Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  regsep2 Unicode version

Theorem regsep2 17104
 Description: In a regular space, a closed set is separated by open sets from a point not in it. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
t1sep.1
Assertion
Ref Expression
regsep2
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem regsep2
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . . 4
2 simpr1 961 . . . . 5
3 t1sep.1 . . . . . 6
43cldopn 16768 . . . . 5
52, 4syl 15 . . . 4
6 simpr2 962 . . . . 5
7 simpr3 963 . . . . 5
8 eldif 3162 . . . . 5
96, 7, 8sylanbrc 645 . . . 4
10 regsep 17062 . . . 4
111, 5, 9, 10syl3anc 1182 . . 3
12 regtop 17061 . . . . . . . . 9
1312ad2antrr 706 . . . . . . . 8
14 elssuni 3855 . . . . . . . . . 10
1514, 3syl6sseqr 3225 . . . . . . . . 9
1615ad2antrl 708 . . . . . . . 8
173clscld 16784 . . . . . . . 8
1813, 16, 17syl2anc 642 . . . . . . 7
193cldopn 16768 . . . . . . 7
2018, 19syl 15 . . . . . 6
21 simprrr 741 . . . . . . 7
223clsss3 16796 . . . . . . . . 9
2313, 16, 22syl2anc 642 . . . . . . . 8
24 simplr1 997 . . . . . . . . 9
253cldss 16766 . . . . . . . . 9
2624, 25syl 15 . . . . . . . 8
27 ssconb 3309 . . . . . . . 8
2823, 26, 27syl2anc 642 . . . . . . 7
2921, 28mpbid 201 . . . . . 6
30 simprrl 740 . . . . . 6
313sscls 16793 . . . . . . . . 9
3213, 16, 31syl2anc 642 . . . . . . . 8
33 sslin 3395 . . . . . . . 8
3432, 33syl 15 . . . . . . 7
35 incom 3361 . . . . . . . 8
36 disjdif 3526 . . . . . . . 8
3735, 36eqtri 2303 . . . . . . 7
38 sseq0 3486 . . . . . . 7
3934, 37, 38sylancl 643 . . . . . 6
40 sseq2 3200 . . . . . . . 8
41 ineq1 3363 . . . . . . . . 9
4241eqeq1d 2291 . . . . . . . 8
4340, 423anbi13d 1254 . . . . . . 7
4443rspcev 2884 . . . . . 6
4520, 29, 30, 39, 44syl13anc 1184 . . . . 5
4645expr 598 . . . 4
4746reximdva 2655 . . 3
4811, 47mpd 14 . 2
49 rexcom 2701 . 2
5048, 49sylib 188 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684  wrex 2544   cdif 3149   cin 3151   wss 3152  c0 3455  cuni 3827  cfv 5255  ctop 16631  ccld 16753  ccl 16755  creg 17037 This theorem is referenced by:  isreg2  17105 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-top 16636  df-cld 16756  df-cls 16758  df-reg 17044
 Copyright terms: Public domain W3C validator