Theorem reeff1 7410

Description: The exponential function maps real arguments one-to-one to positive reals. (Contributed by Steve Rodriguez, 25-Aug-2007.)

Assertion

Ref	Expression
reeff1	|- (exp |` RR):RR-1-1->(0(,) +oo)

Proof of Theorem reeff1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1fv 3874	. 2 |- ((exp |` RR):RR-1-1->(0(,) +oo) <-> ((exp |` RR):RR-->(0(,) +oo) /\ A.x e. RR A.y e. RR (((exp |` RR)` x) = ((exp |` RR)` y) -> x = y)))
2		df-ef 7298	. . . . 5 |- exp = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = sum_k e. NN0 ((x^k) / (!` k)))}
3		reseq1 3368	. . . . 5 |- (exp = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = sum_k e. NN0 ((x^k) / (!` k)))} -> (exp |` RR) = ({<.x, y>. | (x e. CC /\ y = sum_k e. NN0 ((x^k) / (!` k)))} |` RR))
4	2, 3	ax-mp 7	. . . 4 |- (exp |` RR) = ({<.x, y>. | (x e. CC /\ y = sum_k e. NN0 ((x^k) / (!` k)))} |` RR)
5		axresscn 5268	. . . . 5 |- RR (_ CC
6		resopab2 3398	. . . . 5 |- (RR (_ CC -> ({<.x, y>. | (x e. CC /\ y = sum_k e. NN0 ((x^k) / (!` k)))} |` RR) = {<.x, y>. | (x e. RR /\ y = sum_k e. NN0 ((x^k) / (!` k)))})
7	5, 6	ax-mp 7	. . . 4 |- ({<.x, y>. | (x e. CC /\ y = sum_k e. NN0 ((x^k) / (!` k)))} |` RR) = {<.x, y>. | (x e. RR /\ y = sum_k e. NN0 ((x^k) / (!` k)))}
8	4, 7	eqtr 1495	. . 3 |- (exp |` RR) = {<.x, y>. | (x e. RR /\ y = sum_k e. NN0 ((x^k) / (!` k)))}
9		recnt 5313	. . . . . . 7 |- (x e. RR -> x e. CC)
10		efvalt 7308	. . . . . . 7 |- (x e. CC -> (exp` x) = sum_k e. NN0 ((x^k) / (!` k)))
11	9, 10	syl 10	. . . . . 6 |- (x e. RR -> (exp` x) = sum_k e. NN0 ((x^k) / (!` k)))
12		reefclt 7318	. . . . . 6 |- (x e. RR -> (exp` x) e. RR)
13	11, 12	eqeltrrd 1549	. . . . 5 |- (x e. RR -> sum_k e. NN0 ((x^k) / (!` k)) e. RR)
14		efgt0t 7405	. . . . . 6 |- (x e. RR -> 0 < (exp` x))
15	14, 11	breqtrd 2639	. . . . 5 |- (x e. RR -> 0 < sum_k e. NN0 ((x^k) / (!` k)))
16	13, 15	jca 288	. . . 4 |- (x e. RR -> (sum_k e. NN0 ((x^k) / (!` k)) e. RR /\ 0 < sum_k e. NN0 ((x^k) / (!` k))))
17		repos 6399	. . . 4 |- (sum_k e. NN0 ((x^k) / (!` k)) e. (0(,) +oo) <-> (sum_k e. NN0 ((x^k) / (!` k)) e. RR /\ 0 < sum_k e. NN0 ((x^k) / (!` k))))
18	16, 17	sylibr 200	. . 3 |- (x e. RR -> sum_k e. NN0 ((x^k) / (!` k)) e. (0(,) +oo))
19	8, 18	fopab 3827	. 2 |- (exp |` RR):RR-->(0(,) +oo)
20		fvres 3734	. . . . 5 |- (x e. RR -> ((exp |` RR)` x) = (exp` x))
21		fvres 3734	. . . . 5 |- (y e. RR -> ((exp |` RR)` y) = (exp` y))
22	20, 21	eqeqan12d 1490	. . . 4 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> (((exp |` RR)` x) = ((exp |` RR)` y) <-> (exp` x) = (exp` y)))
23		reef11t 7409	. . . . 5 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> ((exp` x) = (exp` y) <-> x = y))
24	23	biimpd 153	. . . 4 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> ((exp` x) = (exp` y) -> x = y))
25	22, 24	sylbid 203	. . 3 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> (((exp |` RR)` x) = ((exp |` RR)` y) -> x = y))
26	25	rgen2a 1699	. 2 |- A.x e. RR A.y e. RR (((exp |` RR)` x) = ((exp |` RR)` y) -> x = y)
27	1, 19, 26	mpbir2an 730	1 |- (exp |` RR):RR-1-1->(0(,) +oo)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645   (_ wss 2047   class class class wbr 2619  {copab 2666   |` cres 3172  -->wf 3178  -1-1->wf1 3179  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234   / cdiv 5294  NN0cn0 5297   +oocpnf 5483   < clt 5486  (,)cioo 6357  ^cexp 6568  !cfa 6931  sum_csu 6979  expce 7293

This theorem is referenced by:  reeff1o 7426  eff1i 8744

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-3 5971  df-4 5972  df-n0 6100  df-z 6136  df-fl 6224  df-seq1 6308  df-shft 6341  df-ioo 6361  df-uz 6418  df-fz 6468  df-seqz 6533  df-seq0 6534  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-fac 6932  df-bc 6957  df-clim 6975  df-sum 6980  df-ef 7298

Copyright terms: Public domain