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Theorem regr1lem 17773
Description: Lemma for regr1 17784. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
kqval.2  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
regr1lem.2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
regr1lem.3  |-  ( ph  ->  J  e.  Reg )
regr1lem.4  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
regr1lem.5  |-  ( ph  ->  B  e.  X )
regr1lem.6  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
regr1lem.7  |-  ( ph  ->  -.  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  A
)  e.  m  /\  ( F `  B )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
Assertion
Ref Expression
regr1lem  |-  ( ph  ->  ( A  e.  U  ->  B  e.  U ) )
Distinct variable groups:    m, n, x, y, A    B, m, n, x, y    m, J, n, x, y    m, F, n    m, X, n, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, m, n)    U( x, y, m, n)    F( x, y)

Proof of Theorem regr1lem
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 regr1lem.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  Reg )
21adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  U )  ->  J  e.  Reg )
3 regr1lem.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
43adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  U )  ->  U  e.  J )
5 simpr 449 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  U )  ->  A  e.  U )
6 regsep 17400 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  U  e.  J  /\  A  e.  U )  ->  E. z  e.  J  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J
) `  z )  C_  U ) )
72, 4, 5, 6syl3anc 1185 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  U )  ->  E. z  e.  J  ( A  e.  z  /\  (
( cls `  J
) `  z )  C_  U ) )
8 regr1lem.7 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  A
)  e.  m  /\  ( F `  B )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
98ad2antrr 708 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J
) `  z )  C_  U ) ) )  ->  -.  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  A
)  e.  m  /\  ( F `  B )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
10 regr1lem.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
1110ad3antrrr 712 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
12 simplrl 738 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  z  e.  J )
13 kqval.2 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
1413kqopn 17768 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  J )  ->  ( F " z )  e.  (KQ `  J ) )
1511, 12, 14syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  ( F " z
)  e.  (KQ `  J ) )
16 toponuni 16994 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
1711, 16syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  X  =  U. J
)
1817difeq1d 3466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  ( X  \  (
( cls `  J
) `  z )
)  =  ( U. J  \  ( ( cls `  J ) `  z
) ) )
19 topontop 16993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
2011, 19syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  J  e.  Top )
21 elssuni 4045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  J  ->  z  C_ 
U. J )
2212, 21syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  z  C_  U. J )
23 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  U. J  =  U. J
2423clscld 17113 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  z  C_  U. J )  ->  ( ( cls `  J ) `  z
)  e.  ( Clsd `  J ) )
2520, 22, 24syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  ( ( cls `  J
) `  z )  e.  ( Clsd `  J
) )
2623cldopn 17097 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( cls `  J
) `  z )  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( U. J  \  ( ( cls `  J ) `  z
) )  e.  J
)
2725, 26syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  ( U. J  \ 
( ( cls `  J
) `  z )
)  e.  J )
2818, 27eqeltrd 2512 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  ( X  \  (
( cls `  J
) `  z )
)  e.  J )
2913kqopn 17768 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  z
) )  e.  J
)  ->  ( F " ( X  \  (
( cls `  J
) `  z )
) )  e.  (KQ
`  J ) )
3011, 28, 29syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  ( F " ( X  \  ( ( cls `  J ) `  z
) ) )  e.  (KQ `  J ) )
31 simprrl 742 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J
) `  z )  C_  U ) ) )  ->  A  e.  z )
3231adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  A  e.  z )
33 regr1lem.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
3433ad3antrrr 712 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  A  e.  X )
3513kqfvima 17764 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  J  /\  A  e.  X )  ->  ( A  e.  z  <->  ( F `  A )  e.  ( F " z ) ) )
3611, 12, 34, 35syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  ( A  e.  z  <-> 
( F `  A
)  e.  ( F
" z ) ) )
3732, 36mpbid 203 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  ( F `  A
)  e.  ( F
" z ) )
38 regr1lem.5 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  X )
3938ad3antrrr 712 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  B  e.  X )
40 simprrr 743 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J
) `  z )  C_  U ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
4140sseld 3349 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J
) `  z )  C_  U ) ) )  ->  ( B  e.  ( ( cls `  J
) `  z )  ->  B  e.  U ) )
4241con3and 430 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  -.  B  e.  ( ( cls `  J
) `  z )
)
4339, 42eldifd 3333 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  B  e.  ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  z
) ) )
4413kqfvima 17764 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  z
) )  e.  J  /\  B  e.  X
)  ->  ( B  e.  ( X  \  (
( cls `  J
) `  z )
)  <->  ( F `  B )  e.  ( F " ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  z
) ) ) ) )
4511, 28, 39, 44syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  ( B  e.  ( X  \  ( ( cls `  J ) `
 z ) )  <-> 
( F `  B
)  e.  ( F
" ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  z )
) ) ) )
4643, 45mpbid 203 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  ( F `  B
)  e.  ( F
" ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  z )
) ) )
4723sscls 17122 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  z  C_  U. J )  ->  z  C_  (
( cls `  J
) `  z )
)
4820, 22, 47syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  z  C_  ( ( cls `  J ) `  z ) )
4948sscond 3486 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  ( X  \  (
( cls `  J
) `  z )
)  C_  ( X  \  z ) )
50 imass2 5242 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  \  ( ( cls `  J ) `
 z ) ) 
C_  ( X  \ 
z )  ->  ( F " ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  z )
) )  C_  ( F " ( X  \ 
z ) ) )
51 sslin 3569 . . . . . . . 8  |-  ( ( F " ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  z
) ) )  C_  ( F " ( X 
\  z ) )  ->  ( ( F
" z )  i^i  ( F " ( X  \  ( ( cls `  J ) `  z
) ) ) ) 
C_  ( ( F
" z )  i^i  ( F " ( X  \  z ) ) ) )
5249, 50, 513syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  ( ( F "
z )  i^i  ( F " ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  z )
) ) )  C_  ( ( F "
z )  i^i  ( F " ( X  \ 
z ) ) ) )
5313kqdisj 17766 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  J )  ->  (
( F " z
)  i^i  ( F " ( X  \  z
) ) )  =  (/) )
5411, 12, 53syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  ( ( F "
z )  i^i  ( F " ( X  \ 
z ) ) )  =  (/) )
55 sseq0 3661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F "
z )  i^i  ( F " ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  z )
) ) )  C_  ( ( F "
z )  i^i  ( F " ( X  \ 
z ) ) )  /\  ( ( F
" z )  i^i  ( F " ( X  \  z ) ) )  =  (/) )  -> 
( ( F "
z )  i^i  ( F " ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  z )
) ) )  =  (/) )
5652, 54, 55syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  ( ( F "
z )  i^i  ( F " ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  z )
) ) )  =  (/) )
57 eleq2 2499 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( F "
z )  ->  (
( F `  A
)  e.  m  <->  ( F `  A )  e.  ( F " z ) ) )
58 ineq1 3537 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( F "
z )  ->  (
m  i^i  n )  =  ( ( F
" z )  i^i  n ) )
5958eqeq1d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( F "
z )  ->  (
( m  i^i  n
)  =  (/)  <->  ( ( F " z )  i^i  n )  =  (/) ) )
6057, 593anbi13d 1257 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( F "
z )  ->  (
( ( F `  A )  e.  m  /\  ( F `  B
)  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  <->  ( ( F `  A )  e.  ( F " z
)  /\  ( F `  B )  e.  n  /\  ( ( F "
z )  i^i  n
)  =  (/) ) ) )
61 eleq2 2499 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( F "
( X  \  (
( cls `  J
) `  z )
) )  ->  (
( F `  B
)  e.  n  <->  ( F `  B )  e.  ( F " ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  z
) ) ) ) )
62 ineq2 3538 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( F "
( X  \  (
( cls `  J
) `  z )
) )  ->  (
( F " z
)  i^i  n )  =  ( ( F
" z )  i^i  ( F " ( X  \  ( ( cls `  J ) `  z
) ) ) ) )
6362eqeq1d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( F "
( X  \  (
( cls `  J
) `  z )
) )  ->  (
( ( F "
z )  i^i  n
)  =  (/)  <->  ( ( F " z )  i^i  ( F " ( X  \  ( ( cls `  J ) `  z
) ) ) )  =  (/) ) )
6461, 633anbi23d 1258 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( F "
( X  \  (
( cls `  J
) `  z )
) )  ->  (
( ( F `  A )  e.  ( F " z )  /\  ( F `  B )  e.  n  /\  ( ( F "
z )  i^i  n
)  =  (/) )  <->  ( ( F `  A )  e.  ( F " z
)  /\  ( F `  B )  e.  ( F " ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  z
) ) )  /\  ( ( F "
z )  i^i  ( F " ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  z )
) ) )  =  (/) ) ) )
6560, 64rspc2ev 3062 . . . . . 6  |-  ( ( ( F " z
)  e.  (KQ `  J )  /\  ( F " ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  z )
) )  e.  (KQ
`  J )  /\  ( ( F `  A )  e.  ( F " z )  /\  ( F `  B )  e.  ( F " ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  z
) ) )  /\  ( ( F "
z )  i^i  ( F " ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  z )
) ) )  =  (/) ) )  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  A
)  e.  m  /\  ( F `  B )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
6615, 30, 37, 46, 56, 65syl113anc 1197 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  U )
) )  /\  -.  B  e.  U )  ->  E. m  e.  (KQ
`  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  A )  e.  m  /\  ( F `  B )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
6766ex 425 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J
) `  z )  C_  U ) ) )  ->  ( -.  B  e.  U  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  A
)  e.  m  /\  ( F `  B )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )
689, 67mt3d 120 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J
) `  z )  C_  U ) ) )  ->  B  e.  U
)
697, 68rexlimddv 2836 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  U )  ->  B  e.  U )
7069ex 425 1  |-  ( ph  ->  ( A  e.  U  ->  B  e.  U ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2708   {crab 2711    \ cdif 3319    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   U.cuni 4017    e. cmpt 4268   "cima 4883   ` cfv 5456   Topctop 16960  TopOnctopon 16961   Clsdccld 17082   clsccl 17084   Regcreg 17375  KQckq 17727
This theorem is referenced by:  regr1lem2  17774
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-qtop 13735  df-top 16965  df-topon 16968  df-cld 17085  df-cls 17087  df-reg 17382  df-kq 17728
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