MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reexpcl Unicode version

Theorem reexpcl 11120
Description: Closure of exponentiation of reals. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
reexpcl  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  RR )

Proof of Theorem reexpcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-resscn 8794 . 2  |-  RR  C_  CC
2 remulcl 8822 . 2  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  x.  y
)  e.  RR )
3 1re 8837 . 2  |-  1  e.  RR
41, 2, 3expcllem 11114 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   RRcr 8736   NN0cn0 9965   ^cexp 11104
This theorem is referenced by:  expgt1  11140  leexp2r  11159  leexp1a  11160  resqcl  11171  bernneq  11227  bernneq3  11229  expnbnd  11230  expnlbnd  11231  expmulnbnd  11233  digit2  11234  digit1  11235  reexpcld  11262  faclbnd  11303  faclbnd2  11304  faclbnd3  11305  faclbnd4lem1  11306  faclbnd5  11311  faclbnd6  11312  geomulcvg  12332  reeftcl  12356  ege2le3  12371  eftlub  12389  eflegeo  12401  resin4p  12418  recos4p  12419  ef01bndlem  12464  sin01bnd  12465  cos01bnd  12466  sin01gt0  12470  rpnnen2lem2  12494  rpnnen2lem4  12496  rpnnen2lem11  12503  prmreclem6  12968  mbfi1fseqlem6  19075  aaliou3lem8  19725  radcnvlem1  19789  abelthlem5  19811  abelthlem7  19814  tangtx  19873  advlogexp  20002  logtayllem  20006  leibpilem2  20237  leibpi  20238  leibpisum  20239  basellem3  20320  chtublem  20450  logexprlim  20464  dchrisum0flblem1  20657  pntlem3  20758  ostth2lem1  20767  ostth2lem3  20784  ostth3  20787  subfacval2  23718  cntrset  25602  nn0prpw  26239  bfplem1  26546  rpexpmord  27033  stoweidlem1  27750  stoweidlem3  27752  stoweidlem7  27756  stoweidlem12  27761  stoweidlem19  27768  stoweidlem24  27773  stoweidlem25  27774  stoweidlem40  27789  stoweidlem42  27791  stoweidlem45  27794
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-seq 11047  df-exp 11105
  Copyright terms: Public domain W3C validator