Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reheibor Structured version   Unicode version

Theorem reheibor 26562
 Description: Heine-Borel theorem for real numbers. A subset of is compact iff it is closed and bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
reheibor.2
reheibor.3
reheibor.4
Assertion
Ref Expression
reheibor

Proof of Theorem reheibor
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df1o2 6739 . . . 4
2 snfi 7190 . . . 4
31, 2eqeltri 2508 . . 3
4 imassrn 5219 . . . . 5
5 0ex 4342 . . . . . . . . . 10
6 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11
7 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11
86, 7ismrer1 26561 . . . . . . . . . 10
95, 8ax-mp 5 . . . . . . . . 9
101fveq2i 5734 . . . . . . . . . 10
1110oveq2i 6095 . . . . . . . . 9
129, 11eleqtrri 2511 . . . . . . . 8
136rexmet 18827 . . . . . . . . 9
14 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11
1514rrnmet 26552 . . . . . . . . . 10
16 metxmet 18369 . . . . . . . . . 10
173, 15, 16mp2b 10 . . . . . . . . 9
18 isismty 26524 . . . . . . . . 9
1913, 17, 18mp2an 655 . . . . . . . 8
2012, 19mpbi 201 . . . . . . 7
2120simpli 446 . . . . . 6
22 f1of 5677 . . . . . 6
23 frn 5600 . . . . . 6
2421, 22, 23mp2b 10 . . . . 5
254, 24sstri 3359 . . . 4
2625a1i 11 . . 3
27 eqid 2438 . . . 4
28 eqid 2438 . . . 4
29 eqid 2438 . . . 4
3014, 27, 28, 29rrnheibor 26560 . . 3
313, 26, 30sylancr 646 . 2
32 reheibor.2 . . . . . . 7
33 cnxmet 18812 . . . . . . . 8
34 id 21 . . . . . . . . 9
35 ax-resscn 9052 . . . . . . . . 9
3634, 35syl6ss 3362 . . . . . . . 8
37 xmetres2 18396 . . . . . . . 8
3833, 36, 37sylancr 646 . . . . . . 7
3932, 38syl5eqel 2522 . . . . . 6
40 xmetres2 18396 . . . . . . 7
4117, 26, 40sylancr 646 . . . . . 6
42 reheibor.3 . . . . . . 7
4342, 28ismtyhmeo 26528 . . . . . 6
4439, 41, 43syl2anc 644 . . . . 5
4513a1i 11 . . . . . . 7
4617a1i 11 . . . . . . 7
4712a1i 11 . . . . . . 7
48 eqid 2438 . . . . . . . 8
49 eqid 2438 . . . . . . . 8
5048, 49, 27ismtyres 26531 . . . . . . 7
5145, 46, 47, 34, 50syl22anc 1186 . . . . . 6
52 xpss12 4984 . . . . . . . . . 10
5352anidms 628 . . . . . . . . 9
54 resabs1 5178 . . . . . . . . 9
5553, 54syl 16 . . . . . . . 8
5655, 32syl6eqr 2488 . . . . . . 7
5756oveq1d 6099 . . . . . 6
5851, 57eleqtrd 2514 . . . . 5
5944, 58sseldd 3351 . . . 4
60 hmphi 17814 . . . 4
6159, 60syl 16 . . 3
62 cmphmph 17825 . . . 4
63 hmphsym 17819 . . . . 5
64 cmphmph 17825 . . . . 5
6563, 64syl 16 . . . 4
6662, 65impbid 185 . . 3
6761, 66syl 16 . 2
68 reheibor.4 . . . . . . . 8
69 eqid 2438 . . . . . . . . 9
706, 69tgioo 18832 . . . . . . . 8
7168, 70eqtri 2458 . . . . . . 7
7271, 29ismtyhmeo 26528 . . . . . 6
7313, 17, 72mp2an 655 . . . . 5
7473, 12sselii 3347 . . . 4
75 retopon 18802 . . . . . . 7 TopOn
7668, 75eqeltri 2508 . . . . . 6 TopOn
7776toponunii 17002 . . . . 5
7877hmeocld 17804 . . . 4
7974, 34, 78sylancr 646 . . 3
80 ismtybnd 26530 . . . 4
8139, 41, 58, 80syl3anc 1185 . . 3
8279, 81anbi12d 693 . 2
8331, 67, 823bitr4d 278 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  cvv 2958   wss 3322  c0 3630  csn 3816   class class class wbr 4215   cmpt 4269   cxp 4879   crn 4882   cres 4883  cima 4884   ccom 4885  wf 5453  wf1o 5456  cfv 5457  (class class class)co 6084  c1o 6720   cmap 7021  cfn 7112  cc 8993  cr 8994   cmin 9296  cioo 10921  cabs 12044  ctg 13670  cxmt 16691  cme 16692  cmopn 16696  TopOnctopon 16964  ccld 17085  ccmp 17454   chmeo 17790   chmph 17791  cbnd 26490   cismty 26521  crrn 26548 This theorem is referenced by:  icccmpALT  26564 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cc 8320  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-omul 6732  df-er 6908  df-ec 6910  df-map 7023  df-pm 7024  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-acn 7834  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ioo 10925  df-ico 10927  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-limsup 12270  df-clim 12287  df-rlim 12288  df-sum 12485  df-gz 13303  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-hom 13558  df-cco 13559  df-rest 13655  df-topn 13656  df-topgen 13672  df-prds 13676  df-pws 13678  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-fbas 16704  df-fg 16705  df-cnfld 16709  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-cld 17088  df-ntr 17089  df-cls 17090  df-nei 17167  df-cn 17296  df-lm 17298  df-haus 17384  df-cmp 17455  df-hmeo 17792  df-hmph 17793  df-fil 17883  df-fm 17975  df-flim 17976  df-flf 17977  df-xms 18355  df-ms 18356  df-cfil 19213  df-cau 19214  df-cmet 19215  df-totbnd 26491  df-bnd 26502  df-ismty 26522  df-rrn 26549
 Copyright terms: Public domain W3C validator