Theorem recos4pt 7437

Description: Separate out the first four terms of the infinite series expansion of the cosine of a real number. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Hypothesis

Ref	Expression
efit4pt.1	|- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = (((i x. A)^j) / (!` j)))}

Assertion

Ref	Expression
recos4pt	|- (A e. RR -> (cos` A) = ((1 - ((A^2) / 2)) + (Re` sum_k e. (ZZ>` 4)(F` k))))

Distinct variable groups:   A,j,k,y   k,F

Proof of Theorem recos4pt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recosvalt 7434	. 2 |- (A e. RR -> (cos` A) = (Re` (exp` (i x. A))))
2		efit4pt.1	. . . . 5 |- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = (((i x. A)^j) / (!` j)))}
3	2	efi4pt 7435	. . . 4 |- (A e. RR -> (exp` (i x. A)) = (((1 - ((A^2) / 2)) + (i x. (A - ((A^3) / 6)))) + sum_k e. (ZZ>` 4)(F` k)))
4	3	fveq2d 3728	. . 3 |- (A e. RR -> (Re` (exp` (i x. A))) = (Re` (((1 - ((A^2) / 2)) + (i x. (A - ((A^3) / 6)))) + sum_k e. (ZZ>` 4)(F` k))))
5		readdt 6805	. . . 4 |- ((((1 - ((A^2) / 2)) + (i x. (A - ((A^3) / 6)))) e. CC /\ sum_k e. (ZZ>` 4)(F` k) e. CC) -> (Re` (((1 - ((A^2) / 2)) + (i x. (A - ((A^3) / 6)))) + sum_k e. (ZZ>` 4)(F` k))) = ((Re` ((1 - ((A^2) / 2)) + (i x. (A - ((A^3) / 6))))) + (Re` sum_k e. (ZZ>` 4)(F` k))))
6		axaddcl 5271	. . . . 5 |- (((1 - ((A^2) / 2)) e. CC /\ (i x. (A - ((A^3) / 6))) e. CC) -> ((1 - ((A^2) / 2)) + (i x. (A - ((A^3) / 6)))) e. CC)
7		resqclt 6621	. . . . . . . 8 |- (A e. RR -> (A^2) e. RR)
8		rehalfclt 6034	. . . . . . . 8 |- ((A^2) e. RR -> ((A^2) / 2) e. RR)
9	7, 8	syl 10	. . . . . . 7 |- (A e. RR -> ((A^2) / 2) e. RR)
10		1re 5435	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
11		resubclt 5438	. . . . . . . 8 |- ((1 e. RR /\ ((A^2) / 2) e. RR) -> (1 - ((A^2) / 2)) e. RR)
12	10, 11	mpan 695	. . . . . . 7 |- (((A^2) / 2) e. RR -> (1 - ((A^2) / 2)) e. RR)
13	9, 12	syl 10	. . . . . 6 |- (A e. RR -> (1 - ((A^2) / 2)) e. RR)
14	13	recnd 5315	. . . . 5 |- (A e. RR -> (1 - ((A^2) / 2)) e. CC)
15		3nn 6000	. . . . . . . . . . 11 |- 3 e. NN
16	15	nnnn0 6107	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. NN0
17		reexpclt 6580	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. RR /\ 3 e. NN0) -> (A^3) e. RR)
18	16, 17	mpan2 696	. . . . . . . . 9 |- (A e. RR -> (A^3) e. RR)
19		6re 5984	. . . . . . . . . 10 |- 6 e. RR
20		6pos 5994	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < 6
21	19, 20	gt0ne0i 5617	. . . . . . . . . 10 |- 6 =/= 0
22		redivclt 5800	. . . . . . . . . 10 |- (((A^3) e. RR /\ 6 e. RR /\ 6 =/= 0) -> ((A^3) / 6) e. RR)
23	19, 21, 22	mp3an23 908	. . . . . . . . 9 |- ((A^3) e. RR -> ((A^3) / 6) e. RR)
24	18, 23	syl 10	. . . . . . . 8 |- (A e. RR -> ((A^3) / 6) e. RR)
25		resubclt 5438	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ ((A^3) / 6) e. RR) -> (A - ((A^3) / 6)) e. RR)
26	24, 25	mpdan 704	. . . . . . 7 |- (A e. RR -> (A - ((A^3) / 6)) e. RR)
27	26	recnd 5315	. . . . . 6 |- (A e. RR -> (A - ((A^3) / 6)) e. CC)
28		axicn 5270	. . . . . . 7 |- i e. CC
29		axmulcl 5273	. . . . . . 7 |- ((i e. CC /\ (A - ((A^3) / 6)) e. CC) -> (i x. (A - ((A^3) / 6))) e. CC)
30	28, 29	mpan 695	. . . . . 6 |- ((A - ((A^3) / 6)) e. CC -> (i x. (A - ((A^3) / 6))) e. CC)
31	27, 30	syl 10	. . . . 5 |- (A e. RR -> (i x. (A - ((A^3) / 6))) e. CC)
32	6, 14, 31	sylanc 471	. . . 4 |- (A e. RR -> ((1 - ((A^2) / 2)) + (i x. (A - ((A^3) / 6)))) e. CC)
33		recnt 5313	. . . . . 6 |- (A e. RR -> A e. CC)
34		axmulcl 5273	. . . . . . 7 |- ((i e. CC /\ A e. CC) -> (i x. A) e. CC)
35	28, 34	mpan 695	. . . . . 6 |- (A e. CC -> (i x. A) e. CC)
36	33, 35	syl 10	. . . . 5 |- (A e. RR -> (i x. A) e. CC)
37		4nn 6002	. . . . . 6 |- 4 e. NN
38	2	eftlclt 7379	. . . . . 6 |- (((i x. A) e. CC /\ 4 e. NN) -> sum_k e. (ZZ>` 4)(F` k) e. CC)
39	37, 38	mpan2 696	. . . . 5 |- ((i x. A) e. CC -> sum_k e. (ZZ>` 4)(F` k) e. CC)
40	36, 39	syl 10	. . . 4 |- (A e. RR -> sum_k e. (ZZ>` 4)(F` k) e. CC)
41	5, 32, 40	sylanc 471	. . 3 |- (A e. RR -> (Re` (((1 - ((A^2) / 2)) + (i x. (A - ((A^3) / 6)))) + sum_k e. (ZZ>` 4)(F` k))) = ((Re` ((1 - ((A^2) / 2)) + (i x. (A - ((A^3) / 6))))) + (Re` sum_k e. (ZZ>` 4)(F` k))))
42		crret 6769	. . . . 5 |- (((1 - ((A^2) / 2)) e. RR /\ (A - ((A^3) / 6)) e. RR) -> (Re` ((1 - ((A^2) / 2)) + (i x. (A - ((A^3) / 6))))) = (1 - ((A^2) / 2)))
43	42, 13, 26	sylanc 471	. . . 4 |- (A e. RR -> (Re` ((1 - ((A^2) / 2)) + (i x. (A - ((A^3) / 6))))) = (1 - ((A^2) / 2)))
44	43	opreq1d 3975	. . 3 |- (A e. RR -> ((Re` ((1 - ((A^2) / 2)) + (i x. (A - ((A^3) / 6))))) + (Re` sum_k e. (ZZ>` 4)(F` k))) = ((1 - ((A^2) / 2)) + (Re` sum_k e. (ZZ>` 4)(F` k))))
45	4, 41, 44	3eqtrd 1511	. 2 |- (A e. RR -> (Re` (exp` (i x. A))) = ((1 - ((A^2) / 2)) + (Re` sum_k e. (ZZ>` 4)(F` k))))
46	1, 45	eqtrd 1507	1 |- (A e. RR -> (cos` A) = ((1 - ((A^2) / 2)) + (Re` sum_k e. (ZZ>` 4)(F` k))))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585  {copab 2666  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235  ici 5236   + caddc 5237   x. cmul 5239   - cmin 5292   / cdiv 5294  NNcn 5296  NN0cn0 5297  2c2 5961  3c3 5962  4c4 5963  6c6 5965  ZZ>cuz 6417  ^cexp 6568  Recre 6747  !cfa 6931  sum_csu 6979  expce 7293  cosccos 7296

This theorem is referenced by:  cos01bndlem3 7471

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-3 5971  df-4 5972  df-5 5973  df-6 5974  df-n0 6100  df-z 6136  df-fl 6224  df-seq1 6308  df-shft 6341  df-uz 6418  df-fz 6468  df-seqz 6533  df-seq0 6534  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-fac 6932  df-clim 6975  df-sum 6980  df-ef 7298  df-cos 7301

Copyright terms: Public domain