MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recosval Unicode version

Theorem recosval 12700
Description: The cosine of a real number in terms of the exponential function. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
recosval  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  A )  =  ( Re `  ( exp `  ( _i  x.  A ) ) ) )

Proof of Theorem recosval
StepHypRef Expression
1 ax-icn 9013 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
2 recn 9044 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
3 cjmul 11910 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( * `  (
_i  x.  A )
)  =  ( ( * `  _i )  x.  ( * `  A ) ) )
41, 2, 3sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
* `  ( _i  x.  A ) )  =  ( ( * `  _i )  x.  (
* `  A )
) )
5 cji 11927 . . . . . . . . 9  |-  ( * `
 _i )  = 
-u _i
65oveq1i 6058 . . . . . . . 8  |-  ( ( * `  _i )  x.  ( * `  A ) )  =  ( -u _i  x.  ( * `  A
) )
7 cjre 11907 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  (
* `  A )  =  A )
87oveq2d 6064 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u _i  x.  ( * `
 A ) )  =  ( -u _i  x.  A ) )
96, 8syl5eq 2456 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( * `  _i )  x.  ( * `  A ) )  =  ( -u _i  x.  A ) )
104, 9eqtrd 2444 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
* `  ( _i  x.  A ) )  =  ( -u _i  x.  A ) )
1110fveq2d 5699 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( exp `  ( * `  ( _i  x.  A
) ) )  =  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )
12 mulcl 9038 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
131, 2, 12sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
_i  x.  A )  e.  CC )
14 efcj 12657 . . . . . 6  |-  ( ( _i  x.  A )  e.  CC  ->  ( exp `  ( * `  ( _i  x.  A
) ) )  =  ( * `  ( exp `  ( _i  x.  A ) ) ) )
1513, 14syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( exp `  ( * `  ( _i  x.  A
) ) )  =  ( * `  ( exp `  ( _i  x.  A ) ) ) )
1611, 15eqtr3d 2446 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  =  ( * `  ( exp `  ( _i  x.  A ) ) ) )
1716oveq2d 6064 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  +  ( * `  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) ) ) )
1817oveq1d 6063 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  /  2 )  =  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  +  ( * `  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) ) )  /  2 ) )
19 cosval 12687 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  A )  =  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  /  2 ) )
202, 19syl 16 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  A )  =  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  /  2 ) )
21 efcl 12648 . . 3  |-  ( ( _i  x.  A )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
22 reval 11874 . . 3  |-  ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  e.  CC  ->  (
Re `  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) )  =  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  +  ( * `  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) ) )  /  2 ) )
2313, 21, 223syl 19 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
Re `  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) )  =  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  +  ( * `  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) ) )  /  2 ) )
2418, 20, 233eqtr4d 2454 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  A )  =  ( Re `  ( exp `  ( _i  x.  A ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   CCcc 8952   RRcr 8953   _ici 8956    + caddc 8957    x. cmul 8959   -ucneg 9256    / cdiv 9641   2c2 10013   *ccj 11864   Recre 11865   expce 12627   cosccos 12630
This theorem is referenced by:  recos4p  12703  recoscl  12705  cos0  12714  argregt0  20466  argrege0  20467  lawcos  20619
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032  ax-addf 9033  ax-mulf 9034
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6872  df-pm 6988  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-rp 10577  df-ico 10886  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-fl 11165  df-seq 11287  df-exp 11346  df-fac 11530  df-hash 11582  df-shft 11845  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-limsup 12228  df-clim 12245  df-rlim 12246  df-sum 12443  df-ef 12633  df-cos 12636
  Copyright terms: Public domain W3C validator