MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reefgim Unicode version

Theorem reefgim 19842
Description: The exponential function is a group isomorphism from the group of reals under addition to the group of positive reals under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
reefgim.1  |-  R  =  (flds  RR )
reefgim.2  |-  P  =  ( (mulGrp ` fld )s  RR+ )
Assertion
Ref Expression
reefgim  |-  ( exp  |`  RR )  e.  ( R GrpIso  P )

Proof of Theorem reefgim
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resubdrg 16439 . . . . . 6  |-  ( RR  e.  (SubRing ` fld )  /\  (flds  RR )  e.  DivRing )
21simpli 444 . . . . 5  |-  RR  e.  (SubRing ` fld )
3 reefgim.1 . . . . . 6  |-  R  =  (flds  RR )
43subrgbas 15570 . . . . 5  |-  ( RR  e.  (SubRing ` fld )  ->  RR  =  ( Base `  R )
)
52, 4ax-mp 8 . . . 4  |-  RR  =  ( Base `  R )
6 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )  =  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )
76rpmsubg 16451 . . . . 5  |-  RR+  e.  (SubGrp `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )
8 reefgim.2 . . . . . . 7  |-  P  =  ( (mulGrp ` fld )s  RR+ )
9 cnex 8834 . . . . . . . . 9  |-  CC  e.  _V
10 difexg 4178 . . . . . . . . 9  |-  ( CC  e.  _V  ->  ( CC  \  { 0 } )  e.  _V )
119, 10ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
\  { 0 } )  e.  _V
12 rpcn 10378 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  CC )
13 rpne0 10385 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  =/=  0 )
14 eldifsn 3762 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
1512, 13, 14sylanbrc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
1615ssriv 3197 . . . . . . . 8  |-  RR+  C_  ( CC  \  { 0 } )
17 ressabs 13222 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( CC  \  {
0 } )  e. 
_V  /\  RR+  C_  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  (
( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )s 
RR+ )  =  ( (mulGrp ` fld )s  RR+ ) )
1811, 16, 17mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )s 
RR+ )  =  ( (mulGrp ` fld )s  RR+ )
198, 18eqtr4i 2319 . . . . . 6  |-  P  =  ( ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )s  RR+ )
2019subgbas 14641 . . . . 5  |-  ( RR+  e.  (SubGrp `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )  ->  RR+  =  ( Base `  P ) )
217, 20ax-mp 8 . . . 4  |-  RR+  =  ( Base `  P )
22 cnfldadd 16400 . . . . . 6  |-  +  =  ( +g  ` fld )
233, 22ressplusg 13266 . . . . 5  |-  ( RR  e.  (SubRing ` fld )  ->  +  =  ( +g  `  R ) )
242, 23ax-mp 8 . . . 4  |-  +  =  ( +g  `  R )
25 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  (mulGrp ` fld )  =  (mulGrp ` fld )
26 cnfldmul 16401 . . . . . . 7  |-  x.  =  ( .r ` fld )
2725, 26mgpplusg 15345 . . . . . 6  |-  x.  =  ( +g  `  (mulGrp ` fld )
)
288, 27ressplusg 13266 . . . . 5  |-  ( RR+  e.  (SubGrp `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )  ->  x.  =  ( +g  `  P ) )
297, 28ax-mp 8 . . . 4  |-  x.  =  ( +g  `  P )
303subrgrng 15564 . . . . . 6  |-  ( RR  e.  (SubRing ` fld )  ->  R  e. 
Ring )
312, 30ax-mp 8 . . . . 5  |-  R  e. 
Ring
32 rnggrp 15362 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
3331, 32mp1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  R  e.  Grp )
3419subggrp 14640 . . . . 5  |-  ( RR+  e.  (SubGrp `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )  ->  P  e.  Grp )
357, 34mp1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  P  e.  Grp )
36 reeff1o 19839 . . . . 5  |-  ( exp  |`  RR ) : RR -1-1-onto-> RR+
37 f1of 5488 . . . . 5  |-  ( ( exp  |`  RR ) : RR -1-1-onto-> RR+  ->  ( exp  |`  RR ) : RR --> RR+ )
3836, 37mp1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( exp  |`  RR ) : RR --> RR+ )
39 recn 8843 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
40 recn 8843 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  CC )
41 efadd 12391 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( exp `  (
x  +  y ) )  =  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  y
) ) )
4239, 40, 41syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( exp `  (
x  +  y ) )  =  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  y
) ) )
43 readdcl 8836 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  +  y )  e.  RR )
44 fvres 5558 . . . . . . 7  |-  ( ( x  +  y )  e.  RR  ->  (
( exp  |`  RR ) `
 ( x  +  y ) )  =  ( exp `  (
x  +  y ) ) )
4543, 44syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( exp  |`  RR ) `
 ( x  +  y ) )  =  ( exp `  (
x  +  y ) ) )
46 fvres 5558 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( exp  |`  RR ) `
 x )  =  ( exp `  x
) )
47 fvres 5558 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( exp  |`  RR ) `
 y )  =  ( exp `  y
) )
4846, 47oveqan12d 5893 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( ( exp  |`  RR ) `  x
)  x.  ( ( exp  |`  RR ) `  y ) )  =  ( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  y ) ) )
4942, 45, 483eqtr4d 2338 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( exp  |`  RR ) `
 ( x  +  y ) )  =  ( ( ( exp  |`  RR ) `  x
)  x.  ( ( exp  |`  RR ) `  y ) ) )
5049adantl 452 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( ( exp  |`  RR ) `
 ( x  +  y ) )  =  ( ( ( exp  |`  RR ) `  x
)  x.  ( ( exp  |`  RR ) `  y ) ) )
515, 21, 24, 29, 33, 35, 38, 50isghmd 14708 . . 3  |-  (  T. 
->  ( exp  |`  RR )  e.  ( R  GrpHom  P ) )
5251trud 1314 . 2  |-  ( exp  |`  RR )  e.  ( R  GrpHom  P )
535, 21isgim 14742 . 2  |-  ( ( exp  |`  RR )  e.  ( R GrpIso  P )  <-> 
( ( exp  |`  RR )  e.  ( R  GrpHom  P )  /\  ( exp  |`  RR ) : RR -1-1-onto-> RR+ ) )
5452, 36, 53mpbir2an 886 1  |-  ( exp  |`  RR )  e.  ( R GrpIso  P )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    T. wtru 1307    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    C_ wss 3165   {csn 3653    |` cres 4707   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753    + caddc 8756    x. cmul 8758   RR+crp 10370   expce 12359   Basecbs 13164   ↾s cress 13165   +g cplusg 13224   Grpcgrp 14378  SubGrpcsubg 14631    GrpHom cghm 14696   GrpIso cgim 14737  mulGrpcmgp 15341   Ringcrg 15353   DivRingcdr 15528  SubRingcsubrg 15557  ℂfldccnfld 16393
This theorem is referenced by:  reloggim  19968
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-ghm 14697  df-gim 14739  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-dvr 15481  df-drng 15530  df-subrg 15559  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233
  Copyright terms: Public domain W3C validator