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Theorem reghmph 17817
Description: Regularity is a topological property. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
reghmph  |-  ( J  ~=  K  ->  ( J  e.  Reg  ->  K  e.  Reg ) )

Proof of Theorem reghmph
Dummy variables  w  f  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmph 17800 . 2  |-  ( J  ~=  K  <->  ( J  Homeo  K )  =/=  (/) )
2 n0 3629 . . 3  |-  ( ( J  Homeo  K )  =/=  (/)  <->  E. f  f  e.  ( J  Homeo  K ) )
3 hmeocn 17784 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( J  Homeo  K )  ->  f  e.  ( J  Cn  K
) )
43adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  -> 
f  e.  ( J  Cn  K ) )
5 cntop2 17297 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
64, 5syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  ->  K  e.  Top )
7 simpll 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J 
Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  J  e.  Reg )
84adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J 
Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  f  e.  ( J  Cn  K
) )
9 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J 
Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  x  e.  K )
10 cnima 17321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( J  Cn  K )  /\  x  e.  K )  ->  ( `' f "
x )  e.  J
)
118, 9, 10syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J 
Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  ( `' f " x
)  e.  J )
12 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. J  =  U. J
13 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. K  =  U. K
1412, 13hmeof1o 17788 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  ( J  Homeo  K )  ->  f : U. J -1-1-onto-> U. K )
1514ad2antlr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J 
Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  f : U. J -1-1-onto-> U. K )
16 f1ocnv 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : U. J -1-1-onto-> U. K  ->  `' f : U. K
-1-1-onto-> U. J )
17 f1ofn 5667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' f : U. K -1-1-onto-> U. J  ->  `' f  Fn 
U. K )
1815, 16, 173syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J 
Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  `' f  Fn  U. K )
19 elssuni 4035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  K  ->  x  C_ 
U. K )
2019ad2antrl 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J 
Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  x  C_ 
U. K )
21 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J 
Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  y  e.  x )
22 fnfvima 5968 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' f  Fn  U. K  /\  x  C_  U. K  /\  y  e.  x
)  ->  ( `' f `  y )  e.  ( `' f "
x ) )
2318, 20, 21, 22syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J 
Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  ( `' f `  y
)  e.  ( `' f " x ) )
24 regsep 17390 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  ( `' f " x
)  e.  J  /\  ( `' f `  y
)  e.  ( `' f " x ) )  ->  E. w  e.  J  ( ( `' f `  y
)  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' f "
x ) ) )
257, 11, 23, 24syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J 
Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  E. w  e.  J  ( ( `' f `  y
)  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' f "
x ) ) )
26 simpllr 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  f  e.  ( J  Homeo  K )
)
27 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  w  e.  J
)
28 hmeoima 17789 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  w  e.  J )  ->  (
f " w )  e.  K )
2926, 27, 28syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  ( f "
w )  e.  K
)
3020, 21sseldd 3341 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J 
Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  y  e.  U. K )
3130adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  y  e.  U. K )
32 simprrl 741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  ( `' f `
 y )  e.  w )
3318adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  `' f  Fn 
U. K )
34 elpreima 5842 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' f  Fn  U. K  ->  ( y  e.  ( `' `' f " w
)  <->  ( y  e. 
U. K  /\  ( `' f `  y
)  e.  w ) ) )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  ( y  e.  ( `' `' f
" w )  <->  ( y  e.  U. K  /\  ( `' f `  y
)  e.  w ) ) )
3631, 32, 35mpbir2and 889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  y  e.  ( `' `' f " w
) )
37 imacnvcnv 5326 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' `' f " w
)  =  ( f
" w )
3836, 37syl6eleq 2525 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  y  e.  ( f " w ) )
39 elssuni 4035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  J  ->  w  C_ 
U. J )
4039ad2antrl 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  w  C_  U. J
)
4112hmeocls 17792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  w  C_ 
U. J )  -> 
( ( cls `  K
) `  ( f " w ) )  =  ( f "
( ( cls `  J
) `  w )
) )
4226, 40, 41syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  ( ( cls `  K ) `  (
f " w ) )  =  ( f
" ( ( cls `  J ) `  w
) ) )
43 simprrr 742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( `' f " x ) )
4415adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  f : U. J
-1-1-onto-> U. K )
45 f1ofun 5668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : U. J -1-1-onto-> U. K  ->  Fun  f )
4644, 45syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  Fun  f )
477adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  J  e.  Reg )
48 regtop 17389 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  e.  Reg  ->  J  e.  Top )
4947, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  J  e.  Top )
5012clsss3 17115 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  w  C_  U. J )  ->  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  U. J )
5149, 40, 50syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  U. J )
52 f1odm 5670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : U. J -1-1-onto-> U. K  ->  dom  f  =  U. J )
5344, 52syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  dom  f  =  U. J )
5451, 53sseqtr4d 3377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  dom  f )
55 funimass3 5838 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  f  /\  (
( cls `  J
) `  w )  C_ 
dom  f )  -> 
( ( f "
( ( cls `  J
) `  w )
)  C_  x  <->  ( ( cls `  J ) `  w )  C_  ( `' f " x
) ) )
5646, 54, 55syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  ( ( f
" ( ( cls `  J ) `  w
) )  C_  x  <->  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' f "
x ) ) )
5743, 56mpbird 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  ( f "
( ( cls `  J
) `  w )
)  C_  x )
5842, 57eqsstrd 3374 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  ( ( cls `  K ) `  (
f " w ) )  C_  x )
59 eleq2 2496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( f "
w )  ->  (
y  e.  z  <->  y  e.  ( f " w
) ) )
60 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( f "
w )  ->  (
( cls `  K
) `  z )  =  ( ( cls `  K ) `  (
f " w ) ) )
6160sseq1d 3367 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( f "
w )  ->  (
( ( cls `  K
) `  z )  C_  x  <->  ( ( cls `  K ) `  (
f " w ) )  C_  x )
)
6259, 61anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( f "
w )  ->  (
( y  e.  z  /\  ( ( cls `  K ) `  z
)  C_  x )  <->  ( y  e.  ( f
" w )  /\  ( ( cls `  K
) `  ( f " w ) ) 
C_  x ) ) )
6362rspcev 3044 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f " w
)  e.  K  /\  ( y  e.  ( f " w )  /\  ( ( cls `  K ) `  (
f " w ) )  C_  x )
)  ->  E. z  e.  K  ( y  e.  z  /\  (
( cls `  K
) `  z )  C_  x ) )
6429, 38, 58, 63syl12anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Reg  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( ( `' f `
 y )  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' f " x
) ) ) )  ->  E. z  e.  K  ( y  e.  z  /\  ( ( cls `  K ) `  z
)  C_  x )
)
6525, 64rexlimddv 2826 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J 
Homeo  K ) )  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  x
) )  ->  E. z  e.  K  ( y  e.  z  /\  (
( cls `  K
) `  z )  C_  x ) )
6665ralrimivva 2790 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  ->  A. x  e.  K  A. y  e.  x  E. z  e.  K  ( y  e.  z  /\  ( ( cls `  K ) `  z
)  C_  x )
)
67 isreg 17388 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Reg  <->  ( K  e.  Top  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  x  E. z  e.  K  ( y  e.  z  /\  (
( cls `  K
) `  z )  C_  x ) ) )
686, 66, 67sylanbrc 646 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  f  e.  ( J  Homeo  K ) )  ->  K  e.  Reg )
6968expcom 425 . . . 4  |-  ( f  e.  ( J  Homeo  K )  ->  ( J  e.  Reg  ->  K  e.  Reg ) )
7069exlimiv 1644 . . 3  |-  ( E. f  f  e.  ( J  Homeo  K )  ->  ( J  e.  Reg  ->  K  e.  Reg )
)
712, 70sylbi 188 . 2  |-  ( ( J  Homeo  K )  =/=  (/)  ->  ( J  e.  Reg  ->  K  e.  Reg ) )
721, 71sylbi 188 1  |-  ( J  ~=  K  ->  ( J  e.  Reg  ->  K  e.  Reg ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698    C_ wss 3312   (/)c0 3620   U.cuni 4007   class class class wbr 4204   `'ccnv 4869   dom cdm 4870   "cima 4873   Fun wfun 5440    Fn wfn 5441   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Topctop 16950   clsccl 17074    Cn ccn 17280   Regcreg 17365    Homeo chmeo 17777    ~= chmph 17778
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-suc 4579  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-1o 6716  df-map 7012  df-top 16955  df-topon 16958  df-cld 17075  df-cls 17077  df-cn 17283  df-reg 17372  df-hmeo 17779  df-hmph 17780
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