MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reexpcl Unicode version

Theorem reexpcl 11136
Description: Closure of exponentiation of reals. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
reexpcl  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  RR )

Proof of Theorem reexpcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-resscn 8810 . 2  |-  RR  C_  CC
2 remulcl 8838 . 2  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  x.  y
)  e.  RR )
3 1re 8853 . 2  |-  1  e.  RR
41, 2, 3expcllem 11130 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1696  (class class class)co 5874   RRcr 8752   NN0cn0 9981   ^cexp 11120
This theorem is referenced by:  expgt1  11156  leexp2r  11175  leexp1a  11176  resqcl  11187  bernneq  11243  bernneq3  11245  expnbnd  11246  expnlbnd  11247  expmulnbnd  11249  digit2  11250  digit1  11251  reexpcld  11278  faclbnd  11319  faclbnd2  11320  faclbnd3  11321  faclbnd4lem1  11322  faclbnd5  11327  faclbnd6  11328  geomulcvg  12348  reeftcl  12372  ege2le3  12387  eftlub  12405  eflegeo  12417  resin4p  12434  recos4p  12435  ef01bndlem  12480  sin01bnd  12481  cos01bnd  12482  sin01gt0  12486  rpnnen2lem2  12510  rpnnen2lem4  12512  rpnnen2lem11  12519  prmreclem6  12984  mbfi1fseqlem6  19091  aaliou3lem8  19741  radcnvlem1  19805  abelthlem5  19827  abelthlem7  19830  tangtx  19889  advlogexp  20018  logtayllem  20022  leibpilem2  20253  leibpi  20254  leibpisum  20255  basellem3  20336  chtublem  20466  logexprlim  20480  dchrisum0flblem1  20673  pntlem3  20774  ostth2lem1  20783  ostth2lem3  20800  ostth3  20803  subfacval2  23733  faclimlem8  24124  faclimlem9  24125  cntrset  25705  nn0prpw  26342  bfplem1  26649  rpexpmord  27136  stoweidlem1  27853  stoweidlem3  27855  stoweidlem7  27859  stoweidlem12  27864  stoweidlem19  27871  stoweidlem24  27876  stoweidlem25  27877  stoweidlem40  27892  stoweidlem42  27894  stoweidlem45  27897
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-seq 11063  df-exp 11121
  Copyright terms: Public domain W3C validator