MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reghaus Unicode version

Theorem reghaus 17516
Description: A regular T0 space is Hausdorff. In other words, a T3 space is T2 . A regular Hausdorff or T0 space is also known as a T3 space. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
reghaus  |-  ( J  e.  Reg  ->  ( J  e.  Haus  <->  J  e.  Kol2 ) )

Proof of Theorem reghaus
StepHypRef Expression
1 haust1 17080 . . 3  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e. 
Fre )
2 t1t0 17076 . . 3  |-  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  Kol2 )
31, 2syl 15 . 2  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e. 
Kol2 )
4 regr1 17441 . . . . 5  |-  ( J  e.  Reg  ->  (KQ `  J )  e.  Haus )
54anim2i 552 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Kol2  /\  J  e.  Reg )  ->  ( J  e.  Kol2  /\  (KQ `  J )  e.  Haus ) )
6 ishaus3 17514 . . . 4  |-  ( J  e.  Haus  <->  ( J  e. 
Kol2  /\  (KQ `  J
)  e.  Haus )
)
75, 6sylibr 203 . . 3  |-  ( ( J  e.  Kol2  /\  J  e.  Reg )  ->  J  e.  Haus )
87expcom 424 . 2  |-  ( J  e.  Reg  ->  ( J  e.  Kol2  ->  J  e.  Haus ) )
93, 8impbid2 195 1  |-  ( J  e.  Reg  ->  ( J  e.  Haus  <->  J  e.  Kol2 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1684   ` cfv 5255   Kol2ct0 17034   Frect1 17035   Hauscha 17036   Regcreg 17037  KQckq 17384
This theorem is referenced by:  nrmhaus  17517
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-1o 6479  df-map 6774  df-topgen 13344  df-qtop 13410  df-top 16636  df-topon 16639  df-cld 16756  df-cls 16758  df-cn 16957  df-t0 17041  df-t1 17042  df-haus 17043  df-reg 17044  df-kq 17385  df-hmeo 17446  df-hmph 17447
  Copyright terms: Public domain W3C validator