MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  redivcl Structured version   Unicode version

Theorem redivcl 9723
Description: Closure law for division of reals. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
redivcl  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  e.  RR )

Proof of Theorem redivcl
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  A  e.  RR )
21recnd 9104 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  A  e.  CC )
3 simp2 958 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  B  e.  RR )
43recnd 9104 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  B  e.  CC )
5 simp3 959 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  B  =/=  0 )
6 divrec 9684 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  =  ( A  x.  (
1  /  B ) ) )
72, 4, 5, 6syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  =  ( A  x.  (
1  /  B ) ) )
8 rereccl 9722 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  -> 
( 1  /  B
)  e.  RR )
983adant1 975 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  (
1  /  B )  e.  RR )
101, 9remulcld 9106 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  x.  ( 1  /  B ) )  e.  RR )
117, 10eqeltrd 2509 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598  (class class class)co 6073   CCcc 8978   RRcr 8979   0cc0 8980   1c1 8981    x. cmul 8985    / cdiv 9667
This theorem is referenced by:  redivclzi  9770  redivcld  9832  lediv1  9865  lt2mul2div  9876  lemuldiv  9879  ledivdiv  9889  ltdiv23  9891  lediv23  9892  nndivre  10025  rehalfcl  10184  qre  10569  rpdivcl  10624  rerpdivcl  10629  quoremnn0ALT  11228  resin4p  12729  recos4p  12730  retancl  12733  sin01gt0  12781  cos01gt0  12782  divalgmod  12916  modgcd  13026  sineq0  20419  efif1olem2  20435  gxmodid  21857  rexdiv  24162  mblfinlem  26207  itg2addnclem2  26220  stoweidlem13  27693  stoweidlem34  27714  stoweid  27743  nn0nndivcl  28083  reseccl  28397  recsccl  28398  recotcl  28399  dp2cl  28413
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668
  Copyright terms: Public domain W3C validator