Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reefgim Structured version   Unicode version

Theorem reefgim 20368
 Description: The exponential function is a group isomorphism from the group of reals under addition to the group of positive reals under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
reefgim.1 flds
reefgim.2 mulGrpflds
Assertion
Ref Expression
reefgim GrpIso

Proof of Theorem reefgim
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resubdrg 16752 . . . . . 6 SubRingfld flds
21simpli 446 . . . . 5 SubRingfld
3 reefgim.1 . . . . . 6 flds
43subrgbas 15879 . . . . 5 SubRingfld
52, 4ax-mp 8 . . . 4
6 eqid 2438 . . . . . 6 mulGrpflds mulGrpflds
76rpmsubg 16764 . . . . 5 SubGrpmulGrpflds
8 reefgim.2 . . . . . . 7 mulGrpflds
9 cnex 9073 . . . . . . . . 9
10 difexg 4353 . . . . . . . . 9
119, 10ax-mp 8 . . . . . . . 8
12 rpcn 10622 . . . . . . . . . 10
13 rpne0 10629 . . . . . . . . . 10
14 eldifsn 3929 . . . . . . . . . 10
1512, 13, 14sylanbrc 647 . . . . . . . . 9
1615ssriv 3354 . . . . . . . 8
17 ressabs 13529 . . . . . . . 8 mulGrpflds s mulGrpflds
1811, 16, 17mp2an 655 . . . . . . 7 mulGrpflds s mulGrpflds
198, 18eqtr4i 2461 . . . . . 6 mulGrpflds s
2019subgbas 14950 . . . . 5 SubGrpmulGrpflds
217, 20ax-mp 8 . . . 4
22 cnfldadd 16710 . . . . . 6 fld
233, 22ressplusg 13573 . . . . 5 SubRingfld
242, 23ax-mp 8 . . . 4
25 eqid 2438 . . . . . . 7 mulGrpfld mulGrpfld
26 cnfldmul 16711 . . . . . . 7 fld
2725, 26mgpplusg 15654 . . . . . 6 mulGrpfld
288, 27ressplusg 13573 . . . . 5 SubGrpmulGrpflds
297, 28ax-mp 8 . . . 4
303subrgrng 15873 . . . . . 6 SubRingfld
312, 30ax-mp 8 . . . . 5
32 rnggrp 15671 . . . . 5
3331, 32mp1i 12 . . . 4
3419subggrp 14949 . . . . 5 SubGrpmulGrpflds
357, 34mp1i 12 . . . 4
36 reeff1o 20365 . . . . 5
37 f1of 5676 . . . . 5
3836, 37mp1i 12 . . . 4
39 recn 9082 . . . . . . 7
40 recn 9082 . . . . . . 7
41 efadd 12698 . . . . . . 7
4239, 40, 41syl2an 465 . . . . . 6
43 readdcl 9075 . . . . . . 7
44 fvres 5747 . . . . . . 7
4543, 44syl 16 . . . . . 6
46 fvres 5747 . . . . . . 7
47 fvres 5747 . . . . . . 7
4846, 47oveqan12d 6102 . . . . . 6
4942, 45, 483eqtr4d 2480 . . . . 5
5049adantl 454 . . . 4
515, 21, 24, 29, 33, 35, 38, 50isghmd 15017 . . 3
5251trud 1333 . 2
535, 21isgim 15051 . 2 GrpIso
5452, 36, 53mpbir2an 888 1 GrpIso
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wa 360   wtru 1326   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  cvv 2958   cdif 3319   wss 3322  csn 3816   cres 4882  wf 5452  wf1o 5455  cfv 5456  (class class class)co 6083  cc 8990  cr 8991  cc0 8992   caddc 8995   cmul 8997  crp 10614  ce 12666  cbs 13471   ↾s cress 13472   cplusg 13531  cgrp 14687  SubGrpcsubg 14940   cghm 15005   GrpIso cgim 15046  mulGrpcmgp 15650  crg 15662  cdr 15837  SubRingcsubrg 15866  ℂfldccnfld 16705 This theorem is referenced by:  reloggim  20495 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-tpos 6481  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-seq 11326  df-exp 11385  df-fac 11569  df-bc 11596  df-hash 11621  df-shft 11884  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-limsup 12267  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-ef 12672  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-mulg 14817  df-subg 14943  df-ghm 15006  df-gim 15048  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-cring 15666  df-ur 15667  df-oppr 15730  df-dvdsr 15748  df-unit 15749  df-invr 15779  df-dvr 15790  df-drng 15839  df-subrg 15868  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-nei 17164  df-lp 17202  df-perf 17203  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-haus 17381  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-fil 17880  df-fm 17972  df-flim 17973  df-flf 17974  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354  df-cncf 18910  df-limc 19755  df-dv 19756
 Copyright terms: Public domain W3C validator