Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  refsum2cnlem1 Structured version   Unicode version

Theorem refsum2cnlem1 27686
 Description: This is the core Lemma for refsum2cn 27687: the sum of two continuous real functions (from a common topological space) is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
refsum2cnlem1.1
refsum2cnlem1.2
refsum2cnlem1.3
refsum2cnlem1.4
refsum2cnlem1.5
refsum2cnlem1.6
refsum2cnlem1.7 TopOn
refsum2cnlem1.8
refsum2cnlem1.9
Assertion
Ref Expression
refsum2cnlem1
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,   ,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   ()   ()

Proof of Theorem refsum2cnlem1
StepHypRef Expression
1 refsum2cnlem1.4 . . 3
2 refsum2cnlem1.5 . . . . . . . . 9
3 nfmpt1 4300 . . . . . . . . 9
42, 3nfcxfr 2571 . . . . . . . 8
5 nfcv 2574 . . . . . . . 8
64, 5nffv 5737 . . . . . . 7
7 nfcv 2574 . . . . . . 7
86, 7nffv 5737 . . . . . 6
98a1i 11 . . . . 5
10 nfcv 2574 . . . . . . . 8
114, 10nffv 5737 . . . . . . 7
1211, 7nffv 5737 . . . . . 6
1312a1i 11 . . . . 5
14 ax-1cn 9050 . . . . . 6
1514a1i 11 . . . . 5
16 2cn 10072 . . . . . 6
1716a1i 11 . . . . 5
18 1ex 9088 . . . . . . . . . . 11
1918prid1 3914 . . . . . . . . . 10
20 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12
21 iftrue 3747 . . . . . . . . . . . 12
2220, 21ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11
23 refsum2cnlem1.8 . . . . . . . . . . 11
2422, 23syl5eqel 2522 . . . . . . . . . 10
25 eqeq1 2444 . . . . . . . . . . . 12
2625ifbid 3759 . . . . . . . . . . 11
2726, 2fvmptg 5806 . . . . . . . . . 10
2819, 24, 27sylancr 646 . . . . . . . . 9
2928, 22syl6eq 2486 . . . . . . . 8
3029adantr 453 . . . . . . 7
3130fveq1d 5732 . . . . . 6
32 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11
33 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11
3432, 33cnf 17312 . . . . . . . . . 10
3523, 34syl 16 . . . . . . . . 9
36 refsum2cnlem1.7 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
37 toponuni 16994 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . . 11
3938eqcomd 2443 . . . . . . . . . 10
40 refsum2cnlem1.6 . . . . . . . . . . . . 13
4140unieqi 4027 . . . . . . . . . . . 12
42 uniretop 18798 . . . . . . . . . . . 12
4341, 42eqtr4i 2461 . . . . . . . . . . 11
4443a1i 11 . . . . . . . . . 10
4539, 44feq23d 5590 . . . . . . . . 9
4635, 45mpbid 203 . . . . . . . 8
4746anim1i 553 . . . . . . 7
48 ffvelrn 5870 . . . . . . 7
49 recn 9082 . . . . . . 7
5047, 48, 493syl 19 . . . . . 6
5131, 50eqeltrd 2512 . . . . 5
5216elexi 2967 . . . . . . . . . . 11
5352prid2 3915 . . . . . . . . . 10
54 1ne2 10189 . . . . . . . . . . . . . 14
5554necomi 2688 . . . . . . . . . . . . 13
56 df-ne 2603 . . . . . . . . . . . . 13
5755, 56mpbi 201 . . . . . . . . . . . 12
58 iffalse 3748 . . . . . . . . . . . 12
5957, 58ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11
60 refsum2cnlem1.9 . . . . . . . . . . 11
6159, 60syl5eqel 2522 . . . . . . . . . 10
62 eqeq1 2444 . . . . . . . . . . . 12
6362ifbid 3759 . . . . . . . . . . 11
6463, 2fvmptg 5806 . . . . . . . . . 10
6553, 61, 64sylancr 646 . . . . . . . . 9
6665, 59syl6eq 2486 . . . . . . . 8
6766adantr 453 . . . . . . 7
6867fveq1d 5732 . . . . . 6
6932, 33cnf 17312 . . . . . . . . . 10
7060, 69syl 16 . . . . . . . . 9
7139, 44feq23d 5590 . . . . . . . . 9
7270, 71mpbid 203 . . . . . . . 8
7372anim1i 553 . . . . . . 7
74 ffvelrn 5870 . . . . . . 7
75 recn 9082 . . . . . . 7
7673, 74, 753syl 19 . . . . . 6
7768, 76eqeltrd 2512 . . . . 5
7854a1i 11 . . . . 5
79 fveq2 5730 . . . . . . 7
8079fveq1d 5732 . . . . . 6
8180adantl 454 . . . . 5
82 fveq2 5730 . . . . . . 7
8382fveq1d 5732 . . . . . 6
8483adantl 454 . . . . 5
859, 13, 15, 17, 51, 77, 78, 81, 84sumpair 27684 . . . 4
8631, 68oveq12d 6101 . . . 4
8785, 86eqtrd 2470 . . 3
881, 87mpteq2da 4296 . 2
89 prfi 7383 . . . 4
9089a1i 11 . . 3
91 eqid 2438 . . . . . . . . . 10
9291ax-gen 1556 . . . . . . . . 9
93 refsum2cnlem1.1 . . . . . . . . . . . 12
94 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . 12
9593, 94nffv 5737 . . . . . . . . . . 11
96 refsum2cnlem1.2 . . . . . . . . . . 11
9795, 96nfeq 2581 . . . . . . . . . 10
98 fveq1 5729 . . . . . . . . . . 11
9998a1d 24 . . . . . . . . . 10
10097, 99ralrimi 2789 . . . . . . . . 9
101 mpteq12f 4287 . . . . . . . . 9
10292, 100, 101sylancr 646 . . . . . . . 8
103102adantl 454 . . . . . . 7
104 retopon 18799 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn
10540, 104eqeltri 2508 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
106105a1i 11 . . . . . . . . . . 11 TopOn
107 cnf2 17315 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn
10836, 106, 23, 107syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10
109 ffn 5593 . . . . . . . . . 10
110108, 109syl 16 . . . . . . . . 9
11196dffn5f 5783 . . . . . . . . 9
112110, 111sylib 190 . . . . . . . 8
113112adantr 453 . . . . . . 7
114103, 113eqtr4d 2473 . . . . . 6
11523adantr 453 . . . . . 6
116114, 115eqeltrd 2512 . . . . 5
117116adantlr 697 . . . 4
118 refsum2cnlem1.3 . . . . . . . . . . 11
11995, 118nfeq 2581 . . . . . . . . . 10
120 fveq1 5729 . . . . . . . . . . 11
121120a1d 24 . . . . . . . . . 10
122119, 121ralrimi 2789 . . . . . . . . 9
123 mpteq12f 4287 . . . . . . . . 9
12492, 122, 123sylancr 646 . . . . . . . 8
125124adantl 454 . . . . . . 7
126 cnf2 17315 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn
12736, 106, 60, 126syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10
128 ffn 5593 . . . . . . . . . 10
129127, 128syl 16 . . . . . . . . 9
130118dffn5f 5783 . . . . . . . . 9
131129, 130sylib 190 . . . . . . . 8
132131adantr 453 . . . . . . 7
133125, 132eqtr4d 2473 . . . . . 6
13460adantr 453 . . . . . 6
135133, 134eqeltrd 2512 . . . . 5
136135adantlr 697 . . . 4
137 simpr 449 . . . . . . . 8
138 ifcl 3777 . . . . . . . . . 10
13923, 60, 138syl2anc 644 . . . . . . . . 9
140139adantr 453 . . . . . . . 8
1412fvmpt2 5814 . . . . . . . 8
142137, 140, 141syl2anc 644 . . . . . . 7
143 iftrue 3747 . . . . . . 7
144142, 143sylan9eq 2490 . . . . . 6
145144orcd 383 . . . . 5
146142adantr 453 . . . . . . 7
147 neeq2 2612 . . . . . . . . . . . 12
14854, 147mpbiri 226 . . . . . . . . . . 11
149148necomd 2689 . . . . . . . . . 10
150149neneqd 2619 . . . . . . . . 9
151150adantl 454 . . . . . . . 8
152 iffalse 3748 . . . . . . . 8
153151, 152syl 16 . . . . . . 7
154146, 153eqtrd 2470 . . . . . 6
155154olcd 384 . . . . 5
156 elpri 3836 . . . . . 6
157156adantl 454 . . . . 5
158145, 155, 157mpjaodan 763 . . . 4
159117, 136, 158mpjaodan 763 . . 3
1601, 40, 36, 90, 159refsumcn 27679 . 2
16188, 160eqeltrrd 2513 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wo 359   wa 360  wal 1550  wnf 1554   wceq 1653   wcel 1726  wnfc 2561   wne 2601  wral 2707  cif 3741  cpr 3817  cuni 4017   cmpt 4268   crn 4881   wfn 5451  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083  cfn 7111  cc 8990  cr 8991  c1 8993   caddc 8995  c2 10051  cioo 10918  csu 12481  ctg 13667  TopOnctopon 16961   ccn 17290 This theorem is referenced by:  refsum2cn  27687 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-sum 12482  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354
 Copyright terms: Public domain W3C validator