MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  redivcld Structured version   Unicode version

Theorem redivcld 9834
Description: Closure law for division of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
redivcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
redivcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
redivcld.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
redivcld  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )

Proof of Theorem redivcld
StepHypRef Expression
1 redivcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 redivcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 redivcld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 redivcl 9725 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  e.  RR )
51, 2, 3, 4syl3anc 1184 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725    =/= wne 2598  (class class class)co 6073   RRcr 8981   0cc0 8982    / cdiv 9669
This theorem is referenced by:  recp1lt1  9900  ledivp1  9904  supmul1  9965  rimul  9983  quoremz  11228  quoremnn0  11229  intfracq  11232  fldiv  11233  modmulnn  11257  expnbnd  11500  discr1  11507  discr  11508  sqreulem  12155  iccpnfhmeo  18962  ipcau2  19183  mbfmulc2lem  19531  i1fmulc  19587  itg1mulc  19588  itg2monolem3  19636  dvferm2lem  19862  dvcvx  19896  radcnvlem1  20321  tanord1  20431  logf1o2  20533  ang180lem2  20644  chordthmlem2  20666  jensenlem2  20818  selberg3lem1  21243  selberg4lem1  21246  ostth2  21323  nmophmi  23526  unitdivcld  24291  rnlogbcl  24393  relogbcl  24394  dya2icoseg  24619  dya2iocucvr  24626  regamcl  24837  sinccvglem  25101  circum  25103  divelunit  25177  colinearalg  25841  axsegconlem8  25855  axpaschlem  25871  axeuclidlem  25893  itg2addnclem  26246  itg2addnclem2  26247  areacirclem2  26272  areacirclem5  26276  pellexlem1  26873  pellexlem6  26878  reglogcl  26934  modabsdifz  27037  stoweidlem1  27707  stoweidlem13  27719  stoweidlem26  27732  stoweidlem34  27740  stoweidlem36  27742  stoweidlem51  27757  stoweidlem60  27766  wallispilem4  27774  wallispilem5  27775  stirlingr  27796  sigardiv  27808  sineq0ALT  28976
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670
  Copyright terms: Public domain W3C validator