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Theorem relcoi1 5217
Description: Composition with the identity relation restricted to a relation's field. (Contributed by FL, 8-May-2011.)
Assertion
Ref Expression
relcoi1  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  o.  (  _I  |`  U. U. R ) )  =  R )

Proof of Theorem relcoi1
StepHypRef Expression
1 relfld 5214 . . 3  |-  ( Rel 
R  ->  U. U. R  =  ( dom  R  u.  ran  R ) )
2 resundi 4985 . . . . 5  |-  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  =  ( (  _I  |`  dom  R
)  u.  (  _I  |`  ran  R ) )
3 coeq2 4858 . . . . 5  |-  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  =  ( (  _I  |`  dom  R )  u.  (  _I  |`  ran  R
) )  ->  ( R  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )  =  ( R  o.  ( (  _I  |`  dom  R
)  u.  (  _I  |`  ran  R ) ) ) )
4 coundi 5190 . . . . . . 7  |-  ( R  o.  ( (  _I  |`  dom  R )  u.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )
5 resco 5193 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  o.  _I  )  |` 
dom  R )  =  ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )
6 coi1 5204 . . . . . . . . 9  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  o.  _I  )  =  R )
7 reseq1 4965 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  o.  _I  )  =  R  ->  ( ( R  o.  _I  )  |` 
dom  R )  =  ( R  |`  dom  R
) )
8 resdm 5009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  |` 
dom  R )  =  R )
9 eqtr 2313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R
)  =  ( R  |`  dom  R )  /\  ( R  |`  dom  R
)  =  R )  ->  ( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R )  =  R )
10 eqtr 2313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  =  ( ( R  o.  _I  )  |` 
dom  R )  /\  ( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R
)  =  R )  ->  ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  =  R )
11 resco 5193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  o.  _I  )  |` 
ran  R )  =  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R ) )
12 uneq1 3335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  =  R  ->  (
( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) ) )
13 reseq1 4965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  o.  _I  )  =  R  ->  ( ( R  o.  _I  )  |` 
ran  R )  =  ( R  |`  ran  R
) )
14 eqtr 2313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( R  o.  (  _I  |`  ran  R ) )  =  ( ( R  o.  _I  )  |` 
ran  R )  /\  ( ( R  o.  _I  )  |`  ran  R
)  =  ( R  |`  ran  R ) )  ->  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) )  =  ( R  |`  ran  R ) )
1514uneq2d 3342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( R  o.  (  _I  |`  ran  R ) )  =  ( ( R  o.  _I  )  |` 
ran  R )  /\  ( ( R  o.  _I  )  |`  ran  R
)  =  ( R  |`  ran  R ) )  ->  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R ) ) )  =  ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) ) )
16 eqtr 2313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  /\  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) ) )  ->  ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) ) )
17 resss 4995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( R  |`  ran  R )  C_  R
18 ssequn2 3361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( R  |`  ran  R ) 
C_  R  <->  ( R  u.  ( R  |`  ran  R
) )  =  R )
1917, 18mpbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) )  =  R
206, 19syl6reqr 2347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  u.  ( R  |`  ran  R
) )  =  ( R  o.  _I  )
)
21 eqeq1 2302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) )  ->  ( (
( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) 
<->  ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) )
2220, 21syl5ibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) )  ->  ( Rel  R  ->  ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) )
2316, 22syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  /\  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) ) )  ->  ( Rel  R  ->  ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) )
2423ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  ->  ( ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) )  ->  ( Rel  R  ->  ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) )
2524com3l 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) )  ->  ( Rel  R  ->  ( ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  ->  ( ( R  o.  (  _I  |` 
dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) )
2615, 25syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( R  o.  (  _I  |`  ran  R ) )  =  ( ( R  o.  _I  )  |` 
ran  R )  /\  ( ( R  o.  _I  )  |`  ran  R
)  =  ( R  |`  ran  R ) )  ->  ( Rel  R  ->  ( ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  -> 
( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) )
2726ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( R  o.  (  _I  |`  ran  R ) )  =  ( ( R  o.  _I  )  |`  ran  R )  ->  (
( ( R  o.  _I  )  |`  ran  R
)  =  ( R  |`  ran  R )  -> 
( Rel  R  ->  ( ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  -> 
( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) ) )
2827eqcoms 2299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( R  o.  _I  )  |`  ran  R )  =  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) )  ->  (
( ( R  o.  _I  )  |`  ran  R
)  =  ( R  |`  ran  R )  -> 
( Rel  R  ->  ( ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  -> 
( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) ) )
2928com3l 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  o.  _I  )  |`  ran  R )  =  ( R  |`  ran  R )  ->  ( Rel  R  ->  ( (
( R  o.  _I  )  |`  ran  R )  =  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) )  ->  (
( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  -> 
( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) ) )
3013, 29syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  o.  _I  )  =  R  ->  ( Rel 
R  ->  ( (
( R  o.  _I  )  |`  ran  R )  =  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) )  ->  (
( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  -> 
( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) ) )
316, 30mpcom 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Rel 
R  ->  ( (
( R  o.  _I  )  |`  ran  R )  =  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) )  ->  (
( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  -> 
( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) )
3231com3l 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( R  o.  _I  )  |`  ran  R )  =  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) )  ->  (
( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  -> 
( Rel  R  ->  ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) )
3311, 12, 32mpsyl 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  =  R  ->  ( Rel  R  ->  ( ( R  o.  (  _I  |` 
dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) )
3410, 33syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  =  ( ( R  o.  _I  )  |` 
dom  R )  /\  ( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R
)  =  R )  ->  ( Rel  R  ->  ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) )
3534ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  =  ( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R )  ->  (
( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R
)  =  R  -> 
( Rel  R  ->  ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) )
3635eqcoms 2299 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R )  =  ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  ->  (
( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R
)  =  R  -> 
( Rel  R  ->  ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) )
3736com3l 75 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R )  =  R  ->  ( Rel  R  ->  ( (
( R  o.  _I  )  |`  dom  R )  =  ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  ->  (
( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) )
389, 37syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R
)  =  ( R  |`  dom  R )  /\  ( R  |`  dom  R
)  =  R )  ->  ( Rel  R  ->  ( ( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R )  =  ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  ->  ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) )
3938ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R )  =  ( R  |`  dom  R )  ->  (
( R  |`  dom  R
)  =  R  -> 
( Rel  R  ->  ( ( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R
)  =  ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  ->  (
( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) ) )
4039com3l 75 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  |`  dom  R )  =  R  ->  ( Rel  R  ->  ( (
( R  o.  _I  )  |`  dom  R )  =  ( R  |`  dom  R )  ->  (
( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R
)  =  ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  ->  (
( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) ) )
418, 40mpcom 32 . . . . . . . . . 10  |-  ( Rel 
R  ->  ( (
( R  o.  _I  )  |`  dom  R )  =  ( R  |`  dom  R )  ->  (
( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R
)  =  ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  ->  (
( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) )
427, 41syl5com 26 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  o.  _I  )  =  R  ->  ( Rel 
R  ->  ( (
( R  o.  _I  )  |`  dom  R )  =  ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  ->  (
( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) )
436, 42mpcom 32 . . . . . . . 8  |-  ( Rel 
R  ->  ( (
( R  o.  _I  )  |`  dom  R )  =  ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  ->  (
( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) )
445, 43mpi 16 . . . . . . 7  |-  ( Rel 
R  ->  ( ( R  o.  (  _I  |` 
dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) )
454, 44syl5eq 2340 . . . . . 6  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  o.  ( (  _I  |`  dom  R
)  u.  (  _I  |`  ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  ) )
46 eqeq1 2302 . . . . . 6  |-  ( ( R  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )  =  ( R  o.  ( (  _I  |`  dom  R
)  u.  (  _I  |`  ran  R ) ) )  ->  ( ( R  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  )  <->  ( R  o.  ( (  _I  |`  dom  R
)  u.  (  _I  |`  ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) )
4745, 46syl5ibr 212 . . . . 5  |-  ( ( R  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )  =  ( R  o.  ( (  _I  |`  dom  R
)  u.  (  _I  |`  ran  R ) ) )  ->  ( Rel  R  ->  ( R  o.  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) )
482, 3, 47mp2b 9 . . . 4  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) )
49 reseq2 4966 . . . . . 6  |-  ( U. U. R  =  ( dom 
R  u.  ran  R
)  ->  (  _I  |` 
U. U. R )  =  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) )
5049coeq2d 4862 . . . . 5  |-  ( U. U. R  =  ( dom 
R  u.  ran  R
)  ->  ( R  o.  (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( R  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) ) )
5150eqeq1d 2304 . . . 4  |-  ( U. U. R  =  ( dom 
R  u.  ran  R
)  ->  ( ( R  o.  (  _I  |` 
U. U. R ) )  =  ( R  o.  _I  )  <->  ( R  o.  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) )
5248, 51syl5ibr 212 . . 3  |-  ( U. U. R  =  ( dom 
R  u.  ran  R
)  ->  ( Rel  R  ->  ( R  o.  (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) )
531, 52mpcom 32 . 2  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  o.  (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( R  o.  _I  ) )
5453, 6eqtrd 2328 1  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  o.  (  _I  |`  U. U. R ) )  =  R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    u. cun 3163    C_ wss 3165   U.cuni 3843    _I cid 4320   dom cdm 4705   ran crn 4706    |` cres 4707    o. ccom 4709   Rel wrel 4710
This theorem is referenced by:  tsrdir  14376  relexpsucl  24043
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717
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