MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  redivcl Unicode version

Theorem redivcl 9479
Description: Closure law for division of reals. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
redivcl  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  e.  RR )

Proof of Theorem redivcl
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  A  e.  RR )
21recnd 8861 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  A  e.  CC )
3 simp2 956 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  B  e.  RR )
43recnd 8861 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  B  e.  CC )
5 simp3 957 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  B  =/=  0 )
6 divrec 9440 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  =  ( A  x.  (
1  /  B ) ) )
72, 4, 5, 6syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  =  ( A  x.  (
1  /  B ) ) )
8 rereccl 9478 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  -> 
( 1  /  B
)  e.  RR )
983adant1 973 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  (
1  /  B )  e.  RR )
101, 9remulcld 8863 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  x.  ( 1  /  B ) )  e.  RR )
117, 10eqeltrd 2357 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742    / cdiv 9423
This theorem is referenced by:  redivclzi  9526  redivcld  9588  lediv1  9621  lt2mul2div  9632  lemuldiv  9635  ledivdiv  9645  ltdiv23  9647  lediv23  9648  nndivre  9781  rehalfcl  9938  qre  10321  rpdivcl  10376  rerpdivcl  10381  quoremnn0ALT  10961  resin4p  12418  recos4p  12419  retancl  12422  sin01gt0  12470  cos01gt0  12471  divalgmod  12605  modgcd  12715  sineq0  19889  efif1olem2  19905  gxmodid  20946  rexdiv  23109  unitdivcld  23285  esumcst  23436  stoweidlem1  27750  stoweidlem5  27754  stoweidlem7  27756  stoweidlem11  27760  stoweidlem13  27762  stoweidlem14  27763  stoweidlem24  27773  stoweidlem25  27774  stoweidlem26  27775  stoweidlem28  27777  stoweidlem34  27783  stoweidlem36  27785  stoweidlem38  27787  stoweidlem42  27791  stoweidlem44  27793  stoweidlem49  27798  stoweidlem51  27800  stoweidlem52  27801  stoweidlem59  27808  stoweidlem60  27809  stoweidlem62  27811  stoweid  27812  reseccl  28223  recsccl  28224  recotcl  28225  dp2cl  28239
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424
  Copyright terms: Public domain W3C validator