MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  redivcld Unicode version

Theorem redivcld 9604
Description: Closure law for division of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
redivcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
redivcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
redivcld.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
redivcld  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )

Proof of Theorem redivcld
StepHypRef Expression
1 redivcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 redivcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 redivcld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 redivcl 9495 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  e.  RR )
51, 2, 3, 4syl3anc 1182 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1696    =/= wne 2459  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753    / cdiv 9439
This theorem is referenced by:  recp1lt1  9670  ledivp1  9674  supmul1  9735  rimul  9753  quoremz  10975  quoremnn0  10976  intfracq  10979  fldiv  10980  modmulnn  11004  expnbnd  11246  discr1  11253  discr  11254  sqreulem  11859  iccpnfhmeo  18459  ipcau2  18680  mbfmulc2lem  19018  i1fmulc  19074  itg1mulc  19075  itg2monolem3  19123  dvferm2lem  19349  dvcvx  19383  radcnvlem1  19805  tanord1  19915  logf1o2  20013  ang180lem2  20124  chordthmlem2  20146  jensenlem2  20298  selberg3lem1  20722  selberg4lem1  20725  ostth2  20802  nmophmi  22627  rnlogbcl  23418  relogbcl  23419  dya2iocress  23592  dya2iocseg  23594  probmeasb  23648  sinccvglem  24020  circum  24022  divelunit  24095  faclimlem5  24121  faclimlem9  24125  colinearalg  24610  axsegconlem8  24624  axpaschlem  24640  axeuclidlem  24662  itg2addnclem  25003  itg2addnclem2  25004  itg2addnc  25005  areacirclem2  25028  areacirclem5  25032  pellexlem1  27017  pellexlem6  27022  reglogcl  27078  modabsdifz  27181  stoweidlem30  27882  stoweidlem59  27911  stoweidlem62  27914  wallispilem4  27920  wallispilem5  27921  stirlinglem10  27935  stirlinglem11  27936  stirlinglem12  27937  stirlingr  27942  sigardiv  27954
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440
  Copyright terms: Public domain W3C validator