MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reexpcl Unicode version

Theorem reexpcl 11327
Description: Closure of exponentiation of reals. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
reexpcl  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  RR )

Proof of Theorem reexpcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-resscn 8982 . 2  |-  RR  C_  CC
2 remulcl 9010 . 2  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  x.  y
)  e.  RR )
3 1re 9025 . 2  |-  1  e.  RR
41, 2, 3expcllem 11321 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1717  (class class class)co 6022   RRcr 8924   NN0cn0 10155   ^cexp 11311
This theorem is referenced by:  expgt1  11347  leexp2r  11366  leexp1a  11367  resqcl  11378  bernneq  11434  bernneq3  11436  expnbnd  11437  expnlbnd  11438  expmulnbnd  11440  digit2  11441  digit1  11442  reexpcld  11469  faclbnd  11510  faclbnd2  11511  faclbnd3  11512  faclbnd4lem1  11513  faclbnd5  11518  faclbnd6  11519  geomulcvg  12582  reeftcl  12606  ege2le3  12621  eftlub  12639  eflegeo  12651  resin4p  12668  recos4p  12669  ef01bndlem  12714  sin01bnd  12715  cos01bnd  12716  sin01gt0  12720  rpnnen2lem2  12744  rpnnen2lem4  12746  rpnnen2lem11  12753  prmreclem6  13218  mbfi1fseqlem6  19481  aaliou3lem8  20131  radcnvlem1  20198  abelthlem5  20220  abelthlem7  20223  tangtx  20282  advlogexp  20415  logtayllem  20419  leibpilem2  20650  leibpi  20651  leibpisum  20652  basellem3  20734  chtublem  20864  logexprlim  20878  dchrisum0flblem1  21071  pntlem3  21172  ostth2lem1  21181  ostth2lem3  21198  ostth3  21201  subfacval2  24654  nn0prpw  26019  bfplem1  26224  rpexpmord  26704
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-seq 11253  df-exp 11312
  Copyright terms: Public domain W3C validator