Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  regr1lem2 Structured version   Unicode version

Theorem regr1lem2 17777
 Description: A Kolmogorov quotient of a regular space is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
kqval.2
Assertion
Ref Expression
regr1lem2 TopOn KQ
Distinct variable groups:   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem regr1lem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kqval.2 . . . . . . . . . 10
2 simplll 736 . . . . . . . . . 10 TopOn KQ KQ TopOn
3 simpllr 737 . . . . . . . . . 10 TopOn KQ KQ
4 simplrl 738 . . . . . . . . . 10 TopOn KQ KQ
5 simplrr 739 . . . . . . . . . 10 TopOn KQ KQ
6 simprl 734 . . . . . . . . . 10 TopOn KQ KQ
7 simprr 735 . . . . . . . . . 10 TopOn KQ KQ KQ KQ
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7regr1lem 17776 . . . . . . . . 9 TopOn KQ KQ
9 3ancoma 944 . . . . . . . . . . . . . 14
10 incom 3535 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1110eqeq1i 2445 . . . . . . . . . . . . . . 15
12113anbi3i 1147 . . . . . . . . . . . . . 14
139, 12bitri 242 . . . . . . . . . . . . 13
14132rexbii 2734 . . . . . . . . . . . 12 KQ KQ KQ KQ
15 rexcom 2871 . . . . . . . . . . . 12 KQ KQ KQ KQ
1614, 15bitri 242 . . . . . . . . . . 11 KQ KQ KQ KQ
177, 16sylnib 297 . . . . . . . . . 10 TopOn KQ KQ KQ KQ
181, 2, 3, 5, 4, 6, 17regr1lem 17776 . . . . . . . . 9 TopOn KQ KQ
198, 18impbid 185 . . . . . . . 8 TopOn KQ KQ
2019expr 600 . . . . . . 7 TopOn KQ KQ
2120ralrimdva 2798 . . . . . 6 TopOn KQ KQ
221kqfeq 17761 . . . . . . . . 9 TopOn
23 elequ2 1731 . . . . . . . . . . 11
24 elequ2 1731 . . . . . . . . . . 11
2523, 24bibi12d 314 . . . . . . . . . 10
2625cbvralv 2934 . . . . . . . . 9
2722, 26syl6bb 254 . . . . . . . 8 TopOn
28273expb 1155 . . . . . . 7 TopOn
2928adantlr 697 . . . . . 6 TopOn
3021, 29sylibrd 227 . . . . 5 TopOn KQ KQ
3130necon1ad 2673 . . . 4 TopOn KQ KQ
3231ralrimivva 2800 . . 3 TopOn KQ KQ
331kqffn 17762 . . . . 5 TopOn
3433adantr 453 . . . 4 TopOn
35 neeq1 2611 . . . . . . . 8
36 eleq1 2498 . . . . . . . . . 10
37363anbi1d 1259 . . . . . . . . 9
38372rexbidv 2750 . . . . . . . 8 KQ KQ KQ KQ
3935, 38imbi12d 313 . . . . . . 7 KQ KQ KQ KQ
4039ralbidv 2727 . . . . . 6 KQ KQ KQ KQ
4140ralrn 5876 . . . . 5 KQ KQ KQ KQ
42 neeq2 2612 . . . . . . . 8
43 eleq1 2498 . . . . . . . . . 10
44433anbi2d 1260 . . . . . . . . 9
45442rexbidv 2750 . . . . . . . 8 KQ KQ KQ KQ
4642, 45imbi12d 313 . . . . . . 7 KQ KQ KQ KQ
4746ralrn 5876 . . . . . 6 KQ KQ KQ KQ
4847ralbidv 2727 . . . . 5 KQ KQ KQ KQ
4941, 48bitrd 246 . . . 4 KQ KQ KQ KQ
5034, 49syl 16 . . 3 TopOn KQ KQ KQ KQ
5132, 50mpbird 225 . 2 TopOn KQ KQ
521kqtopon 17764 . . . 4 TopOn KQ TopOn
5352adantr 453 . . 3 TopOn KQ TopOn
54 ishaus2 17420 . . 3 KQ TopOn KQ KQ KQ
5553, 54syl 16 . 2 TopOn KQ KQ KQ
5651, 55mpbird 225 1 TopOn KQ
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707  wrex 2708  crab 2711   cin 3321  c0 3630   cmpt 4269   crn 4882   wfn 5452  cfv 5457  TopOnctopon 16964  cha 17377  creg 17378  KQckq 17730 This theorem is referenced by:  regr1  17787 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-qtop 13738  df-top 16968  df-topon 16971  df-cld 17088  df-cls 17090  df-haus 17384  df-reg 17385  df-kq 17731
 Copyright terms: Public domain W3C validator