnf 8864    -oocmnf 8865   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868   (,)cioo 10656   [,]cicc 10659   ↾t crest 13325   topGenctg 13342  TopOnctopon 16632   Conccon 17137
This theorem is referenced by:  reconn  18333
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cld 16756  df-con 17138
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