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Theorem refssfne 26294
Description: A cover is a refinement iff it is a subcover of something which is both finer and a refinement. (Contributed by Jeff Hankins, 18-Jan-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
refssfne.1  |-  X  = 
U. A
refssfne.2  |-  Y  = 
U. B
Assertion
Ref Expression
refssfne  |-  ( X  =  Y  ->  ( A Ref B  <->  E. c
( B  C_  c  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c ) ) )
Distinct variable groups:    A, c    B, c    X, c    Y, c

Proof of Theorem refssfne
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 refrel 26278 . . . . . . 7  |-  Rel  Ref
21brrelexi 4729 . . . . . 6  |-  ( A Ref B  ->  A  e.  _V )
32adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Ref B )  ->  A  e.  _V )
41brrelex2i 4730 . . . . . 6  |-  ( A Ref B  ->  B  e.  _V )
54adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Ref B )  ->  B  e.  _V )
6 unexg 4521 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A  u.  B
)  e.  _V )
73, 5, 6syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Ref B )  -> 
( A  u.  B
)  e.  _V )
8 ssun1 3338 . . . . . . . 8  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
98a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Ref B )  ->  A  C_  ( A  u.  B ) )
10 eqimss2 3231 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  =  Y  ->  Y  C_  X )
1110adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Ref B )  ->  Y  C_  X )
12 ssequn2 3348 . . . . . . . . 9  |-  ( Y 
C_  X  <->  ( X  u.  Y )  =  X )
1311, 12sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Ref B )  -> 
( X  u.  Y
)  =  X )
1413eqcomd 2288 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Ref B )  ->  X  =  ( X  u.  Y ) )
15 refssfne.1 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. A
16 refssfne.2 . . . . . . . . . 10  |-  Y  = 
U. B
1715, 16uneq12i 3327 . . . . . . . . 9  |-  ( X  u.  Y )  =  ( U. A  u.  U. B )
18 uniun 3846 . . . . . . . . 9  |-  U. ( A  u.  B )  =  ( U. A  u.  U. B )
1917, 18eqtr4i 2306 . . . . . . . 8  |-  ( X  u.  Y )  = 
U. ( A  u.  B )
2015, 19fness 26282 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  u.  B
)  e.  _V  /\  A  C_  ( A  u.  B )  /\  X  =  ( X  u.  Y ) )  ->  A Fne ( A  u.  B ) )
217, 9, 14, 20syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Ref B )  ->  A Fne ( A  u.  B ) )
22 elun 3316 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( A  u.  B )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  B ) )
23 ssid 3197 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  C_  x
24 sseq2 3200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  (
x  C_  y  <->  x  C_  x
) )
2524rspcev 2884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  C_  x )  ->  E. y  e.  A  x  C_  y )
2623, 25mpan2 652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  E. y  e.  A  x  C_  y
)
2726a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Ref B )  -> 
( x  e.  A  ->  E. y  e.  A  x  C_  y ) )
28 refssex 26281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A Ref B  /\  x  e.  B )  ->  E. y  e.  A  x  C_  y )
2928ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A Ref B  ->  (
x  e.  B  ->  E. y  e.  A  x  C_  y ) )
3029adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Ref B )  -> 
( x  e.  B  ->  E. y  e.  A  x  C_  y ) )
3127, 30jaod 369 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Ref B )  -> 
( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  ->  E. y  e.  A  x  C_  y
) )
3222, 31syl5bi 208 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Ref B )  -> 
( x  e.  ( A  u.  B )  ->  E. y  e.  A  x  C_  y ) )
3332ralrimiv 2625 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Ref B )  ->  A. x  e.  ( A  u.  B ) E. y  e.  A  x  C_  y )
3415, 19isref 26279 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  u.  B )  e.  _V  ->  ( A Ref ( A  u.  B )  <->  ( X  =  ( X  u.  Y )  /\  A. x  e.  ( A  u.  B ) E. y  e.  A  x  C_  y
) ) )
357, 34syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Ref B )  -> 
( A Ref ( A  u.  B )  <->  ( X  =  ( X  u.  Y )  /\  A. x  e.  ( A  u.  B ) E. y  e.  A  x 
C_  y ) ) )
3614, 33, 35mpbir2and 888 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Ref B )  ->  A Ref ( A  u.  B ) )
37 brin 4070 . . . . . 6  |-  ( A ( Fne  i^i  Ref ) ( A  u.  B )  <->  ( A Fne ( A  u.  B
)  /\  A Ref ( A  u.  B
) ) )
3821, 36, 37sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Ref B )  ->  A ( Fne  i^i  Ref ) ( A  u.  B ) )
39 ssun2 3339 . . . . 5  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
4038, 39jctil 523 . . . 4  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Ref B )  -> 
( B  C_  ( A  u.  B )  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) ( A  u.  B ) ) )
41 sseq2 3200 . . . . . 6  |-  ( c  =  ( A  u.  B )  ->  ( B  C_  c  <->  B  C_  ( A  u.  B )
) )
42 breq2 4027 . . . . . 6  |-  ( c  =  ( A  u.  B )  ->  ( A ( Fne  i^i  Ref ) c  <->  A ( Fne  i^i  Ref ) ( A  u.  B ) ) )
4341, 42anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( c  =  ( A  u.  B )  ->  (
( B  C_  c  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c )  <->  ( B  C_  ( A  u.  B
)  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) ( A  u.  B ) ) ) )
4443spcegv 2869 . . . 4  |-  ( ( A  u.  B )  e.  _V  ->  (
( B  C_  ( A  u.  B )  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) ( A  u.  B ) )  ->  E. c ( B  C_  c  /\  A ( Fne 
i^i  Ref ) c ) ) )
457, 40, 44sylc 56 . . 3  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Ref B )  ->  E. c ( B  C_  c  /\  A ( Fne 
i^i  Ref ) c ) )
4645ex 423 . 2  |-  ( X  =  Y  ->  ( A Ref B  ->  E. c
( B  C_  c  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c ) ) )
47 brin 4070 . . . . . . 7  |-  ( A ( Fne  i^i  Ref ) c  <->  ( A Fne c  /\  A Ref c ) )
4847simprbi 450 . . . . . 6  |-  ( A ( Fne  i^i  Ref ) c  ->  A Ref c )
4948ad2antll 709 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( B  C_  c  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c ) )  ->  A Ref c
)
50 vex 2791 . . . . . . . 8  |-  c  e. 
_V
5150ssex 4158 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  c  ->  B  e.  _V )
5251ad2antrl 708 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( B  C_  c  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c ) )  ->  B  e.  _V )
53 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( B  C_  c  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c ) )  ->  B  C_  c
)
54 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( B  C_  c  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c ) )  ->  X  =  Y )
55 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  U. c  =  U. c
5615, 55refbas 26280 . . . . . . . . 9  |-  ( A Ref c  ->  X  =  U. c )
5748, 56syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( A ( Fne  i^i  Ref ) c  ->  X  =  U. c )
5857ad2antll 709 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( B  C_  c  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c ) )  ->  X  =  U. c )
5954, 58eqtr3d 2317 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( B  C_  c  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c ) )  ->  Y  =  U. c )
6016, 55ssref 26283 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  _V  /\  B  C_  c  /\  Y  =  U. c )  -> 
c Ref B )
6152, 53, 59, 60syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( B  C_  c  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c ) )  ->  c Ref B
)
62 reftr 26289 . . . . 5  |-  ( ( A Ref c  /\  c Ref B )  ->  A Ref B )
6349, 61, 62syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( B  C_  c  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c ) )  ->  A Ref B
)
6463ex 423 . . 3  |-  ( X  =  Y  ->  (
( B  C_  c  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c )  ->  A Ref B ) )
6564exlimdv 1664 . 2  |-  ( X  =  Y  ->  ( E. c ( B  C_  c  /\  A ( Fne 
i^i  Ref ) c )  ->  A Ref B
) )
6646, 65impbid 183 1  |-  ( X  =  Y  ->  ( A Ref B  <->  E. c
( B  C_  c  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   U.cuni 3827   class class class wbr 4023   Fnecfne 26259   Refcref 26260
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-topgen 13344  df-fne 26263  df-ref 26264
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