MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  redivcl Unicode version

Theorem redivcl 9495
Description: Closure law for division of reals. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
redivcl  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  e.  RR )

Proof of Theorem redivcl
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  A  e.  RR )
21recnd 8877 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  A  e.  CC )
3 simp2 956 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  B  e.  RR )
43recnd 8877 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  B  e.  CC )
5 simp3 957 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  B  =/=  0 )
6 divrec 9456 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  =  ( A  x.  (
1  /  B ) ) )
72, 4, 5, 6syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  =  ( A  x.  (
1  /  B ) ) )
8 rereccl 9494 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  -> 
( 1  /  B
)  e.  RR )
983adant1 973 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  (
1  /  B )  e.  RR )
101, 9remulcld 8879 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  x.  ( 1  /  B ) )  e.  RR )
117, 10eqeltrd 2370 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    x. cmul 8758    / cdiv 9439
This theorem is referenced by:  redivclzi  9542  redivcld  9604  lediv1  9637  lt2mul2div  9648  lemuldiv  9651  ledivdiv  9661  ltdiv23  9663  lediv23  9664  nndivre  9797  rehalfcl  9954  qre  10337  rpdivcl  10392  rerpdivcl  10397  quoremnn0ALT  10977  resin4p  12434  recos4p  12435  retancl  12438  sin01gt0  12486  cos01gt0  12487  divalgmod  12621  modgcd  12731  sineq0  19905  efif1olem2  19921  gxmodid  20962  rexdiv  23125  unitdivcld  23300  esumcst  23451  itg2addnclem2  25004  itg2addnc  25005  stoweidlem1  27853  stoweidlem5  27857  stoweidlem7  27859  stoweidlem11  27863  stoweidlem13  27865  stoweidlem14  27866  stoweidlem24  27876  stoweidlem25  27877  stoweidlem26  27878  stoweidlem28  27880  stoweidlem34  27886  stoweidlem36  27888  stoweidlem38  27890  stoweidlem42  27894  stoweidlem44  27896  stoweidlem49  27901  stoweidlem51  27903  stoweidlem52  27904  stoweidlem59  27911  stoweidlem60  27912  stoweidlem62  27914  stoweid  27915  reseccl  28477  recsccl  28478  recotcl  28479  dp2cl  28493
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440
  Copyright terms: Public domain W3C validator