MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reim0b Unicode version

Theorem reim0b 11620
Description: A number is real iff its imaginary part is 0. (Contributed by NM, 26-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
reim0b  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )

Proof of Theorem reim0b
StepHypRef Expression
1 reim0 11619 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
Im `  A )  =  0 )
2 replim 11617 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
32adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  A  =  ( (
Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
4 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( ( Im `  A )  =  0  ->  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  =  ( _i  x.  0 ) )
5 ax-icn 8812 . . . . . . . . 9  |-  _i  e.  CC
65mul01i 9018 . . . . . . . 8  |-  ( _i  x.  0 )  =  0
74, 6syl6eq 2344 . . . . . . 7  |-  ( ( Im `  A )  =  0  ->  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  =  0 )
87oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( ( Im `  A )  =  0  ->  (
( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  =  ( ( Re
`  A )  +  0 ) )
9 recl 11611 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
109recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
1110addid1d 9028 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  A
)  +  0 )  =  ( Re `  A ) )
128, 11sylan9eqr 2350 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =  0 )  -> 
( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) )  =  ( Re
`  A ) )
133, 12eqtrd 2328 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  A  =  ( Re `  A ) )
149adantr 451 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =  0 )  -> 
( Re `  A
)  e.  RR )
1513, 14eqeltrd 2370 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  A  e.  RR )
1615ex 423 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  A
)  =  0  ->  A  e.  RR )
)
171, 16impbid2 195 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   _ici 8755    + caddc 8756    x. cmul 8758   Recre 11598   Imcim 11599
This theorem is referenced by:  cjreb  11624  reim0bi  11673  reim0bd  11701  cnpart  11741  rlimrecl  12070  absefib  12494  efieq1re  12495  cnsubrg  16448  recld2  18336  aaliou2b  19737  logcj  19976  argimgt0  19982  logcnlem2  20006  logcnlem3  20007  logf1o2  20013
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-2 9820  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602
  Copyright terms: Public domain W3C validator