Theorem reldm0 3320

Description: A relation is empty iff its domain is empty.

Assertion

Ref	Expression
reldm0	|- (Rel A -> (A = (/) <-> dom A = (/)))

Proof of Theorem reldm0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rel0 3262	. . 3 |- Rel (/)
2		eqrel 3240	. . 3 |- ((Rel A /\ Rel (/)) -> (A = (/) <-> A.xA.y(<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. (/))))
3	1, 2	mpan2 694	. 2 |- (Rel A -> (A = (/) <-> A.xA.y(<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. (/))))
4		eq0 2284	. . 3 |- (dom A = (/) <-> A.x -. x e. dom A)
5		visset 1804	. . . . . . 7 |- x e. V
6	5	eldm2 3297	. . . . . 6 |- (x e. dom A <-> E.y<.x, y>. e. A)
7	6	negbii 187	. . . . 5 |- (-. x e. dom A <-> -. E.y<.x, y>. e. A)
8		alnex 1029	. . . . 5 |- (A.y -. <.x, y>. e. A <-> -. E.y<.x, y>. e. A)
9		noel 2274	. . . . . . 7 |- -. <.x, y>. e. (/)
10	9	nbn 720	. . . . . 6 |- (-. <.x, y>. e. A <-> (<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. (/)))
11	10	albii 996	. . . . 5 |- (A.y -. <.x, y>. e. A <-> A.y(<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. (/)))
12	7, 8, 11	3bitr2 179	. . . 4 |- (-. x e. dom A <-> A.y(<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. (/)))
13	12	albii 996	. . 3 |- (A.x -. x e. dom A <-> A.xA.y(<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. (/)))
14	4, 13	bitr2 174	. 2 |- (A.xA.y(<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. (/)) <-> dom A = (/))
15	3, 14	syl6bb 534	1 |- (Rel A -> (A = (/) <-> dom A = (/)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146  A.wal 951   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977  (/)c0 2270  <.cop 2401  dom cdm 3160  Rel wrel 3165

This theorem is referenced by:  relrn0 3342  fnresdisj 3583  mapdom2lem 4473

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-br 2610  df-opab 2657  df-xp 3174  df-rel 3175  df-dm 3178

Copyright terms: Public domain