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Theorem regsep2 17440
Description: In a regular space, a closed set is separated by open sets from a point not in it. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
t1sep.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
regsep2  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( C  C_  x  /\  A  e.  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, C, y    x, J, y    x, X, y

Proof of Theorem regsep2
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  ->  J  e.  Reg )
2 simpr1 963 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  ->  C  e.  ( Clsd `  J
) )
3 t1sep.1 . . . . . 6  |-  X  = 
U. J
43cldopn 17095 . . . . 5  |-  ( C  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( X  \  C )  e.  J
)
52, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  ->  ( X  \  C )  e.  J )
6 simpr2 964 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  ->  A  e.  X )
7 simpr3 965 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  ->  -.  A  e.  C )
86, 7eldifd 3331 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  ->  A  e.  ( X  \  C
) )
9 regsep 17398 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  ( X  \  C )  e.  J  /\  A  e.  ( X  \  C
) )  ->  E. y  e.  J  ( A  e.  y  /\  (
( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) ) )
101, 5, 8, 9syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  ->  E. y  e.  J  ( A  e.  y  /\  (
( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) ) )
11 regtop 17397 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Reg  ->  J  e.  Top )
1211ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  /\  (
y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( ( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) ) ) )  ->  J  e.  Top )
13 elssuni 4043 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  J  ->  y  C_ 
U. J )
1413, 3syl6sseqr 3395 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  J  ->  y  C_  X )
1514ad2antrl 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  /\  (
y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( ( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) ) ) )  ->  y  C_  X
)
163clscld 17111 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  y )  e.  ( Clsd `  J
) )
1712, 15, 16syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  /\  (
y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( ( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  y
)  e.  ( Clsd `  J ) )
183cldopn 17095 . . . . . . 7  |-  ( ( ( cls `  J
) `  y )  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( X  \  ( ( cls `  J
) `  y )
)  e.  J )
1917, 18syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  /\  (
y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( ( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) ) ) )  ->  ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  y )
)  e.  J )
20 simprrr 742 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  /\  (
y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( ( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  y
)  C_  ( X  \  C ) )
213clsss3 17123 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  y )  C_  X )
2212, 15, 21syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  /\  (
y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( ( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  y
)  C_  X )
23 simplr1 999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  /\  (
y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( ( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) ) ) )  ->  C  e.  (
Clsd `  J )
)
243cldss 17093 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( Clsd `  J
)  ->  C  C_  X
)
2523, 24syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  /\  (
y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( ( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) ) ) )  ->  C  C_  X
)
26 ssconb 3480 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( cls `  J
) `  y )  C_  X  /\  C  C_  X )  ->  (
( ( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
)  <->  C  C_  ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  y
) ) ) )
2722, 25, 26syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  /\  (
y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( ( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) ) ) )  ->  ( ( ( cls `  J ) `
 y )  C_  ( X  \  C )  <-> 
C  C_  ( X  \  ( ( cls `  J
) `  y )
) ) )
2820, 27mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  /\  (
y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( ( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) ) ) )  ->  C  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  y
) ) )
29 simprrl 741 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  /\  (
y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( ( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) ) ) )  ->  A  e.  y )
303sscls 17120 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  X )  -> 
y  C_  ( ( cls `  J ) `  y ) )
3112, 15, 30syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  /\  (
y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( ( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) ) ) )  ->  y  C_  (
( cls `  J
) `  y )
)
32 sslin 3567 . . . . . . . 8  |-  ( y 
C_  ( ( cls `  J ) `  y
)  ->  ( ( X  \  ( ( cls `  J ) `  y
) )  i^i  y
)  C_  ( ( X  \  ( ( cls `  J ) `  y
) )  i^i  (
( cls `  J
) `  y )
) )
3331, 32syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  /\  (
y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( ( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) ) ) )  ->  ( ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  y
) )  i^i  y
)  C_  ( ( X  \  ( ( cls `  J ) `  y
) )  i^i  (
( cls `  J
) `  y )
) )
34 incom 3533 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  \  ( ( cls `  J ) `
 y ) )  i^i  ( ( cls `  J ) `  y
) )  =  ( ( ( cls `  J
) `  y )  i^i  ( X  \  (
( cls `  J
) `  y )
) )
35 disjdif 3700 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( cls `  J
) `  y )  i^i  ( X  \  (
( cls `  J
) `  y )
) )  =  (/)
3634, 35eqtri 2456 . . . . . . 7  |-  ( ( X  \  ( ( cls `  J ) `
 y ) )  i^i  ( ( cls `  J ) `  y
) )  =  (/)
37 sseq0 3659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  y )
)  i^i  y )  C_  ( ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  y )
)  i^i  ( ( cls `  J ) `  y ) )  /\  ( ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  y )
)  i^i  ( ( cls `  J ) `  y ) )  =  (/) )  ->  ( ( X  \  ( ( cls `  J ) `
 y ) )  i^i  y )  =  (/) )
3833, 36, 37sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  /\  (
y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( ( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) ) ) )  ->  ( ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  y
) )  i^i  y
)  =  (/) )
39 sseq2 3370 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  y )
)  ->  ( C  C_  x  <->  C  C_  ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  y
) ) ) )
40 ineq1 3535 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  y )
)  ->  ( x  i^i  y )  =  ( ( X  \  (
( cls `  J
) `  y )
)  i^i  y )
)
4140eqeq1d 2444 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  y )
)  ->  ( (
x  i^i  y )  =  (/)  <->  ( ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  y
) )  i^i  y
)  =  (/) ) )
4239, 413anbi13d 1256 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  y )
)  ->  ( ( C  C_  x  /\  A  e.  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  <->  ( C  C_  ( X  \  (
( cls `  J
) `  y )
)  /\  A  e.  y  /\  ( ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  y
) )  i^i  y
)  =  (/) ) ) )
4342rspcev 3052 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  \  (
( cls `  J
) `  y )
)  e.  J  /\  ( C  C_  ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  y
) )  /\  A  e.  y  /\  (
( X  \  (
( cls `  J
) `  y )
)  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  E. x  e.  J  ( C  C_  x  /\  A  e.  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )
4419, 28, 29, 38, 43syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  /\  (
y  e.  J  /\  ( A  e.  y  /\  ( ( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) ) ) )  ->  E. x  e.  J  ( C  C_  x  /\  A  e.  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )
4544expr 599 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  (
Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  /\  y  e.  J )  ->  (
( A  e.  y  /\  ( ( cls `  J ) `  y
)  C_  ( X  \  C ) )  ->  E. x  e.  J  ( C  C_  x  /\  A  e.  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) ) )
4645reximdva 2818 . . 3  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  ->  ( E. y  e.  J  ( A  e.  y  /\  ( ( cls `  J
) `  y )  C_  ( X  \  C
) )  ->  E. y  e.  J  E. x  e.  J  ( C  C_  x  /\  A  e.  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) ) )
4710, 46mpd 15 . 2  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  ->  E. y  e.  J  E. x  e.  J  ( C  C_  x  /\  A  e.  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )
48 rexcom 2869 . 2  |-  ( E. y  e.  J  E. x  e.  J  ( C  C_  x  /\  A  e.  y  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  <->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( C  C_  x  /\  A  e.  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )
4947, 48sylib 189 1  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  A  e.  X  /\  -.  A  e.  C
) )  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( C  C_  x  /\  A  e.  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2706    \ cdif 3317    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   U.cuni 4015   ` cfv 5454   Topctop 16958   Clsdccld 17080   clsccl 17082   Regcreg 17373
This theorem is referenced by:  isreg2  17441
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-top 16963  df-cld 17083  df-cls 17085  df-reg 17380
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