Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  refsum2cnlem1 Unicode version

Theorem refsum2cnlem1 27708
 Description: This is the core Lemma for refsum2cn 27709: the sum of two continuous real functions (from a common topological space) is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
refsum2cnlem1.1
refsum2cnlem1.2
refsum2cnlem1.3
refsum2cnlem1.4
refsum2cnlem1.5
refsum2cnlem1.6
refsum2cnlem1.7 TopOn
refsum2cnlem1.8
refsum2cnlem1.9
Assertion
Ref Expression
refsum2cnlem1
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,   ,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   ()   ()

Proof of Theorem refsum2cnlem1
StepHypRef Expression
1 refsum2cnlem1.4 . . 3
2 refsum2cnlem1.5 . . . . . . . . 9
3 nfmpt1 4109 . . . . . . . . 9
42, 3nfcxfr 2416 . . . . . . . 8
5 nfcv 2419 . . . . . . . 8
64, 5nffv 5532 . . . . . . 7
7 nfcv 2419 . . . . . . 7
86, 7nffv 5532 . . . . . 6
98a1i 10 . . . . 5
10 nfcv 2419 . . . . . . . 8
114, 10nffv 5532 . . . . . . 7
1211, 7nffv 5532 . . . . . 6
1312a1i 10 . . . . 5
14 ax-1cn 8795 . . . . . 6
1514a1i 10 . . . . 5
16 2cn 9816 . . . . . 6
1716a1i 10 . . . . 5
18 refsum2cnlem1.8 . . . . . . . . . . 11
19 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12
20 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12
2119, 20cnf 16976 . . . . . . . . . . 11
2218, 21syl 15 . . . . . . . . . 10
23 refsum2cnlem1.7 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn
24 toponuni 16665 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn
2523, 24syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
2625eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . 12
27 refsum2cnlem1.6 . . . . . . . . . . . . . . 15
2827unieqi 3837 . . . . . . . . . . . . . 14
29 uniretop 18271 . . . . . . . . . . . . . 14
3028, 29eqtr4i 2306 . . . . . . . . . . . . 13
3130a1i 10 . . . . . . . . . . . 12
3226, 31feq23d 5386 . . . . . . . . . . 11
3332biimpd 198 . . . . . . . . . 10
3422, 33mpd 14 . . . . . . . . 9
3534adantr 451 . . . . . . . 8
36 simpr 447 . . . . . . . 8
3735, 36jca 518 . . . . . . 7
38 ffvelrn 5663 . . . . . . 7
39 recn 8827 . . . . . . 7
4037, 38, 393syl 18 . . . . . 6
41 1ex 8833 . . . . . . . . . . . . . 14
4241prid1 3734 . . . . . . . . . . . . 13
4342a1i 10 . . . . . . . . . . . 12
44 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14
45 iftrue 3571 . . . . . . . . . . . . . 14
4644, 45ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13
4746, 18syl5eqel 2367 . . . . . . . . . . . 12
4843, 47jca 518 . . . . . . . . . . 11
49 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . 12
50 eqeq1 2289 . . . . . . . . . . . . 13
5150ifbid 3583 . . . . . . . . . . . 12
525, 49, 51, 2fvmptf 5616 . . . . . . . . . . 11
5348, 52syl 15 . . . . . . . . . 10
5453, 46syl6eq 2331 . . . . . . . . 9
5554adantr 451 . . . . . . . 8
5655fveq1d 5527 . . . . . . 7
5756eleq1d 2349 . . . . . 6
5840, 57mpbird 223 . . . . 5
59 elex 2796 . . . . . . . . . . . . . 14
6016, 59ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13
6160prid2 3735 . . . . . . . . . . . 12
6261a1i 10 . . . . . . . . . . 11
63 1ne2 9931 . . . . . . . . . . . . . . 15
6463necomi 2528 . . . . . . . . . . . . . 14
65 df-ne 2448 . . . . . . . . . . . . . 14
6664, 65mpbi 199 . . . . . . . . . . . . 13
67 iffalse 3572 . . . . . . . . . . . . 13
6866, 67ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12
69 refsum2cnlem1.9 . . . . . . . . . . . 12
7068, 69syl5eqel 2367 . . . . . . . . . . 11
7162, 70jca 518 . . . . . . . . . 10
72 nfcv 2419 . . . . . . . . . . 11
73 eqeq1 2289 . . . . . . . . . . . 12
7473ifbid 3583 . . . . . . . . . . 11
7510, 72, 74, 2fvmptf 5616 . . . . . . . . . 10
7671, 75syl 15 . . . . . . . . 9
7776, 68syl6eq 2331 . . . . . . . 8
7877adantr 451 . . . . . . 7
7978fveq1d 5527 . . . . . 6
8019, 20cnf 16976 . . . . . . . . . . 11
8169, 80syl 15 . . . . . . . . . 10
8226, 31feq23d 5386 . . . . . . . . . . 11
8382biimpd 198 . . . . . . . . . 10
8481, 83mpd 14 . . . . . . . . 9
8584adantr 451 . . . . . . . 8
8685, 36jca 518 . . . . . . 7
87 ffvelrn 5663 . . . . . . 7
88 recn 8827 . . . . . . 7
8986, 87, 883syl 18 . . . . . 6
9079, 89eqeltrd 2357 . . . . 5
9163a1i 10 . . . . 5
92 fveq2 5525 . . . . . . 7
9392fveq1d 5527 . . . . . 6
9493adantl 452 . . . . 5
95 fveq2 5525 . . . . . . 7
9695fveq1d 5527 . . . . . 6
9796adantl 452 . . . . 5
989, 13, 15, 17, 58, 90, 91, 94, 97sumpair 27706 . . . 4
9956, 79oveq12d 5876 . . . 4
10098, 99eqtrd 2315 . . 3
1011, 100mpteq2da 4105 . 2
102 prfi 7131 . . . 4
103102a1i 10 . . 3
10418adantr 451 . . . . . 6
105 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13
106105ax-gen 1533 . . . . . . . . . . . 12
107106a1i 10 . . . . . . . . . . 11
108 refsum2cnlem1.1 . . . . . . . . . . . . . 14
109 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . 14
110108, 109nffv 5532 . . . . . . . . . . . . 13
111 refsum2cnlem1.2 . . . . . . . . . . . . 13
112110, 111nfeq 2426 . . . . . . . . . . . 12
113 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . 13
114113a1d 22 . . . . . . . . . . . 12
115112, 114ralrimi 2624 . . . . . . . . . . 11
116107, 115jca 518 . . . . . . . . . 10
117 mpteq12f 4096 . . . . . . . . . 10
118116, 117syl 15 . . . . . . . . 9
119118adantl 452 . . . . . . . 8
120 retopon 18272 . . . . . . . . . . . . . . 15 TopOn
12127, 120eqeltri 2353 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn
122121a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn
12323, 122, 183jca 1132 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn
124 cnf2 16979 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn
125123, 124syl 15 . . . . . . . . . . 11
126 ffn 5389 . . . . . . . . . . 11
127125, 126syl 15 . . . . . . . . . 10
128111dffn5f 5577 . . . . . . . . . 10
129127, 128sylib 188 . . . . . . . . 9
130129adantr 451 . . . . . . . 8
131119, 130eqtr4d 2318 . . . . . . 7
132131eleq1d 2349 . . . . . 6
133104, 132mpbird 223 . . . . 5
134133adantlr 695 . . . 4
13569adantr 451 . . . . . 6
136106a1i 10 . . . . . . . . . . 11
137 refsum2cnlem1.3 . . . . . . . . . . . . 13
138110, 137nfeq 2426 . . . . . . . . . . . 12
139 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . 13
140139a1d 22 . . . . . . . . . . . 12
141138, 140ralrimi 2624 . . . . . . . . . . 11
142136, 141jca 518 . . . . . . . . . 10
143 mpteq12f 4096 . . . . . . . . . 10
144142, 143syl 15 . . . . . . . . 9
145144adantl 452 . . . . . . . 8
14623, 122, 693jca 1132 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn
147 cnf2 16979 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn
148146, 147syl 15 . . . . . . . . . . 11
149 ffn 5389 . . . . . . . . . . 11
150148, 149syl 15 . . . . . . . . . 10
151137dffn5f 5577 . . . . . . . . . 10
152150, 151sylib 188 . . . . . . . . 9
153152adantr 451 . . . . . . . 8
154145, 153eqtr4d 2318 . . . . . . 7
155154eleq1d 2349 . . . . . 6
156135, 155mpbird 223 . . . . 5
157156adantlr 695 . . . 4
158 simpr 447 . . . . . . . . . 10
15918, 69jca 518 . . . . . . . . . . . 12
160 ifcl 3601 . . . . . . . . . . . 12
161159, 160syl 15 . . . . . . . . . . 11
162161adantr 451 . . . . . . . . . 10
163158, 162jca 518 . . . . . . . . 9
1642fvmpt2 5608 . . . . . . . . 9
165163, 164syl 15 . . . . . . . 8
166165adantr 451 . . . . . . 7
167 iftrue 3571 . . . . . . . 8
168167adantl 452 . . . . . . 7
169166, 168eqtrd 2315 . . . . . 6
170169orcd 381 . . . . 5
171165adantr 451 . . . . . . 7
172 neeq2 2455 . . . . . . . . . . . 12
17363, 172mpbiri 224 . . . . . . . . . . 11
174173necomd 2529 . . . . . . . . . 10
175 df-ne 2448 . . . . . . . . . 10
176174, 175sylib 188 . . . . . . . . 9
177176adantl 452 . . . . . . . 8
178 iffalse 3572 . . . . . . . 8
179177, 178syl 15 . . . . . . 7
180171, 179eqtrd 2315 . . . . . 6
181180olcd 382 . . . . 5
182 elpri 3660 . . . . . 6
183182adantl 452 . . . . 5
184170, 181, 183mpjaodan 761 . . . 4
185134, 157, 184mpjaodan 761 . . 3
1861, 27, 23, 103, 185refsumcn 27701 . 2
187101, 186eqeltrrd 2358 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wo 357   wa 358   w3a 934  wal 1527  wnf 1531   wceq 1623   wcel 1684  wnfc 2406   wne 2446  wral 2543  cvv 2788  cif 3565  cpr 3641  cuni 3827   cmpt 4077   crn 4690   wfn 5250  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858  cfn 6863  cc 8735  cr 8736  c1 8738   caddc 8740  c2 9795  cioo 10656  csu 12158  ctg 13342  TopOnctopon 16632   ccn 16954 This theorem is referenced by:  refsum2cn  27709 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887
 Copyright terms: Public domain W3C validator