Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  refsumcn Structured version   Unicode version

Theorem refsumcn 27679
 Description: A finite sum of continuous real functions, from a common topological space, is continuous. The class expression for B normally contains free variables k and x to index it. See fsumcn 18902 for the analogous theorem on continuous complex functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
refsumcn.1
refsumcn.2
refsumcn.3 TopOn
refsumcn.4
refsumcn.5
Assertion
Ref Expression
refsumcn
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,)

Proof of Theorem refsumcn
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . 4 fld fld
2 refsumcn.3 . . . 4 TopOn
3 refsumcn.4 . . . 4
4 refsumcn.5 . . . . . 6
5 refsumcn.2 . . . . . . . 8
61tgioo2 18836 . . . . . . . 8 fldt
75, 6eqtri 2458 . . . . . . 7 fldt
87oveq2i 6094 . . . . . 6 fldt
94, 8syl6eleq 2528 . . . . 5 fldt
101cnfldtopon 18819 . . . . . . 7 fld TopOn
1110a1i 11 . . . . . 6 fld TopOn
122adantr 453 . . . . . . . 8 TopOn
13 retopon 18799 . . . . . . . . . 10 TopOn
145, 13eqeltri 2508 . . . . . . . . 9 TopOn
1514a1i 11 . . . . . . . 8 TopOn
16 cnf2 17315 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
1712, 15, 4, 16syl3anc 1185 . . . . . . 7
18 frn 5599 . . . . . . 7
1917, 18syl 16 . . . . . 6
20 ax-resscn 9049 . . . . . . 7
2120a1i 11 . . . . . 6
22 cnrest2 17352 . . . . . 6 fld TopOn fld fldt
2311, 19, 21, 22syl3anc 1185 . . . . 5 fld fldt
249, 23mpbird 225 . . . 4 fld
251, 2, 3, 24fsumcnf 27670 . . 3 fld
2610a1i 11 . . . 4 fld TopOn
27 refsumcn.1 . . . . . . . . . . 11
283adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13
29 simpll 732 . . . . . . . . . . . . . . 15
30 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . 15
3129, 30jca 520 . . . . . . . . . . . . . 14
32 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . 14
33 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3433fmpt 5892 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3517, 34sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . 15
36 rsp 2768 . . . . . . . . . . . . . . 15
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
3831, 32, 37sylc 59 . . . . . . . . . . . . 13
3928, 38fsumrecl 12530 . . . . . . . . . . . 12
4039ex 425 . . . . . . . . . . 11
4127, 40ralrimi 2789 . . . . . . . . . 10
42 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11
4342fnmpt 5573 . . . . . . . . . 10
4441, 43syl 16 . . . . . . . . 9
45 nfcv 2574 . . . . . . . . . 10
46 nfcv 2574 . . . . . . . . . 10
47 nfmpt1 4300 . . . . . . . . . 10
4845, 46, 47fvelrnbf 27667 . . . . . . . . 9
4944, 48syl 16 . . . . . . . 8
5049biimpa 472 . . . . . . 7
5147nfrn 5114 . . . . . . . . . 10
5251nfcri 2568 . . . . . . . . 9
5327, 52nfan 1847 . . . . . . . 8
54 nfcv 2574 . . . . . . . . 9
5554nfcri 2568 . . . . . . . 8
56 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . 15
5756, 39jca 520 . . . . . . . . . . . . . 14
5842fvmpt2 5814 . . . . . . . . . . . . . 14
5957, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
60593adant3 978 . . . . . . . . . . . 12
61 simp3 960 . . . . . . . . . . . 12
6260, 61eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . 11
63393adant3 978 . . . . . . . . . . 11
6462, 63eqeltrrd 2513 . . . . . . . . . 10
65643adant1r 1178 . . . . . . . . 9
66653exp 1153 . . . . . . . 8
6753, 55, 66rexlimd 2829 . . . . . . 7
6850, 67mpd 15 . . . . . 6
6968ex 425 . . . . 5
7069ssrdv 3356 . . . 4
7120a1i 11 . . . 4
72 cnrest2 17352 . . . 4 fld TopOn fld fldt
7326, 70, 71, 72syl3anc 1185 . . 3 fld fldt
7425, 73mpbid 203 . 2 fldt
7574, 8syl6eleqr 2529 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937  wnf 1554   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  wrex 2708   wss 3322   cmpt 4268   crn 4881   wfn 5451  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083  cfn 7111  cc 8990  cr 8991  cioo 10918  csu 12481   ↾t crest 13650  ctopn 13651  ctg 13667  ℂfldccnfld 16705  TopOnctopon 16961   ccn 17290 This theorem is referenced by:  refsum2cnlem1  27686 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-sum 12482  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354
 Copyright terms: Public domain W3C validator