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Theorem relcmpcmet 19271
Description: If  D is a metric space such that all the balls of some fixed size are relatively compact, then  D is complete. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
relcmpcmet.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
relcmpcmet.2  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
relcmpcmet.3  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
relcmpcmet.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( Jt  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) ) )  e.  Comp )
Assertion
Ref Expression
relcmpcmet  |-  ( ph  ->  D  e.  ( CMet `  X ) )
Distinct variable groups:    x, D    x, J    ph, x    x, R    x, X

Proof of Theorem relcmpcmet
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relcmpcmet.2 . 2  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
2 metxmet 18366 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
31, 2syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
43adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  (CauFil `  D ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
5 simpr 449 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  (CauFil `  D ) )  ->  f  e.  (CauFil `  D ) )
6 relcmpcmet.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
76adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  (CauFil `  D ) )  ->  R  e.  RR+ )
8 cfil3i 19224 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  f  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  X  ( x
( ball `  D ) R )  e.  f )
94, 5, 7, 8syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  (CauFil `  D ) )  ->  E. x  e.  X  ( x ( ball `  D ) R )  e.  f )
103ad2antrr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
11 relcmpcmet.1 . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
1211mopntopon 18471 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
1310, 12syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
14 cfilfil 19222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  f  e.  (CauFil `  D ) )  -> 
f  e.  ( Fil `  X ) )
153, 14sylan 459 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  (CauFil `  D ) )  ->  f  e.  ( Fil `  X ) )
1615adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  -> 
f  e.  ( Fil `  X ) )
17 simprr 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  -> 
( x ( ball `  D ) R )  e.  f )
18 topontop 16993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
1913, 18syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  ->  J  e.  Top )
20 simprl 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  ->  x  e.  X )
216rpxrd 10651 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  R  e.  RR* )
2221ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  ->  R  e.  RR* )
23 blssm 18450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  D ) R ) 
C_  X )
2410, 20, 22, 23syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  -> 
( x ( ball `  D ) R ) 
C_  X )
25 toponuni 16994 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
2613, 25syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  ->  X  =  U. J )
2724, 26sseqtrd 3386 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  -> 
( x ( ball `  D ) R ) 
C_  U. J )
28 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  U. J  =  U. J
2928clsss3 17125 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( x ( ball `  D ) R ) 
C_  U. J )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) )  C_  U. J )
3019, 27, 29syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) )  C_  U. J )
3130, 26sseqtr4d 3387 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) )  C_  X )
3228sscls 17122 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( x ( ball `  D ) R ) 
C_  U. J )  -> 
( x ( ball `  D ) R ) 
C_  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) R ) ) )
3319, 27, 32syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  -> 
( x ( ball `  D ) R ) 
C_  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) R ) ) )
34 filss 17887 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  ( Fil `  X )  /\  (
( x ( ball `  D ) R )  e.  f  /\  (
( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) )  C_  X  /\  ( x (
ball `  D ) R )  C_  (
( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  ( x ( ball `  D ) R ) )  e.  f )
3516, 17, 31, 33, 34syl13anc 1187 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) )  e.  f )
36 fclsrest 18058 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  f  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( ( cls `  J ) `  ( x ( ball `  D ) R ) )  e.  f )  ->  ( ( Jt  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) ) ) 
fClus  ( ft  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) R ) ) ) )  =  ( ( J  fClus  f )  i^i  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) R ) ) ) )
3713, 16, 35, 36syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  -> 
( ( Jt  ( ( cls `  J ) `
 ( x (
ball `  D ) R ) ) ) 
fClus  ( ft  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) R ) ) ) )  =  ( ( J  fClus  f )  i^i  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) R ) ) ) )
38 inss1 3563 . . . . . . 7  |-  ( ( J  fClus  f )  i^i  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) ) ) 
C_  ( J  fClus  f )
39 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  dom  dom  D  =  dom  dom  D
4011, 39cfilfcls 19229 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  (CauFil `  D
)  ->  ( J  fClus  f )  =  ( J  fLim  f )
)
4140ad2antlr 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  -> 
( J  fClus  f )  =  ( J  fLim  f ) )
4238, 41syl5sseq 3398 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  -> 
( ( J  fClus  f )  i^i  ( ( cls `  J ) `
 ( x (
ball `  D ) R ) ) ) 
C_  ( J  fLim  f ) )
4337, 42eqsstrd 3384 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  -> 
( ( Jt  ( ( cls `  J ) `
 ( x (
ball `  D ) R ) ) ) 
fClus  ( ft  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) R ) ) ) )  C_  ( J  fLim  f ) )
44 relcmpcmet.4 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( Jt  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) ) )  e.  Comp )
4544ad2ant2r 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  -> 
( Jt  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) R ) ) )  e.  Comp )
46 filfbas 17882 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ( Fil `  X
)  ->  f  e.  ( fBas `  X )
)
4716, 46syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  -> 
f  e.  ( fBas `  X ) )
48 fbncp 17873 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  ( fBas `  X )  /\  (
( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) )  e.  f )  ->  -.  ( X  \  (
( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) ) )  e.  f )
4947, 35, 48syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  ->  -.  ( X  \  (
( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) ) )  e.  f )
50 trfil3 17922 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  ( Fil `  X )  /\  (
( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) )  C_  X )  ->  (
( ft  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) R ) ) )  e.  ( Fil `  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) ) )  <->  -.  ( X  \  (
( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) ) )  e.  f ) )
5116, 31, 50syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  -> 
( ( ft  ( ( cls `  J ) `
 ( x (
ball `  D ) R ) ) )  e.  ( Fil `  (
( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) ) )  <->  -.  ( X  \  (
( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) ) )  e.  f ) )
5249, 51mpbird 225 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  -> 
( ft  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) R ) ) )  e.  ( Fil `  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) ) ) )
53 resttopon 17227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) )  C_  X )  ->  ( Jt  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) ) )  e.  (TopOn `  (
( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) ) ) )
5413, 31, 53syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  -> 
( Jt  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) R ) ) )  e.  (TopOn `  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) ) ) )
55 toponuni 16994 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Jt  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) ) )  e.  (TopOn `  (
( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) R ) )  =  U. ( Jt  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) ) ) )
5654, 55syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) )  = 
U. ( Jt  ( ( cls `  J ) `
 ( x (
ball `  D ) R ) ) ) )
5756fveq2d 5734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  -> 
( Fil `  (
( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) ) )  =  ( Fil `  U. ( Jt  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) R ) ) ) ) )
5852, 57eleqtrd 2514 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  -> 
( ft  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) R ) ) )  e.  ( Fil `  U. ( Jt  ( ( cls `  J ) `
 ( x (
ball `  D ) R ) ) ) ) )
59 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  U. ( Jt  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) ) )  =  U. ( Jt  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) ) )
6059fclscmpi 18063 . . . . . 6  |-  ( ( ( Jt  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) R ) ) )  e.  Comp  /\  (
ft  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D ) R ) ) )  e.  ( Fil `  U. ( Jt  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) R ) ) ) ) )  -> 
( ( Jt  ( ( cls `  J ) `
 ( x (
ball `  D ) R ) ) ) 
fClus  ( ft  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) R ) ) ) )  =/=  (/) )
6145, 58, 60syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  -> 
( ( Jt  ( ( cls `  J ) `
 ( x (
ball `  D ) R ) ) ) 
fClus  ( ft  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) R ) ) ) )  =/=  (/) )
62 ssn0 3662 . . . . 5  |-  ( ( ( ( Jt  ( ( cls `  J ) `
 ( x (
ball `  D ) R ) ) ) 
fClus  ( ft  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) R ) ) ) )  C_  ( J  fLim  f )  /\  ( ( Jt  ( ( cls `  J ) `
 ( x (
ball `  D ) R ) ) ) 
fClus  ( ft  ( ( cls `  J ) `  (
x ( ball `  D
) R ) ) ) )  =/=  (/) )  -> 
( J  fLim  f
)  =/=  (/) )
6343, 61, 62syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  (CauFil `  D )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
x ( ball `  D
) R )  e.  f ) )  -> 
( J  fLim  f
)  =/=  (/) )
649, 63rexlimddv 2836 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  (CauFil `  D ) )  ->  ( J  fLim  f )  =/=  (/) )
6564ralrimiva 2791 . 2  |-  ( ph  ->  A. f  e.  (CauFil `  D ) ( J 
fLim  f )  =/=  (/) )
6611iscmet 19239 . 2  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  <->  ( D  e.  ( Met `  X
)  /\  A. f  e.  (CauFil `  D )
( J  fLim  f
)  =/=  (/) ) )
671, 65, 66sylanbrc 647 1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( CMet `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708    \ cdif 3319    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   U.cuni 4017   dom cdm 4880   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   RR*cxr 9121   RR+crp 10614   ↾t crest 13650   * Metcxmt 16688   Metcme 16689   ballcbl 16690   fBascfbas 16691   MetOpencmopn 16693   Topctop 16960  TopOnctopon 16961   clsccl 17084   Compccmp 17451   Filcfil 17879    fLim cflim 17968    fClus cfcls 17970  CauFilccfil 19207   CMetcms 19209
This theorem is referenced by:  cmpcmet  19272  cncmet  19277
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ico 10924  df-rest 13652  df-topgen 13669  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-nei 17164  df-cmp 17452  df-fil 17880  df-flim 17973  df-fcls 17975  df-cfil 19210  df-cmet 19212
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