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Theorem reconnlem2 18546
Description: Lemma for reconn 18547. (Contributed by Jeff Hankins, 17-Aug-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
reconnlem2.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
reconnlem2.2  |-  ( ph  ->  U  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
reconnlem2.3  |-  ( ph  ->  V  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
reconnlem2.4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x [,] y
)  C_  A )
reconnlem2.5  |-  ( ph  ->  B  e.  ( U  i^i  A ) )
reconnlem2.6  |-  ( ph  ->  C  e.  ( V  i^i  A ) )
reconnlem2.7  |-  ( ph  ->  ( U  i^i  V
)  C_  ( RR  \  A ) )
reconnlem2.8  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
reconnlem2.9  |-  S  =  sup ( ( U  i^i  ( B [,] C ) ) ,  RR ,  <  )
Assertion
Ref Expression
reconnlem2  |-  ( ph  ->  -.  A  C_  ( U  u.  V )
)
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    y, C
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    C( x)    S( x, y)    U( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem reconnlem2
Dummy variables  w  z  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reconnlem2.9 . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  sup ( ( U  i^i  ( B [,] C ) ) ,  RR ,  <  )
2 inss2 3478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  C_  ( B [,] C )
3 inss2 3478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U  i^i  A )  C_  A
4 reconnlem2.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  B  e.  ( U  i^i  A ) )
53, 4sseldi 3264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
6 inss2 3478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( V  i^i  A )  C_  A
7 reconnlem2.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  C  e.  ( V  i^i  A ) )
86, 7sseldi 3264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  e.  A )
9 reconnlem2.4 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x [,] y
)  C_  A )
10 oveq1 5988 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  B  ->  (
x [,] y )  =  ( B [,] y ) )
1110sseq1d 3291 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  B  ->  (
( x [,] y
)  C_  A  <->  ( B [,] y )  C_  A
) )
12 oveq2 5989 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  C  ->  ( B [,] y )  =  ( B [,] C
) )
1312sseq1d 3291 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  C  ->  (
( B [,] y
)  C_  A  <->  ( B [,] C )  C_  A
) )
1411, 13rspc2va 2976 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  A  /\  C  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x [,] y )  C_  A
)  ->  ( B [,] C )  C_  A
)
155, 8, 9, 14syl21anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( B [,] C
)  C_  A )
16 reconnlem2.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
1715, 16sstrd 3275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( B [,] C
)  C_  RR )
182, 17syl5ss 3276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) 
C_  RR )
19 inss1 3477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U  i^i  A )  C_  U
2019, 4sseldi 3264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  U )
2116, 5sseldd 3267 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
2221rexrd 9028 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
2316, 8sseldd 3267 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
2423rexrd 9028 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
25 reconnlem2.8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
26 lbicc2 10905 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  B  <_  C )  ->  B  e.  ( B [,] C
) )
2722, 24, 25, 26syl3anc 1183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  ( B [,] C ) )
28 elin 3446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  <->  ( B  e.  U  /\  B  e.  ( B [,] C
) ) )
2920, 27, 28sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) )
30 ne0i 3549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  ->  ( U  i^i  ( B [,] C
) )  =/=  (/) )
3129, 30syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  =/=  (/) )
322sseli 3262 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  ->  w  e.  ( B [,] C ) )
33 elicc2 10868 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( w  e.  ( B [,] C )  <-> 
( w  e.  RR  /\  B  <_  w  /\  w  <_  C ) ) )
3421, 23, 33syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( B [,] C )  <-> 
( w  e.  RR  /\  B  <_  w  /\  w  <_  C ) ) )
35 simp3 958 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  RR  /\  B  <_  w  /\  w  <_  C )  ->  w  <_  C )
3634, 35syl6bi 219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( B [,] C )  ->  w  <_  C
) )
3732, 36syl5 28 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  ->  w  <_  C
) )
3837ralrimiv 2710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  C )
39 breq2 4129 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  C  ->  (
w  <_  z  <->  w  <_  C ) )
4039ralbidv 2648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  C  ->  ( A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  z  <->  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  C )
)
4140rspcev 2969 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  RR  /\  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  C )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  z )
4223, 38, 41syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  z )
43 suprcl 9861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U  i^i  ( B [,] C ) ) 
C_  RR  /\  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  z )  ->  sup ( ( U  i^i  ( B [,] C ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
4418, 31, 42, 43syl3anc 1183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  sup ( ( U  i^i  ( B [,] C ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
451, 44syl5eqel 2450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
46 rphalfcl 10529 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  RR+  ->  ( r  /  2 )  e.  RR+ )
47 ltaddrp 10537 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  RR  /\  ( r  /  2
)  e.  RR+ )  ->  S  <  ( S  +  ( r  / 
2 ) ) )
4845, 46, 47syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  S  <  ( S  +  ( r  /  2 ) ) )
4945adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  S  e.  RR )
5046rpred 10541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  RR+  ->  ( r  /  2 )  e.  RR )
51 readdcl 8967 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  RR  /\  ( r  /  2
)  e.  RR )  ->  ( S  +  ( r  /  2
) )  e.  RR )
5245, 50, 51syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( S  +  ( r  / 
2 ) )  e.  RR )
5349, 52ltnled 9113 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( S  <  ( S  +  ( r  /  2 ) )  <->  -.  ( S  +  ( r  / 
2 ) )  <_  S ) )
5448, 53mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  -.  ( S  +  ( r  /  2 ) )  <_  S )
5518ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  (  -oo (,) C ) ) )  ->  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  C_  RR )
5631ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  (  -oo (,) C ) ) )  ->  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  =/=  (/) )
5742ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  (  -oo (,) C ) ) )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  z )
58 inss1 3477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  i^i  (  -oo (,) C ) )  C_  U
59 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  (  -oo (,) C ) ) )  ->  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  (  -oo (,) C ) ) )
6058, 59sseldi 3264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  (  -oo (,) C ) ) )  ->  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  U )
6152adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  (  -oo (,) C ) ) )  ->  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  RR )
6221ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  (  -oo (,) C ) ) )  ->  B  e.  RR )
6345ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  (  -oo (,) C ) ) )  ->  S  e.  RR )
64 suprub 9862 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( U  i^i  ( B [,] C ) )  C_  RR  /\  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  z )  /\  B  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) )  ->  B  <_  sup ( ( U  i^i  ( B [,] C ) ) ,  RR ,  <  ) )
6518, 31, 42, 29, 64syl31anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  <_  sup (
( U  i^i  ( B [,] C ) ) ,  RR ,  <  ) )
6665, 1syl6breqr 4165 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  <_  S )
6766ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  (  -oo (,) C ) ) )  ->  B  <_  S )
6848adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  (  -oo (,) C ) ) )  ->  S  <  ( S  +  ( r  /  2 ) ) )
6963, 61, 68ltled 9114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  (  -oo (,) C ) ) )  ->  S  <_  ( S  +  ( r  /  2 ) ) )
7062, 63, 61, 67, 69letrd 9120 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  (  -oo (,) C ) ) )  ->  B  <_  ( S  +  ( r  /  2 ) ) )
7123ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  (  -oo (,) C ) ) )  ->  C  e.  RR )
72 inss2 3478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U  i^i  (  -oo (,) C ) )  C_  (  -oo (,) C )
7372, 59sseldi 3264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  (  -oo (,) C ) ) )  ->  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  (  -oo (,) C ) )
74 eliooord 10863 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  (  -oo (,) C )  ->  (  -oo  <  ( S  +  ( r  /  2
) )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  <  C ) )
7574simprd 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  (  -oo (,) C )  ->  ( S  +  ( r  /  2 ) )  <  C )
7673, 75syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  (  -oo (,) C ) ) )  ->  ( S  +  ( r  /  2 ) )  <  C )
7761, 71, 76ltled 9114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  (  -oo (,) C ) ) )  ->  ( S  +  ( r  /  2 ) )  <_  C )
78 elicc2 10868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( ( S  +  ( r  /  2
) )  e.  ( B [,] C )  <-> 
( ( S  +  ( r  /  2
) )  e.  RR  /\  B  <_  ( S  +  ( r  / 
2 ) )  /\  ( S  +  (
r  /  2 ) )  <_  C )
) )
7962, 71, 78syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  (  -oo (,) C ) ) )  ->  (
( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( B [,] C )  <->  ( ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  RR  /\  B  <_  ( S  +  ( r  /  2 ) )  /\  ( S  +  ( r  / 
2 ) )  <_  C ) ) )
8061, 70, 77, 79mpbir3and 1136 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  (  -oo (,) C ) ) )  ->  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( B [,] C ) )
81 elin 3446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  <->  ( ( S  +  ( r  / 
2 ) )  e.  U  /\  ( S  +  ( r  / 
2 ) )  e.  ( B [,] C
) ) )
8260, 80, 81sylanbrc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  (  -oo (,) C ) ) )  ->  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) )
83 suprub 9862 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( U  i^i  ( B [,] C ) )  C_  RR  /\  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  z )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) )  ->  ( S  +  ( r  /  2
) )  <_  sup ( ( U  i^i  ( B [,] C ) ) ,  RR ,  <  ) )
8455, 56, 57, 82, 83syl31anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  (  -oo (,) C ) ) )  ->  ( S  +  ( r  /  2 ) )  <_  sup ( ( U  i^i  ( B [,] C ) ) ,  RR ,  <  )
)
8584, 1syl6breqr 4165 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  (  -oo (,) C ) ) )  ->  ( S  +  ( r  /  2 ) )  <_  S )
8654, 85mtand 640 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  -.  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  (  -oo (,) C ) ) )
87 eqid 2366 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )
8887remetdval 18508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  RR  /\  S  e.  RR )  ->  ( ( S  +  ( r  /  2
) ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) S )  =  ( abs `  (
( S  +  ( r  /  2 ) )  -  S ) ) )
8952, 49, 88syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( S  +  ( r  /  2 ) ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) S )  =  ( abs `  ( ( S  +  ( r  /  2 ) )  -  S ) ) )
9049recnd 9008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  S  e.  CC )
9150adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( r  /  2 )  e.  RR )
9291recnd 9008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( r  /  2 )  e.  CC )
9390, 92pncan2d 9306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( S  +  ( r  /  2 ) )  -  S )  =  ( r  /  2
) )
9493fveq2d 5636 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( ( S  +  ( r  /  2
) )  -  S
) )  =  ( abs `  ( r  /  2 ) ) )
9546adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( r  /  2 )  e.  RR+ )
96 rpre 10511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( r  /  2 )  e.  RR+  ->  ( r  /  2 )  e.  RR )
97 rpge0 10517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( r  /  2 )  e.  RR+  ->  0  <_ 
( r  /  2
) )
9896, 97absidd 12112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( r  /  2 )  e.  RR+  ->  ( abs `  ( r  /  2
) )  =  ( r  /  2 ) )
9995, 98syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( r  /  2
) )  =  ( r  /  2 ) )
10089, 94, 993eqtrd 2402 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( S  +  ( r  /  2 ) ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) S )  =  ( r  /  2 ) )
101 rphalflt 10531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  RR+  ->  ( r  /  2 )  < 
r )
102101adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( r  /  2 )  < 
r )
103100, 102eqbrtrd 4145 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( S  +  ( r  /  2 ) ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) S )  <  r
)
10487rexmet 18510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  e.  ( * Met `  RR )
105104a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  e.  ( * Met `  RR ) )
106 rpxr 10512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
107106adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  r  e.  RR* )
108 elbl3 18164 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  e.  ( * Met `  RR )  /\  r  e.  RR* )  /\  ( S  e.  RR  /\  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  RR ) )  ->  ( ( S  +  ( r  / 
2 ) )  e.  ( S ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ) r )  <->  ( ( S  +  ( r  /  2 ) ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) S )  <  r
) )
109105, 107, 49, 52, 108syl22anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( S (
ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  <->  ( ( S  +  ( r  / 
2 ) ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) S )  <  r ) )
110103, 109mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( S  +  ( r  / 
2 ) )  e.  ( S ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ) r ) )
111 ssel 3260 . . . . . . . 8  |-  ( ( S ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  ( U  i^i  (  -oo (,) C
) )  ->  (
( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( S ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  ->  ( S  +  ( r  / 
2 ) )  e.  ( U  i^i  (  -oo (,) C ) ) ) )
112110, 111syl5com 26 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( S ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  ( U  i^i  (  -oo (,) C
) )  ->  ( S  +  ( r  /  2 ) )  e.  ( U  i^i  (  -oo (,) C ) ) ) )
11386, 112mtod 168 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  -.  ( S ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  ( U  i^i  (  -oo (,) C
) ) )
114113nrexdv 2731 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  E. r  e.  RR+  ( S ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ) r )  C_  ( U  i^i  (  -oo (,) C ) ) )
11545adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  S  e.  U )  ->  S  e.  RR )
116 mnflt 10615 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  RR  ->  -oo  <  S )
117115, 116syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  S  e.  U )  ->  -oo  <  S )
118 suprleub 9865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( U  i^i  ( B [,] C ) )  C_  RR  /\  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  z )  /\  C  e.  RR )  ->  ( sup (
( U  i^i  ( B [,] C ) ) ,  RR ,  <  )  <_  C  <->  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  C )
)
11918, 31, 42, 23, 118syl31anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( sup ( ( U  i^i  ( B [,] C ) ) ,  RR ,  <  )  <_  C  <->  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  C )
)
12038, 119mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  sup ( ( U  i^i  ( B [,] C ) ) ,  RR ,  <  )  <_  C )
1211, 120syl5eqbr 4158 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  S  <_  C )
12245, 23leloed 9109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( S  <_  C  <->  ( S  <  C  \/  S  =  C )
) )
123121, 122mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( S  <  C  \/  S  =  C
) )
124123ord 366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( -.  S  < 
C  ->  S  =  C ) )
125 elndif 3387 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  e.  A  ->  -.  C  e.  ( RR  \  A ) )
1268, 125syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  -.  C  e.  ( RR  \  A ) )
127 inss1 3477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( V  i^i  A )  C_  V
128127, 7sseldi 3264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
129 elin 3446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( C  e.  ( U  i^i  V )  <->  ( C  e.  U  /\  C  e.  V ) )
130 reconnlem2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( U  i^i  V
)  C_  ( RR  \  A ) )
131130sseld 3265 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( U  i^i  V )  ->  C  e.  ( RR  \  A ) ) )
132129, 131syl5bir 209 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  U  /\  C  e.  V )  ->  C  e.  ( RR  \  A
) ) )
133128, 132mpan2d 655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( C  e.  U  ->  C  e.  ( RR 
\  A ) ) )
134126, 133mtod 168 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  -.  C  e.  U
)
135 eleq1 2426 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  =  C  ->  ( S  e.  U  <->  C  e.  U ) )
136135notbid 285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  =  C  ->  ( -.  S  e.  U  <->  -.  C  e.  U ) )
137134, 136syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  =  C  ->  -.  S  e.  U ) )
138124, 137syld 40 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -.  S  < 
C  ->  -.  S  e.  U ) )
139138con4d 97 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  e.  U  ->  S  <  C ) )
140139imp 418 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  S  e.  U )  ->  S  <  C )
141 mnfxr 10607 . . . . . . . . . . 11  |-  -oo  e.  RR*
142 elioo2 10850 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( S  e.  (  -oo (,) C )  <->  ( S  e.  RR  /\  -oo  <  S  /\  S  <  C
) ) )
143141, 24, 142sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ( 
-oo (,) C )  <->  ( S  e.  RR  /\  -oo  <  S  /\  S  <  C
) ) )
144143adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  S  e.  U )  ->  ( S  e.  (  -oo (,) C )  <->  ( S  e.  RR  /\  -oo  <  S  /\  S  <  C
) ) )
145115, 117, 140, 144mpbir3and 1136 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  S  e.  U )  ->  S  e.  (  -oo (,) C
) )
146145ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  e.  U  ->  S  e.  (  -oo (,) C ) ) )
147146ancld 536 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  e.  U  ->  ( S  e.  U  /\  S  e.  (  -oo (,) C ) ) ) )
148 elin 3446 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  ( U  i^i  (  -oo (,) C ) )  <->  ( S  e.  U  /\  S  e.  (  -oo (,) C
) ) )
149 reconnlem2.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
150 retop 18483 . . . . . . . . 9  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
151 iooretop 18488 . . . . . . . . 9  |-  (  -oo (,) C )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
152 inopn 16862 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  U  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  (  -oo (,) C
)  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  -> 
( U  i^i  (  -oo (,) C ) )  e.  ( topGen `  ran  (,) ) )
153150, 151, 152mp3an13 1269 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  ( U  i^i  (  -oo (,) C
) )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
)
154 eqid 2366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )
15587, 154tgioo 18515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) )
156155mopni2 18252 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )  e.  ( * Met `  RR )  /\  ( U  i^i  (  -oo (,) C ) )  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  S  e.  ( U  i^i  (  -oo (,) C ) ) )  ->  E. r  e.  RR+  ( S ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  ( U  i^i  (  -oo (,) C
) ) )
157104, 156mp3an1 1265 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  i^i  (  -oo (,) C ) )  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  S  e.  ( U  i^i  (  -oo (,) C ) ) )  ->  E. r  e.  RR+  ( S (
ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  ( U  i^i  (  -oo (,) C
) ) )
158157ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  i^i  (  -oo (,) C ) )  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  ( S  e.  ( U  i^i  (  -oo (,) C ) )  ->  E. r  e.  RR+  ( S ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  ( U  i^i  (  -oo (,) C
) ) ) )
159149, 153, 1583syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ( U  i^i  (  -oo (,) C ) )  ->  E. r  e.  RR+  ( S ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  ( U  i^i  (  -oo (,) C
) ) ) )
160148, 159syl5bir 209 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S  e.  U  /\  S  e.  (  -oo (,) C
) )  ->  E. r  e.  RR+  ( S (
ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  ( U  i^i  (  -oo (,) C
) ) ) )
161147, 160syld 40 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  e.  U  ->  E. r  e.  RR+  ( S ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  ( U  i^i  (  -oo (,) C
) ) ) )
162114, 161mtod 168 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  S  e.  U
)
163 ltsubrp 10536 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  RR  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( S  -  r
)  <  S )
16445, 163sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( S  -  r )  < 
S )
165 rpre 10511 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  RR )
166 resubcl 9258 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  ( S  -  r
)  e.  RR )
16745, 165, 166syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( S  -  r )  e.  RR )
168167, 49ltnled 9113 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( S  -  r )  <  S  <->  -.  S  <_  ( S  -  r ) ) )
169164, 168mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  -.  S  <_  ( S  -  r
) )
17087bl2ioo 18511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  ( S ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ) r )  =  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
) )
17145, 165, 170syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( S
( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  =  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r ) ) )
172171sseq1d 3291 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( S ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  V  <->  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r ) )  C_  V
) )
17315ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( S  -  r
) (,) ( S  +  r ) ) 
C_  V )  -> 
( B [,] C
)  C_  A )
1742, 173syl5ss 3276 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( S  -  r
) (,) ( S  +  r ) ) 
C_  V )  -> 
( U  i^i  ( B [,] C ) ) 
C_  A )
175174sselda 3266 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) )  ->  w  e.  A
)
176 elndif 3387 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  A  ->  -.  w  e.  ( RR  \  A ) )
177175, 176syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) )  ->  -.  w  e.  ( RR  \  A ) )
178130ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  ( U  i^i  V )  C_  ( RR  \  A ) )
179 inss1 3477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  C_  U
180 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) )
181179, 180sseldi 3264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  w  e.  U )
182 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  (
( S  -  r
) (,) ( S  +  r ) ) 
C_  V )
18318ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) )  ->  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  C_  RR )
184 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) )  ->  w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) )
185183, 184sseldd 3267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) )  ->  w  e.  RR )
186185adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  w  e.  RR )
187 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  ( S  -  r )  <  w )
18849ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  S  e.  RR )
189 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  r  e.  RR+ )
190189rpred 10541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  r  e.  RR )
191188, 190readdcld 9009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  ( S  +  r )  e.  RR )
192183adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  C_  RR )
19331ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  =/=  (/) )
19442ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  z )
195 suprub 9862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( U  i^i  ( B [,] C ) )  C_  RR  /\  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  z )  /\  w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) )  ->  w  <_  sup ( ( U  i^i  ( B [,] C ) ) ,  RR ,  <  ) )
196192, 193, 194, 180, 195syl31anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  w  <_  sup ( ( U  i^i  ( B [,] C ) ) ,  RR ,  <  )
)
197196, 1syl6breqr 4165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  w  <_  S )
198188, 189ltaddrpd 10570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  S  <  ( S  +  r ) )
199186, 188, 191, 197, 198lelttrd 9121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  w  <  ( S  +  r ) )
200167ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  ( S  -  r )  e.  RR )
201 rexr 9024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( S  -  r )  e.  RR  ->  ( S  -  r )  e.  RR* )
202 rexr 9024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( S  +  r )  e.  RR  ->  ( S  +  r )  e.  RR* )
203 elioo2 10850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( S  -  r
)  e.  RR*  /\  ( S  +  r )  e.  RR* )  ->  (
w  e.  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r ) )  <->  ( w  e.  RR  /\  ( S  -  r )  < 
w  /\  w  <  ( S  +  r ) ) ) )
204201, 202, 203syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( S  -  r
)  e.  RR  /\  ( S  +  r
)  e.  RR )  ->  ( w  e.  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  <->  ( w  e.  RR  /\  ( S  -  r )  < 
w  /\  w  <  ( S  +  r ) ) ) )
205200, 191, 204syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  (
w  e.  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r ) )  <->  ( w  e.  RR  /\  ( S  -  r )  < 
w  /\  w  <  ( S  +  r ) ) ) )
206186, 187, 199, 205mpbir3and 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  w  e.  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
) )
207182, 206sseldd 3267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  w  e.  V )
208 elin 3446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  ( U  i^i  V )  <->  ( w  e.  U  /\  w  e.  V ) )
209181, 207, 208sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  w  e.  ( U  i^i  V
) )
210178, 209sseldd 3267 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  ( w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  /\  ( S  -  r )  <  w
) )  ->  w  e.  ( RR  \  A
) )
211210expr 598 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) )  ->  ( ( S  -  r )  < 
w  ->  w  e.  ( RR  \  A ) ) )
212177, 211mtod 168 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) )  ->  -.  ( S  -  r )  < 
w )
213167ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) )  ->  ( S  -  r )  e.  RR )
214185, 213lenltd 9112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) )  ->  ( w  <_ 
( S  -  r
)  <->  -.  ( S  -  r )  < 
w ) )
215212, 214mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( ( S  -  r ) (,) ( S  +  r )
)  C_  V )  /\  w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) )  ->  w  <_  ( S  -  r )
)
216215ralrimiva 2711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( S  -  r
) (,) ( S  +  r ) ) 
C_  V )  ->  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  ( S  -  r ) )
21718ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( S  -  r
) (,) ( S  +  r ) ) 
C_  V )  -> 
( U  i^i  ( B [,] C ) ) 
C_  RR )
21831ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( S  -  r
) (,) ( S  +  r ) ) 
C_  V )  -> 
( U  i^i  ( B [,] C ) )  =/=  (/) )
21942ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( S  -  r
) (,) ( S  +  r ) ) 
C_  V )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  z )
220167adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( S  -  r
) (,) ( S  +  r ) ) 
C_  V )  -> 
( S  -  r
)  e.  RR )
221 suprleub 9865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( U  i^i  ( B [,] C ) )  C_  RR  /\  ( U  i^i  ( B [,] C ) )  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  z )  /\  ( S  -  r
)  e.  RR )  ->  ( sup (
( U  i^i  ( B [,] C ) ) ,  RR ,  <  )  <_  ( S  -  r )  <->  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  ( S  -  r ) ) )
222217, 218, 219, 220, 221syl31anc 1186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( S  -  r
) (,) ( S  +  r ) ) 
C_  V )  -> 
( sup ( ( U  i^i  ( B [,] C ) ) ,  RR ,  <  )  <_  ( S  -  r )  <->  A. w  e.  ( U  i^i  ( B [,] C ) ) w  <_  ( S  -  r ) ) )
223216, 222mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( S  -  r
) (,) ( S  +  r ) ) 
C_  V )  ->  sup ( ( U  i^i  ( B [,] C ) ) ,  RR ,  <  )  <_  ( S  -  r ) )
2241, 223syl5eqbr 4158 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( S  -  r
) (,) ( S  +  r ) ) 
C_  V )  ->  S  <_  ( S  -  r ) )
225224ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( (
( S  -  r
) (,) ( S  +  r ) ) 
C_  V  ->  S  <_  ( S  -  r
) ) )
226172, 225sylbid 206 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( S ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  V  ->  S  <_  ( S  -  r ) ) )
227169, 226mtod 168 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  -.  ( S ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  V )
228227nrexdv 2731 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  E. r  e.  RR+  ( S ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ) r )  C_  V )
229 reconnlem2.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  V  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
230155mopni2 18252 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )  e.  ( * Met `  RR )  /\  V  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  S  e.  V
)  ->  E. r  e.  RR+  ( S (
ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  V )
231104, 230mp3an1 1265 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  S  e.  V )  ->  E. r  e.  RR+  ( S (
ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  V )
232231ex 423 . . . . . 6  |-  ( V  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  ( S  e.  V  ->  E. r  e.  RR+  ( S (
ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  V )
)
233229, 232syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  e.  V  ->  E. r  e.  RR+  ( S ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  V )
)
234228, 233mtod 168 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  S  e.  V
)
235 ioran 476 . . . 4  |-  ( -.  ( S  e.  U  \/  S  e.  V
)  <->  ( -.  S  e.  U  /\  -.  S  e.  V ) )
236162, 234, 235sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  ( S  e.  U  \/  S  e.  V ) )
237 elun 3404 . . 3  |-  ( S  e.  ( U  u.  V )  <->  ( S  e.  U  \/  S  e.  V ) )
238236, 237sylnibr 296 . 2  |-  ( ph  ->  -.  S  e.  ( U  u.  V ) )
239 elicc2 10868 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( S  e.  ( B [,] C )  <-> 
( S  e.  RR  /\  B  <_  S  /\  S  <_  C ) ) )
24021, 23, 239syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ( B [,] C )  <-> 
( S  e.  RR  /\  B  <_  S  /\  S  <_  C ) ) )
24145, 66, 121, 240mpbir3and 1136 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  ( B [,] C ) )
24215, 241sseldd 3267 . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  A )
243 ssel 3260 . . 3  |-  ( A 
C_  ( U  u.  V )  ->  ( S  e.  A  ->  S  e.  ( U  u.  V ) ) )
244242, 243syl5com 26 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  C_  ( U  u.  V )  ->  S  e.  ( U  u.  V ) ) )
245238, 244mtod 168 1  |-  ( ph  ->  -.  A  C_  ( U  u.  V )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 935    = wceq 1647    e. wcel 1715    =/= wne 2529   A.wral 2628   E.wrex 2629    \ cdif 3235    u. cun 3236    i^i cin 3237    C_ wss 3238   (/)c0 3543   class class class wbr 4125    X. cxp 4790   ran crn 4793    |` cres 4794    o. ccom 4796   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   supcsup 7340   RRcr 8883    + caddc 8887    -oocmnf 9012   RR*cxr 9013    < clt 9014    <_ cle 9015    - cmin 9184    / cdiv 9570   2c2 9942   RR+crp 10505   (,)cioo 10809   [,]cicc 10812   abscabs 11926   topGenctg 13552   * Metcxmt 16579   ballcbl 16581   MetOpencmopn 16584   Topctop 16848
This theorem is referenced by:  reconn  18547
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-er 6802  df-map 6917  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-sup 7341  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-q 10468  df-rp 10506  df-xneg 10603  df-xadd 10604  df-xmul 10605  df-ioo 10813  df-icc 10816  df-seq 11211  df-exp 11270  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-topgen 13554  df-xmet 16586  df-met 16587  df-bl 16588  df-mopn 16589  df-top 16853  df-bases 16855  df-topon 16856
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