MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reghaus Structured version   Unicode version

Theorem reghaus 17849
Description: A regular T0 space is Hausdorff. In other words, a T3 space is T2 . A regular Hausdorff or T0 space is also known as a T3 space. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
reghaus  |-  ( J  e.  Reg  ->  ( J  e.  Haus  <->  J  e.  Kol2 ) )

Proof of Theorem reghaus
StepHypRef Expression
1 haust1 17408 . . 3  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e. 
Fre )
2 t1t0 17404 . . 3  |-  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  Kol2 )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e. 
Kol2 )
4 regr1 17774 . . . . 5  |-  ( J  e.  Reg  ->  (KQ `  J )  e.  Haus )
54anim2i 553 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Kol2  /\  J  e.  Reg )  ->  ( J  e.  Kol2  /\  (KQ `  J )  e.  Haus ) )
6 ishaus3 17847 . . . 4  |-  ( J  e.  Haus  <->  ( J  e. 
Kol2  /\  (KQ `  J
)  e.  Haus )
)
75, 6sylibr 204 . . 3  |-  ( ( J  e.  Kol2  /\  J  e.  Reg )  ->  J  e.  Haus )
87expcom 425 . 2  |-  ( J  e.  Reg  ->  ( J  e.  Kol2  ->  J  e.  Haus ) )
93, 8impbid2 196 1  |-  ( J  e.  Reg  ->  ( J  e.  Haus  <->  J  e.  Kol2 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725   ` cfv 5446   Kol2ct0 17362   Frect1 17363   Hauscha 17364   Regcreg 17365  KQckq 17717
This theorem is referenced by:  nrmhaus  17850
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-suc 4579  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-1o 6716  df-map 7012  df-topgen 13659  df-qtop 13725  df-top 16955  df-topon 16958  df-cld 17075  df-cls 17077  df-cn 17283  df-t0 17369  df-t1 17370  df-haus 17371  df-reg 17372  df-kq 17718  df-hmeo 17779  df-hmph 17780
  Copyright terms: Public domain W3C validator