Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  refssfne Unicode version

Theorem refssfne 26294
 Description: A cover is a refinement iff it is a subcover of something which is both finer and a refinement. (Contributed by Jeff Hankins, 18-Jan-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
refssfne.1
refssfne.2
Assertion
Ref Expression
refssfne
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem refssfne
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 refrel 26278 . . . . . . 7
21brrelexi 4729 . . . . . 6
32adantl 452 . . . . 5
41brrelex2i 4730 . . . . . 6
54adantl 452 . . . . 5
6 unexg 4521 . . . . 5
73, 5, 6syl2anc 642 . . . 4
8 ssun1 3338 . . . . . . . 8
98a1i 10 . . . . . . 7
10 eqimss2 3231 . . . . . . . . . 10
1110adantr 451 . . . . . . . . 9
12 ssequn2 3348 . . . . . . . . 9
1311, 12sylib 188 . . . . . . . 8
1413eqcomd 2288 . . . . . . 7
15 refssfne.1 . . . . . . . 8
16 refssfne.2 . . . . . . . . . 10
1715, 16uneq12i 3327 . . . . . . . . 9
18 uniun 3846 . . . . . . . . 9
1917, 18eqtr4i 2306 . . . . . . . 8
2015, 19fness 26282 . . . . . . 7
217, 9, 14, 20syl3anc 1182 . . . . . 6
22 elun 3316 . . . . . . . . 9
23 ssid 3197 . . . . . . . . . . . 12
24 sseq2 3200 . . . . . . . . . . . . 13
2524rspcev 2884 . . . . . . . . . . . 12
2623, 25mpan2 652 . . . . . . . . . . 11
2726a1i 10 . . . . . . . . . 10
28 refssex 26281 . . . . . . . . . . . 12
2928ex 423 . . . . . . . . . . 11
3029adantl 452 . . . . . . . . . 10
3127, 30jaod 369 . . . . . . . . 9
3222, 31syl5bi 208 . . . . . . . 8
3332ralrimiv 2625 . . . . . . 7
3415, 19isref 26279 . . . . . . . 8
357, 34syl 15 . . . . . . 7
3614, 33, 35mpbir2and 888 . . . . . 6
37 brin 4070 . . . . . 6
3821, 36, 37sylanbrc 645 . . . . 5
39 ssun2 3339 . . . . 5
4038, 39jctil 523 . . . 4
41 sseq2 3200 . . . . . 6
42 breq2 4027 . . . . . 6
4341, 42anbi12d 691 . . . . 5
4443spcegv 2869 . . . 4
457, 40, 44sylc 56 . . 3
4645ex 423 . 2
47 brin 4070 . . . . . . 7
4847simprbi 450 . . . . . 6
4948ad2antll 709 . . . . 5
50 vex 2791 . . . . . . . 8
5150ssex 4158 . . . . . . 7
5251ad2antrl 708 . . . . . 6
53 simprl 732 . . . . . 6
54 simpl 443 . . . . . . 7
55 eqid 2283 . . . . . . . . . 10
5615, 55refbas 26280 . . . . . . . . 9
5748, 56syl 15 . . . . . . . 8
5857ad2antll 709 . . . . . . 7
5954, 58eqtr3d 2317 . . . . . 6
6016, 55ssref 26283 . . . . . 6
6152, 53, 59, 60syl3anc 1182 . . . . 5
62 reftr 26289 . . . . 5
6349, 61, 62syl2anc 642 . . . 4
6463ex 423 . . 3
6564exlimdv 1664 . 2
6646, 65impbid 183 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wo 357   wa 358  wex 1528   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  wrex 2544  cvv 2788   cun 3150   cin 3151   wss 3152  cuni 3827   class class class wbr 4023  cfne 26259  cref 26260 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-topgen 13344  df-fne 26263  df-ref 26264
 Copyright terms: Public domain W3C validator