MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relbrtpos Structured version   Unicode version

Theorem relbrtpos 6492
Description: The transposition swaps arguments of a three-parameter relation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
relbrtpos  |-  ( Rel 
F  ->  ( <. A ,  B >.tpos  F C  <->  <. B ,  A >. F C ) )

Proof of Theorem relbrtpos
StepHypRef Expression
1 reltpos 6486 . . . 4  |-  Rel tpos  F
21a1i 11 . . 3  |-  ( Rel 
F  ->  Rel tpos  F )
3 brrelex2 4919 . . 3  |-  ( ( Rel tpos  F  /\  <. A ,  B >.tpos  F C )  ->  C  e.  _V )
42, 3sylan 459 . 2  |-  ( ( Rel  F  /\  <. A ,  B >.tpos  F C )  ->  C  e.  _V )
5 brrelex2 4919 . 2  |-  ( ( Rel  F  /\  <. B ,  A >. F C )  ->  C  e.  _V )
6 brtpos 6490 . 2  |-  ( C  e.  _V  ->  ( <. A ,  B >.tpos  F C  <->  <. B ,  A >. F C ) )
74, 5, 6pm5.21nd 870 1  |-  ( Rel 
F  ->  ( <. A ,  B >.tpos  F C  <->  <. B ,  A >. F C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    e. wcel 1726   _Vcvv 2958   <.cop 3819   class class class wbr 4214   Rel wrel 4885  tpos ctpos 6480
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-fv 5464  df-tpos 6481
  Copyright terms: Public domain W3C validator