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Theorem relcmpcmet 18758
Description: If  D is a metric space such that all the balls of some fixed size are relatively compact, then  D is complete. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
relcmpcmet.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
relcmpcmet.2  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
relcmpcmet.3  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
relcmpcmet.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( Jt  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) ) )  e.  Comp )
Assertion
Ref Expression
relcmpcmet  |-  ( ph  ->  D  e.  ( CMet `  X ) )
Distinct variable groups:    x, D    x, J    ph, x    x, R    x, X

Proof of Theorem relcmpcmet
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relcmpcmet.2 . 2  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
2 metxmet 17915 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
31, 2syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
43adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  (CauFil `  D ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
5 simpr 447 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  (CauFil `  D ) )  ->  f  e.  (CauFil `  D ) )
6 relcmpcmet.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
76adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  (CauFil `  D ) )  ->  R  e.  RR+ )
8 cfil3i 18711 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  f  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  X  ( x
( ball `  D ) R )  e.  f )
94, 5, 7, 8syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  (CauFil `  D ) )  ->  E. x  e.  X  ( x ( ball `  D ) R )  e.  f )
103ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
11 relcmpcmet.1 . . . . . . . . . . 11  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
1211mopntopon 18001 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
1310, 12syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
14 cfilfil 18709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  f  e.  (CauFil `  D ) )  -> 
f  e.  ( Fil `  X ) )
153, 14sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  (CauFil `  D ) )  ->  f  e.  ( Fil `  X ) )
1615adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  -> 
f  e.  ( Fil `  X ) )
17 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  -> 
( x ( ball `  D ) R )  e.  f )
18 topontop 16680 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
1913, 18syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  ->  J  e.  Top )
20 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  ->  x  e.  X )
216rpxrd 10407 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  R  e.  RR* )
2221ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  ->  R  e.  RR* )
23 blssm 17984 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  D ) R ) 
C_  X )
2410, 20, 22, 23syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  -> 
( x ( ball `  D ) R ) 
C_  X )
25 toponuni 16681 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
2613, 25syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  ->  X  =  U. J )
2724, 26sseqtrd 3227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  -> 
( x ( ball `  D ) R ) 
C_  U. J )
28 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. J  =  U. J
2928clsss3 16812 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( x ( ball `  D ) R ) 
C_  U. J )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) )  C_  U. J )
3019, 27, 29syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) )  C_  U. J )
3130, 26sseqtr4d 3228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) )  C_  X )
3228sscls 16809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( x ( ball `  D ) R ) 
C_  U. J )  -> 
( x ( ball `  D ) R ) 
C_  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) R ) ) )
3319, 27, 32syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  -> 
( x ( ball `  D ) R ) 
C_  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) R ) ) )
34 filss 17564 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( Fil `  X )  /\  (
( x ( ball `  D ) R )  e.  f  /\  (
( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) )  C_  X  /\  ( x (
ball `  D ) R )  C_  (
( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  ( x ( ball `  D ) R ) )  e.  f )
3516, 17, 31, 33, 34syl13anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) )  e.  f )
36 fclsrest 17735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( ( cls `  J ) `  ( x ( ball `  D ) R ) )  e.  f )  ->  ( ( Jt  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) ) ) 
fClus  ( ft  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) R ) ) ) )  =  ( ( J  fClus  f )  i^i  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) R ) ) ) )
3713, 16, 35, 36syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  -> 
( ( Jt  ( ( cls `  J ) `
 ( x (
ball `  D ) R ) ) ) 
fClus  ( ft  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) R ) ) ) )  =  ( ( J  fClus  f )  i^i  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) R ) ) ) )
38 inss1 3402 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  fClus  f )  i^i  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) ) ) 
C_  ( J  fClus  f )
39 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  dom  D  =  dom  dom  D
4011, 39cfilfcls 18716 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  (CauFil `  D
)  ->  ( J  fClus  f )  =  ( J  fLim  f )
)
4140ad2antlr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  -> 
( J  fClus  f )  =  ( J  fLim  f ) )
4238, 41syl5sseq 3239 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  -> 
( ( J  fClus  f )  i^i  ( ( cls `  J ) `
 ( x (
ball `  D ) R ) ) ) 
C_  ( J  fLim  f ) )
4337, 42eqsstrd 3225 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  -> 
( ( Jt  ( ( cls `  J ) `
 ( x (
ball `  D ) R ) ) ) 
fClus  ( ft  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) R ) ) ) )  C_  ( J  fLim  f ) )
44 relcmpcmet.4 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( Jt  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) ) )  e.  Comp )
4544ad2ant2r 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  -> 
( Jt  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) R ) ) )  e.  Comp )
46 filfbas 17559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  ( Fil `  X
)  ->  f  e.  ( fBas `  X )
)
4716, 46syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  -> 
f  e.  ( fBas `  X ) )
48 fbncp 17550 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  e.  ( fBas `  X )  /\  (
( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) )  e.  f )  ->  -.  ( X  \  (
( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) ) )  e.  f )
4947, 35, 48syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  ->  -.  ( X  \  (
( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) ) )  e.  f )
50 trfil3 17599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  e.  ( Fil `  X )  /\  (
( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) )  C_  X )  ->  (
( ft  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) R ) ) )  e.  ( Fil `  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) ) )  <->  -.  ( X  \  (
( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) ) )  e.  f ) )
5116, 31, 50syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  -> 
( ( ft  ( ( cls `  J ) `
 ( x (
ball `  D ) R ) ) )  e.  ( Fil `  (
( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) ) )  <->  -.  ( X  \  (
( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) ) )  e.  f ) )
5249, 51mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  -> 
( ft  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) R ) ) )  e.  ( Fil `  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) ) ) )
53 resttopon 16908 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) )  C_  X )  ->  ( Jt  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) ) )  e.  (TopOn `  (
( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) ) ) )
5413, 31, 53syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  -> 
( Jt  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) R ) ) )  e.  (TopOn `  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) ) ) )
55 toponuni 16681 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Jt  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) ) )  e.  (TopOn `  (
( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) R ) )  =  U. ( Jt  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) ) ) )
5654, 55syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) )  = 
U. ( Jt  ( ( cls `  J ) `
 ( x (
ball `  D ) R ) ) ) )
5756fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  -> 
( Fil `  (
( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) ) )  =  ( Fil `  U. ( Jt  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) R ) ) ) ) )
5852, 57eleqtrd 2372 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  -> 
( ft  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) R ) ) )  e.  ( Fil `  U. ( Jt  ( ( cls `  J ) `
 ( x (
ball `  D ) R ) ) ) ) )
59 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  U. ( Jt  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) ) )  =  U. ( Jt  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) ) )
6059fclscmpi 17740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Jt  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) R ) ) )  e.  Comp  /\  (
ft  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) ) )  e.  ( Fil `  U. ( Jt  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) R ) ) ) ) )  -> 
( ( Jt  ( ( cls `  J ) `
 ( x (
ball `  D ) R ) ) ) 
fClus  ( ft  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) R ) ) ) )  =/=  (/) )
6145, 58, 60syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  -> 
( ( Jt  ( ( cls `  J ) `
 ( x (
ball `  D ) R ) ) ) 
fClus  ( ft  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) R ) ) ) )  =/=  (/) )
62 ssn0 3500 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( Jt  ( ( cls `  J ) `
 ( x (
ball `  D ) R ) ) ) 
fClus  ( ft  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) R ) ) ) )  C_  ( J  fLim  f )  /\  ( ( Jt  ( ( cls `  J ) `
 ( x (
ball `  D ) R ) ) ) 
fClus  ( ft  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) R ) ) ) )  =/=  (/) )  -> 
( J  fLim  f
)  =/=  (/) )
6343, 61, 62syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  -> 
( J  fLim  f
)  =/=  (/) )
6463expr 598 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  x  e.  X )  ->  (
( x ( ball `  D ) R )  e.  f  ->  ( J  fLim  f )  =/=  (/) ) )
6564rexlimdva 2680 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  (CauFil `  D ) )  ->  ( E. x  e.  X  ( x
( ball `  D ) R )  e.  f  ->  ( J  fLim  f )  =/=  (/) ) )
669, 65mpd 14 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  (CauFil `  D ) )  ->  ( J  fLim  f )  =/=  (/) )
6766ralrimiva 2639 . 2  |-  ( ph  ->  A. f  e.  (CauFil `  D ) ( J 
fLim  f )  =/=  (/) )
6811iscmet 18726 . 2  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  <->  ( D  e.  ( Met `  X
)  /\  A. f  e.  (CauFil `  D )
( J  fLim  f
)  =/=  (/) ) )
691, 67, 68sylanbrc 645 1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( CMet `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    \ cdif 3162    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   U.cuni 3843   dom cdm 4705   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RR*cxr 8882   RR+crp 10370   ↾t crest 13341   * Metcxmt 16385   Metcme 16386   ballcbl 16387   MetOpencmopn 16388   Topctop 16647  TopOnctopon 16648   clsccl 16771   Compccmp 17129   fBascfbas 17534   Filcfil 17556    fLim cflim 17645    fClus cfcls 17647  CauFilccfil 18694   CMetcms 18696
This theorem is referenced by:  cmpcmet  18759  cncmet  18760
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ico 10678  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-cmp 17130  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-flim 17650  df-fcls 17652  df-cfil 18697  df-cmet 18699
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