MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reldm0 Unicode version

Theorem reldm0 4896
Description: A relation is empty iff its domain is empty. (Contributed by NM, 15-Sep-2004.)
Assertion
Ref Expression
reldm0  |-  ( Rel 
A  ->  ( A  =  (/)  <->  dom  A  =  (/) ) )

Proof of Theorem reldm0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rel0 4810 . . 3  |-  Rel  (/)
2 eqrel 4777 . . 3  |-  ( ( Rel  A  /\  Rel  (/) )  ->  ( A  =  (/)  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  <->  <. x ,  y >.  e.  (/) ) ) )
31, 2mpan2 652 . 2  |-  ( Rel 
A  ->  ( A  =  (/)  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  <->  <. x ,  y >.  e.  (/) ) ) )
4 eq0 3469 . . 3  |-  ( dom 
A  =  (/)  <->  A. x  -.  x  e.  dom  A )
5 alnex 1530 . . . . . 6  |-  ( A. y  -.  <. x ,  y
>.  e.  A  <->  -.  E. y <. x ,  y >.  e.  A )
6 vex 2791 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
76eldm2 4877 . . . . . 6  |-  ( x  e.  dom  A  <->  E. y <. x ,  y >.  e.  A )
85, 7xchbinxr 302 . . . . 5  |-  ( A. y  -.  <. x ,  y
>.  e.  A  <->  -.  x  e.  dom  A )
9 noel 3459 . . . . . . 7  |-  -.  <. x ,  y >.  e.  (/)
109nbn 336 . . . . . 6  |-  ( -. 
<. x ,  y >.  e.  A  <->  ( <. x ,  y >.  e.  A  <->  <.
x ,  y >.  e.  (/) ) )
1110albii 1553 . . . . 5  |-  ( A. y  -.  <. x ,  y
>.  e.  A  <->  A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  <->  <. x ,  y >.  e.  (/) ) )
128, 11bitr3i 242 . . . 4  |-  ( -.  x  e.  dom  A  <->  A. y ( <. x ,  y >.  e.  A  <->  <.
x ,  y >.  e.  (/) ) )
1312albii 1553 . . 3  |-  ( A. x  -.  x  e.  dom  A  <->  A. x A. y (
<. x ,  y >.  e.  A  <->  <. x ,  y
>.  e.  (/) ) )
144, 13bitr2i 241 . 2  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  <->  <. x ,  y
>.  e.  (/) )  <->  dom  A  =  (/) )
153, 14syl6bb 252 1  |-  ( Rel 
A  ->  ( A  =  (/)  <->  dom  A  =  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   (/)c0 3455   <.cop 3643   dom cdm 4689   Rel wrel 4694
This theorem is referenced by:  relrn0  4937  fnresdisj  5354  fn0  5363  fresaunres2  5413  fsnunfv  5720  frxp  6225  domss2  7020  setsres  13174  gsumval3  15191  00lsp  15738  metn0  17924  eupath  23905  dfrdg2  24152  mapfzcons1  26794  coeq0  26831  diophrw  26838  eldioph2lem1  26839  eldioph2lem2  26840
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-xp 4695  df-rel 4696  df-dm 4699
  Copyright terms: Public domain W3C validator