MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reldmtpos Structured version   Unicode version

Theorem reldmtpos 6489
Description: Necessary and sufficient condition for  dom tpos  F to be a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
reldmtpos  |-  ( Rel 
dom tpos  F  <->  -.  (/)  e.  dom  F )

Proof of Theorem reldmtpos
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4341 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
21eldm 5069 . . . 4  |-  ( (/)  e.  dom  F  <->  E. y (/) F y )
3 vex 2961 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
4 brtpos0 6488 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  _V  ->  ( (/)tpos  F y  <->  (/) F y ) )
53, 4ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( (/)tpos  F y  <->  (/) F y )
6 0nelxp 4908 . . . . . . . 8  |-  -.  (/)  e.  ( _V  X.  _V )
7 df-rel 4887 . . . . . . . . 9  |-  ( Rel 
dom tpos  F  <->  dom tpos  F  C_  ( _V 
X.  _V ) )
8 ssel 3344 . . . . . . . . 9  |-  ( dom tpos  F  C_  ( _V  X.  _V )  ->  ( (/)  e.  dom tpos  F  ->  (/)  e.  ( _V  X.  _V )
) )
97, 8sylbi 189 . . . . . . . 8  |-  ( Rel 
dom tpos  F  ->  ( (/)  e.  dom tpos  F  ->  (/)  e.  ( _V 
X.  _V ) ) )
106, 9mtoi 172 . . . . . . 7  |-  ( Rel 
dom tpos  F  ->  -.  (/)  e.  dom tpos  F )
111, 3breldm 5076 . . . . . . 7  |-  ( (/)tpos  F y  ->  (/)  e.  dom tpos  F )
1210, 11nsyl3 114 . . . . . 6  |-  ( (/)tpos  F y  ->  -.  Rel  dom tpos  F )
135, 12sylbir 206 . . . . 5  |-  ( (/) F y  ->  -.  Rel  dom tpos  F )
1413exlimiv 1645 . . . 4  |-  ( E. y (/) F y  ->  -.  Rel  dom tpos  F )
152, 14sylbi 189 . . 3  |-  ( (/)  e.  dom  F  ->  -.  Rel  dom tpos  F )
1615con2i 115 . 2  |-  ( Rel 
dom tpos  F  ->  -.  (/)  e.  dom  F )
17 vex 2961 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
1817eldm 5069 . . . . 5  |-  ( x  e.  dom tpos  F  <->  E. y  xtpos  F y )
19 relcnv 5244 . . . . . . . . . . 11  |-  Rel  `' dom  F
20 df-rel 4887 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Rel  `' dom  F  <->  `' dom  F 
C_  ( _V  X.  _V ) )
2119, 20mpbi 201 . . . . . . . . . 10  |-  `' dom  F 
C_  ( _V  X.  _V )
2221sseli 3346 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  `' dom  F  ->  x  e.  ( _V 
X.  _V ) )
2322a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  (/)  e.  dom  F  /\  xtpos  F y )  ->  ( x  e.  `' dom  F  ->  x  e.  ( _V  X.  _V ) ) )
24 elsni 3840 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  { (/) }  ->  x  =  (/) )
2524breq1d 4224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  { (/) }  ->  ( xtpos  F y  <->  (/)tpos  F y ) )
261, 3breldm 5076 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/) F y  ->  (/)  e.  dom  F )
2726pm2.24d 138 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/) F y  ->  ( -.  (/)  e.  dom  F  ->  x  e.  ( _V 
X.  _V ) ) )
285, 27sylbi 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)tpos  F y  ->  ( -.  (/) 
e.  dom  F  ->  x  e.  ( _V  X.  _V ) ) )
2925, 28syl6bi 221 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { (/) }  ->  ( xtpos  F y  -> 
( -.  (/)  e.  dom  F  ->  x  e.  ( _V  X.  _V )
) ) )
3029com3l 78 . . . . . . . . 9  |-  ( xtpos 
F y  ->  ( -.  (/)  e.  dom  F  ->  ( x  e.  { (/)
}  ->  x  e.  ( _V  X.  _V )
) ) )
3130impcom 421 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  (/)  e.  dom  F  /\  xtpos  F y )  ->  ( x  e. 
{ (/) }  ->  x  e.  ( _V  X.  _V ) ) )
32 brtpos2 6487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  _V  ->  (
xtpos  F y  <->  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  U. `' { x } F
y ) ) )
333, 32ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( xtpos 
F y  <->  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  U. `' { x } F
y ) )
3433simplbi 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( xtpos 
F y  ->  x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) )
35 elun 3490 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  <-> 
( x  e.  `' dom  F  \/  x  e. 
{ (/) } ) )
3634, 35sylib 190 . . . . . . . . 9  |-  ( xtpos 
F y  ->  (
x  e.  `' dom  F  \/  x  e.  { (/)
} ) )
3736adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  (/)  e.  dom  F  /\  xtpos  F y )  ->  ( x  e.  `' dom  F  \/  x  e.  { (/) } ) )
3823, 31, 37mpjaod 372 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  (/)  e.  dom  F  /\  xtpos  F y )  ->  x  e.  ( _V  X.  _V )
)
3938ex 425 . . . . . 6  |-  ( -.  (/)  e.  dom  F  -> 
( xtpos  F y  ->  x  e.  ( _V  X.  _V )
) )
4039exlimdv 1647 . . . . 5  |-  ( -.  (/)  e.  dom  F  -> 
( E. y  xtpos 
F y  ->  x  e.  ( _V  X.  _V ) ) )
4118, 40syl5bi 210 . . . 4  |-  ( -.  (/)  e.  dom  F  -> 
( x  e.  dom tpos  F  ->  x  e.  ( _V  X.  _V )
) )
4241ssrdv 3356 . . 3  |-  ( -.  (/)  e.  dom  F  ->  dom tpos  F  C_  ( _V  X.  _V ) )
4342, 7sylibr 205 . 2  |-  ( -.  (/)  e.  dom  F  ->  Rel  dom tpos  F )
4416, 43impbii 182 1  |-  ( Rel 
dom tpos  F  <->  -.  (/)  e.  dom  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360   E.wex 1551    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    u. cun 3320    C_ wss 3322   (/)c0 3630   {csn 3816   U.cuni 4017   class class class wbr 4214    X. cxp 4878   `'ccnv 4879   dom cdm 4880   Rel wrel 4885  tpos ctpos 6480
This theorem is referenced by:  dmtpos  6493
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-fv 5464  df-tpos 6481
  Copyright terms: Public domain W3C validator