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Theorem regr1lem2 17431
Description: A Kolmogorov quotient of a regular space is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
kqval.2  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
Assertion
Ref Expression
regr1lem2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  (KQ `  J )  e.  Haus )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, X, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem regr1lem2
Dummy variables  m  n  w  z  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kqval.2 . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
2 simplll 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  /\  ( a  e.  J  /\  -.  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3 simpllr 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  /\  ( a  e.  J  /\  -.  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  J  e.  Reg )
4 simplrl 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  /\  ( a  e.  J  /\  -.  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  z  e.  X
)
5 simplrr 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  /\  ( a  e.  J  /\  -.  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  w  e.  X
)
6 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  /\  ( a  e.  J  /\  -.  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  a  e.  J
)
7 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  /\  ( a  e.  J  /\  -.  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  -.  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7regr1lem 17430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  /\  ( a  e.  J  /\  -.  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  ( z  e.  a  ->  w  e.  a ) )
9 3ancoma 941 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) )  <->  ( ( F `  w )  e.  n  /\  ( F `  z )  e.  m  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
10 incom 3361 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  i^i  n )  =  ( n  i^i  m
)
1110eqeq1i 2290 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  i^i  n )  =  (/)  <->  ( n  i^i  m )  =  (/) )
12113anbi3i 1144 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  w
)  e.  n  /\  ( F `  z )  e.  m  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) )  <->  ( ( F `  w )  e.  n  /\  ( F `  z )  e.  m  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) )
139, 12bitri 240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) )  <->  ( ( F `  w )  e.  n  /\  ( F `  z )  e.  m  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) )
14132rexbii 2570 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  m  /\  ( F `  w
)  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  <->  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  w
)  e.  n  /\  ( F `  z )  e.  m  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) )
15 rexcom 2701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  w )  e.  n  /\  ( F `  z
)  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) )  <->  E. n  e.  (KQ `  J ) E. m  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  w
)  e.  n  /\  ( F `  z )  e.  m  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) )
1614, 15bitri 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  m  /\  ( F `  w
)  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  <->  E. n  e.  (KQ `  J ) E. m  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  w
)  e.  n  /\  ( F `  z )  e.  m  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) )
177, 16sylnib 295 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  /\  ( a  e.  J  /\  -.  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  -.  E. n  e.  (KQ `  J ) E. m  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  w
)  e.  n  /\  ( F `  z )  e.  m  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) )
181, 2, 3, 5, 4, 6, 17regr1lem 17430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  /\  ( a  e.  J  /\  -.  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  ( w  e.  a  ->  z  e.  a ) )
198, 18impbid 183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  /\  ( a  e.  J  /\  -.  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  ( z  e.  a  <->  w  e.  a
) )
2019expr 598 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  /\  a  e.  J )  ->  ( -.  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) )  ->  (
z  e.  a  <->  w  e.  a ) ) )
2120ralrimdva 2633 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( -.  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  m  /\  ( F `  w
)  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  ->  A. a  e.  J  ( z  e.  a  <-> 
w  e.  a ) ) )
221kqfeq 17415 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  (
( F `  z
)  =  ( F `
 w )  <->  A. y  e.  J  ( z  e.  y  <->  w  e.  y
) ) )
23 elequ2 1689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  a  ->  (
z  e.  y  <->  z  e.  a ) )
24 elequ2 1689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  a  ->  (
w  e.  y  <->  w  e.  a ) )
2523, 24bibi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  a  ->  (
( z  e.  y  <-> 
w  e.  y )  <-> 
( z  e.  a  <-> 
w  e.  a ) ) )
2625cbvralv 2764 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  J  (
z  e.  y  <->  w  e.  y )  <->  A. a  e.  J  ( z  e.  a  <->  w  e.  a
) )
2722, 26syl6bb 252 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  (
( F `  z
)  =  ( F `
 w )  <->  A. a  e.  J  ( z  e.  a  <->  w  e.  a
) ) )
28273expb 1152 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  <->  A. a  e.  J  ( z  e.  a  <->  w  e.  a
) ) )
2928adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  <->  A. a  e.  J  ( z  e.  a  <->  w  e.  a
) ) )
3021, 29sylibrd 225 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( -.  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  m  /\  ( F `  w
)  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  -> 
( F `  z
)  =  ( F `
 w ) ) )
3130necon1ad 2513 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( ( F `  z )  =/=  ( F `  w
)  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )
3231ralrimivva 2635 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( ( F `  z )  =/=  ( F `  w
)  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )
331kqffn 17416 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  F  Fn  X )
3433adantr 451 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  F  Fn  X )
35 neeq1 2454 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( F `  z )  ->  (
a  =/=  b  <->  ( F `  z )  =/=  b
) )
36 eleq1 2343 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( F `  z )  ->  (
a  e.  m  <->  ( F `  z )  e.  m
) )
37363anbi1d 1256 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( F `  z )  ->  (
( a  e.  m  /\  b  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  <->  ( ( F `  z )  e.  m  /\  b  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )
38372rexbidv 2586 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( F `  z )  ->  ( E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( a  e.  m  /\  b  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  <->  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  b  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) )
3935, 38imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( F `  z )  ->  (
( a  =/=  b  ->  E. m  e.  (KQ
`  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( a  e.  m  /\  b  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )  <->  ( ( F `  z )  =/=  b  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  b  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) ) )
4039ralbidv 2563 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( F `  z )  ->  ( A. b  e.  ran  F ( a  =/=  b  ->  E. m  e.  (KQ
`  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( a  e.  m  /\  b  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )  <->  A. b  e.  ran  F ( ( F `  z )  =/=  b  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  b  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) ) )
4140ralrn 5668 . . . . 5  |-  ( F  Fn  X  ->  ( A. a  e.  ran  F A. b  e.  ran  F ( a  =/=  b  ->  E. m  e.  (KQ
`  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( a  e.  m  /\  b  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )  <->  A. z  e.  X  A. b  e.  ran  F ( ( F `  z )  =/=  b  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  b  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) ) )
42 neeq2 2455 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( F `  w )  ->  (
( F `  z
)  =/=  b  <->  ( F `  z )  =/=  ( F `  w )
) )
43 eleq1 2343 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( F `  w )  ->  (
b  e.  n  <->  ( F `  w )  e.  n
) )
44433anbi2d 1257 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( F `  w )  ->  (
( ( F `  z )  e.  m  /\  b  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  <->  ( ( F `  z )  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )
45442rexbidv 2586 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( F `  w )  ->  ( E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  m  /\  b  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  <->  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )
4642, 45imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( F `  w )  ->  (
( ( F `  z )  =/=  b  ->  E. m  e.  (KQ
`  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  m  /\  b  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )  <->  ( ( F `  z )  =/=  ( F `  w
)  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) ) )
4746ralrn 5668 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  X  ->  ( A. b  e.  ran  F ( ( F `  z )  =/=  b  ->  E. m  e.  (KQ
`  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  m  /\  b  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )  <->  A. w  e.  X  ( ( F `  z )  =/=  ( F `  w
)  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) ) )
4847ralbidv 2563 . . . . 5  |-  ( F  Fn  X  ->  ( A. z  e.  X  A. b  e.  ran  F ( ( F `  z )  =/=  b  ->  E. m  e.  (KQ
`  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  m  /\  b  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )  <->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( ( F `  z )  =/=  ( F `  w
)  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) ) )
4941, 48bitrd 244 . . . 4  |-  ( F  Fn  X  ->  ( A. a  e.  ran  F A. b  e.  ran  F ( a  =/=  b  ->  E. m  e.  (KQ
`  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( a  e.  m  /\  b  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )  <->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( ( F `  z )  =/=  ( F `  w
)  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) ) )
5034, 49syl 15 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  ( A. a  e.  ran  F A. b  e.  ran  F ( a  =/=  b  ->  E. m  e.  (KQ
`  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( a  e.  m  /\  b  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )  <->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( ( F `  z )  =/=  ( F `  w
)  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( F `  w )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) ) )
5132, 50mpbird 223 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  A. a  e.  ran  F A. b  e.  ran  F ( a  =/=  b  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ
`  J ) ( a  e.  m  /\  b  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) )
521kqtopon 17418 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (KQ `  J
)  e.  (TopOn `  ran  F ) )
5352adantr 451 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  (KQ `  J )  e.  (TopOn `  ran  F ) )
54 ishaus2 17079 . . 3  |-  ( (KQ
`  J )  e.  (TopOn `  ran  F )  ->  ( (KQ `  J )  e.  Haus  <->  A. a  e.  ran  F A. b  e.  ran  F ( a  =/=  b  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( a  e.  m  /\  b  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) ) )
5553, 54syl 15 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  (
(KQ `  J )  e.  Haus  <->  A. a  e.  ran  F A. b  e.  ran  F ( a  =/=  b  ->  E. m  e.  (KQ
`  J ) E. n  e.  (KQ `  J ) ( a  e.  m  /\  b  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) ) )
5651, 55mpbird 223 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  (KQ `  J )  e.  Haus )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    i^i cin 3151   (/)c0 3455    e. cmpt 4077   ran crn 4690    Fn wfn 5250   ` cfv 5255  TopOnctopon 16632   Hauscha 17036   Regcreg 17037  KQckq 17384
This theorem is referenced by:  regr1  17441
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-qtop 13410  df-top 16636  df-topon 16639  df-cld 16756  df-cls 16758  df-haus 17043  df-reg 17044  df-kq 17385
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