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Theorem regr1lem2 17733
Description: A Kolmogorov quotient of a regular space is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
kqval.2  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
Assertion
Ref Expression
regr1lem2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  (KQ `  J )  e.  Haus )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, X, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem regr1lem2
Dummy variables  m  n  w  z  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kqval.2 . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
2 simplll 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  /\  ( a  e.  J  /\  -.  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3 simpllr 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  /\  ( a  e.  J  /\  -.  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  J  e.  Reg )
4 simplrl 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  /\  ( a  e.  J  /\  -.  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  z  e.  X
)
5 simplrr 738 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  /\  ( a  e.  J  /\  -.  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  w  e.  X
)
6 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  /\  ( a  e.  J  /\  -.  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  a  e.  J
)
7 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  /\  ( a  e.  J  /\  -.  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  -.  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7regr1lem 17732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  /\  ( a  e.  J  /\  -.  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  ( z  e.  a  ->  w  e.  a ) )
9 3ancoma 943 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) )  <->  ( ( F `  w )  e.  n  /\  ( F `  z )  e.  m  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
10 incom 3501 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  i^i  n )  =  ( n  i^i  m
)
1110eqeq1i 2419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  i^i  n )  =  (/)  <->  ( n  i^i  m )  =  (/) )
12113anbi3i 1146 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  w
)  e.  n  /\  ( F `  z )  e.  m  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) )  <->  ( ( F `  w )  e.  n  /\  ( F `  z )  e.  m  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) )
139, 12bitri 241 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) )  <->  ( ( F `  w )  e.  n  /\  ( F `  z )  e.  m  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) )
14132rexbii 2701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  m  /\  ( F `  w
)  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  <->  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  w
)  e.  n  /\  ( F `  z )  e.  m  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) )
15 rexcom 2837 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  w )  e.  n  /\  ( F `  z
)  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) )  <->  E. n  e.  (KQ `  J ) E. m  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  w
)  e.  n  /\  ( F `  z )  e.  m  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) )
1614, 15bitri 241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  m  /\  ( F `  w
)  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  <->  E. n  e.  (KQ `  J ) E. m  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  w
)  e.  n  /\  ( F `  z )  e.  m  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) )
177, 16sylnib 296 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  /\  ( a  e.  J  /\  -.  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  -.  E. n  e.  (KQ `  J ) E. m  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  w
)  e.  n  /\  ( F `  z )  e.  m  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) )
181, 2, 3, 5, 4, 6, 17regr1lem 17732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  /\  ( a  e.  J  /\  -.  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  ( w  e.  a  ->  z  e.  a ) )
198, 18impbid 184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  /\  ( a  e.  J  /\  -.  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  ( z  e.  a  <->  w  e.  a
) )
2019expr 599 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  /\  a  e.  J )  ->  ( -.  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) )  ->  (
z  e.  a  <->  w  e.  a ) ) )
2120ralrimdva 2764 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( -.  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  m  /\  ( F `  w
)  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  ->  A. a  e.  J  ( z  e.  a  <-> 
w  e.  a ) ) )
221kqfeq 17717 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  (
( F `  z
)  =  ( F `
 w )  <->  A. y  e.  J  ( z  e.  y  <->  w  e.  y
) ) )
23 elequ2 1726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  a  ->  (
z  e.  y  <->  z  e.  a ) )
24 elequ2 1726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  a  ->  (
w  e.  y  <->  w  e.  a ) )
2523, 24bibi12d 313 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  a  ->  (
( z  e.  y  <-> 
w  e.  y )  <-> 
( z  e.  a  <-> 
w  e.  a ) ) )
2625cbvralv 2900 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  J  (
z  e.  y  <->  w  e.  y )  <->  A. a  e.  J  ( z  e.  a  <->  w  e.  a
) )
2722, 26syl6bb 253 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  (
( F `  z
)  =  ( F `
 w )  <->  A. a  e.  J  ( z  e.  a  <->  w  e.  a
) ) )
28273expb 1154 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  <->  A. a  e.  J  ( z  e.  a  <->  w  e.  a
) ) )
2928adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  <->  A. a  e.  J  ( z  e.  a  <->  w  e.  a
) ) )
3021, 29sylibrd 226 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( -.  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  m  /\  ( F `  w
)  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  -> 
( F `  z
)  =  ( F `
 w ) ) )
3130necon1ad 2642 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( ( F `  z )  =/=  ( F `  w
)  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )
3231ralrimivva 2766 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( ( F `  z )  =/=  ( F `  w
)  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )
331kqffn 17718 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  F  Fn  X )
3433adantr 452 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  F  Fn  X )
35 neeq1 2583 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( F `  z )  ->  (
a  =/=  b  <->  ( F `  z )  =/=  b
) )
36 eleq1 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( F `  z )  ->  (
a  e.  m  <->  ( F `  z )  e.  m
) )
37363anbi1d 1258 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( F `  z )  ->  (
( a  e.  m  /\  b  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  <->  ( ( F `  z )  e.  m  /\  b  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )
38372rexbidv 2717 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( F `  z )  ->  ( E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( a  e.  m  /\  b  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  <->  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  b  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) )
3935, 38imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( F `  z )  ->  (
( a  =/=  b  ->  E. m  e.  (KQ
`  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( a  e.  m  /\  b  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )  <->  ( ( F `  z )  =/=  b  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  b  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) ) )
4039ralbidv 2694 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( F `  z )  ->  ( A. b  e.  ran  F ( a  =/=  b  ->  E. m  e.  (KQ
`  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( a  e.  m  /\  b  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )  <->  A. b  e.  ran  F ( ( F `  z )  =/=  b  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  b  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) ) )
4140ralrn 5840 . . . . 5  |-  ( F  Fn  X  ->  ( A. a  e.  ran  F A. b  e.  ran  F ( a  =/=  b  ->  E. m  e.  (KQ
`  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( a  e.  m  /\  b  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )  <->  A. z  e.  X  A. b  e.  ran  F ( ( F `  z )  =/=  b  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  b  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) ) )
42 neeq2 2584 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( F `  w )  ->  (
( F `  z
)  =/=  b  <->  ( F `  z )  =/=  ( F `  w )
) )
43 eleq1 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( F `  w )  ->  (
b  e.  n  <->  ( F `  w )  e.  n
) )
44433anbi2d 1259 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( F `  w )  ->  (
( ( F `  z )  e.  m  /\  b  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  <->  ( ( F `  z )  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )
45442rexbidv 2717 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( F `  w )  ->  ( E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  m  /\  b  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  <->  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )
4642, 45imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( F `  w )  ->  (
( ( F `  z )  =/=  b  ->  E. m  e.  (KQ
`  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  m  /\  b  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )  <->  ( ( F `  z )  =/=  ( F `  w
)  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) ) )
4746ralrn 5840 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  X  ->  ( A. b  e.  ran  F ( ( F `  z )  =/=  b  ->  E. m  e.  (KQ
`  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  m  /\  b  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )  <->  A. w  e.  X  ( ( F `  z )  =/=  ( F `  w
)  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) ) )
4847ralbidv 2694 . . . . 5  |-  ( F  Fn  X  ->  ( A. z  e.  X  A. b  e.  ran  F ( ( F `  z )  =/=  b  ->  E. m  e.  (KQ
`  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  m  /\  b  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )  <->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( ( F `  z )  =/=  ( F `  w
)  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) ) )
4941, 48bitrd 245 . . . 4  |-  ( F  Fn  X  ->  ( A. a  e.  ran  F A. b  e.  ran  F ( a  =/=  b  ->  E. m  e.  (KQ
`  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( a  e.  m  /\  b  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )  <->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( ( F `  z )  =/=  ( F `  w
)  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) ) )
5034, 49syl 16 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  ( A. a  e.  ran  F A. b  e.  ran  F ( a  =/=  b  ->  E. m  e.  (KQ
`  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( a  e.  m  /\  b  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )  <->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( ( F `  z )  =/=  ( F `  w
)  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) ) )
5132, 50mpbird 224 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  A. a  e.  ran  F A. b  e.  ran  F ( a  =/=  b  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( a  e.  m  /\  b  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) )
521kqtopon 17720 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (KQ `  J
)  e.  (TopOn `  ran  F ) )
5352adantr 452 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  (KQ `  J )  e.  (TopOn `  ran  F ) )
54 ishaus2 17377 . . 3  |-  ( (KQ
`  J )  e.  (TopOn `  ran  F )  ->  ( (KQ `  J )  e.  Haus  <->  A. a  e.  ran  F A. b  e.  ran  F ( a  =/=  b  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( a  e.  m  /\  b  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) ) )
5553, 54syl 16 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  (
(KQ `  J )  e.  Haus  <->  A. a  e.  ran  F A. b  e.  ran  F ( a  =/=  b  ->  E. m  e.  (KQ
`  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( a  e.  m  /\  b  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) ) )
5651, 55mpbird 224 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  (KQ `  J )  e.  Haus )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   A.wral 2674   E.wrex 2675   {crab 2678    i^i cin 3287   (/)c0 3596    e. cmpt 4234   ran crn 4846    Fn wfn 5416   ` cfv 5421  TopOnctopon 16922   Hauscha 17334   Regcreg 17335  KQckq 17686
This theorem is referenced by:  regr1  17743
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-qtop 13696  df-top 16926  df-topon 16929  df-cld 17046  df-cls 17048  df-haus 17341  df-reg 17342  df-kq 17687
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