Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  regsep2 Structured version   Unicode version

Theorem regsep2 17440
 Description: In a regular space, a closed set is separated by open sets from a point not in it. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
t1sep.1
Assertion
Ref Expression
regsep2
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem regsep2
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . . 4
2 simpr1 963 . . . . 5
3 t1sep.1 . . . . . 6
43cldopn 17095 . . . . 5
52, 4syl 16 . . . 4
6 simpr2 964 . . . . 5
7 simpr3 965 . . . . 5
86, 7eldifd 3331 . . . 4
9 regsep 17398 . . . 4
101, 5, 8, 9syl3anc 1184 . . 3
11 regtop 17397 . . . . . . . . 9
1211ad2antrr 707 . . . . . . . 8
13 elssuni 4043 . . . . . . . . . 10
1413, 3syl6sseqr 3395 . . . . . . . . 9
1514ad2antrl 709 . . . . . . . 8
163clscld 17111 . . . . . . . 8
1712, 15, 16syl2anc 643 . . . . . . 7
183cldopn 17095 . . . . . . 7
1917, 18syl 16 . . . . . 6
20 simprrr 742 . . . . . . 7
213clsss3 17123 . . . . . . . . 9
2212, 15, 21syl2anc 643 . . . . . . . 8
23 simplr1 999 . . . . . . . . 9
243cldss 17093 . . . . . . . . 9
2523, 24syl 16 . . . . . . . 8
26 ssconb 3480 . . . . . . . 8
2722, 25, 26syl2anc 643 . . . . . . 7
2820, 27mpbid 202 . . . . . 6
29 simprrl 741 . . . . . 6
303sscls 17120 . . . . . . . . 9
3112, 15, 30syl2anc 643 . . . . . . . 8
32 sslin 3567 . . . . . . . 8
3331, 32syl 16 . . . . . . 7
34 incom 3533 . . . . . . . 8
35 disjdif 3700 . . . . . . . 8
3634, 35eqtri 2456 . . . . . . 7
37 sseq0 3659 . . . . . . 7
3833, 36, 37sylancl 644 . . . . . 6
39 sseq2 3370 . . . . . . . 8
40 ineq1 3535 . . . . . . . . 9
4140eqeq1d 2444 . . . . . . . 8
4239, 413anbi13d 1256 . . . . . . 7
4342rspcev 3052 . . . . . 6
4419, 28, 29, 38, 43syl13anc 1186 . . . . 5
4544expr 599 . . . 4
4645reximdva 2818 . . 3
4710, 46mpd 15 . 2
48 rexcom 2869 . 2
4947, 48sylib 189 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wrex 2706   cdif 3317   cin 3319   wss 3320  c0 3628  cuni 4015  cfv 5454  ctop 16958  ccld 17080  ccl 17082  creg 17373 This theorem is referenced by:  isreg2  17441 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-top 16963  df-cld 17083  df-cls 17085  df-reg 17380
 Copyright terms: Public domain W3C validator