MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rege0subm Unicode version

Theorem rege0subm 16534
Description: The nonnegative reals form a submonoid of the complexes. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
rege0subm  |-  ( 0 [,)  +oo )  e.  (SubMnd ` fld )

Proof of Theorem rege0subm
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 8928 . . . . 5  |-  0  e.  RR
2 pnfxr 10547 . . . . 5  |-  +oo  e.  RR*
3 icossre 10822 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )
41, 2, 3mp2an 653 . . . 4  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
54sseli 3252 . . 3  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  x  e.  RR )
65recnd 8951 . 2  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  x  e.  CC )
7 ge0addcl 10840 . 2  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  (
x  +  y )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
8 0le0 9917 . . 3  |-  0  <_  0
9 elrege0 10838 . . 3  |-  ( 0  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR  /\  0  <_  0 ) )
101, 8, 9mpbir2an 886 . 2  |-  0  e.  ( 0 [,)  +oo )
116, 7, 10cnsubmlem 16525 1  |-  ( 0 [,)  +oo )  e.  (SubMnd ` fld )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1710    C_ wss 3228   class class class wbr 4104   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   RRcr 8826   0cc0 8827    +oocpnf 8954   RR*cxr 8956    <_ cle 8958   [,)cico 10750  SubMndcsubmnd 14513  ℂfldccnfld 16482
This theorem is referenced by:  jensen  20394  amgm  20396
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-addf 8906  ax-mulf 8907
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-oadd 6570  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-7 9899  df-8 9900  df-9 9901  df-10 9902  df-n0 10058  df-z 10117  df-dec 10217  df-uz 10323  df-ico 10754  df-fz 10875  df-struct 13247  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-starv 13320  df-tset 13324  df-ple 13325  df-ds 13327  df-unif 13328  df-0g 13503  df-mnd 14466  df-submnd 14515  df-grp 14588  df-cmn 15190  df-mgp 15425  df-rng 15439  df-cring 15440  df-cnfld 16483
  Copyright terms: Public domain W3C validator