Theorem relexp0 25086

Description: A relation composed zero times is the (restricted) identity. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
relexp0.1	|- ( ph -> Rel R )
relexp0.2	|- ( ph -> R e. _V )

Assertion

Ref	Expression
relexp0	|- ( ph -> ( R ^ r 0 ) = ( _I |` U. U. R ) )

Proof of Theorem relexp0

Dummy variables r n x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relexp0.2	. 2 |- ( ph -> R e. _V )
2		uniexg 4669	. . 3 |- ( R e. _V -> U. R e. _V )
3		uniexg 4669	. . . 4 |- ( U. R e. _V -> U. U. R e. _V )
4		resiexg 5151	. . . . 5 |- ( U. U. R e. _V -> ( _I |` U. U. R ) e. _V )
5		eqidd 2409	. . . . . . 7 |- ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) -> ( r e. _V , n e. NN0 |-> ( seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. r ) ) ) ` n ) ) = ( r e. _V , n e. NN0 |-> ( seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. r ) ) ) ` n ) ) )
6		simpl 444	. . . . . . . . 9 |- ( ( r = R /\ n = 0 ) -> r = R )
7	6	adantl 453	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) /\ ( r = R /\ n = 0 ) ) -> r = R )
8		simprr 734	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) /\ ( R = R /\ n = 0 ) ) -> n = 0 )
9		0z 10253	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. ZZ
10		eqidd 2409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) /\ ( R = R /\ 0 = 0 ) ) -> ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. R ) ) = ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. R ) ) )
11		eqidd 2409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) /\ ( R = R /\ 0 = 0 ) ) /\ z = 0 ) -> ( _I |` U. U. R ) = ( _I |` U. U. R ) )
12		c0ex 9045	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. _V
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) /\ ( R = R /\ 0 = 0 ) ) -> 0 e. _V )
14		simpll 731	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) /\ ( R = R /\ 0 = 0 ) ) -> ( _I |` U. U. R ) e. _V )
15	10, 11, 13, 14	fvmptd 5773	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) /\ ( R = R /\ 0 = 0 ) ) -> ( ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. R ) ) ` 0 ) = ( _I |` U. U. R ) )
16	9, 15	seq1i 11296	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) /\ ( R = R /\ 0 = 0 ) ) -> ( seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. R ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. R ) ) ) ` 0 ) = ( _I |` U. U. R ) )
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 0 -> ( ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) /\ ( R = R /\ 0 = 0 ) ) -> ( seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. R ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. R ) ) ) ` 0 ) = ( _I |` U. U. R ) ) )
18		eqeq1 2414	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = 0 -> ( n = 0 <-> 0 = 0 ) )
19	18	anbi2d 685	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 0 -> ( ( R = R /\ n = 0 ) <-> ( R = R /\ 0 = 0 ) ) )
20	19	anbi2d 685	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 0 -> ( ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) /\ ( R = R /\ n = 0 ) ) <-> ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) /\ ( R = R /\ 0 = 0 ) ) ) )
21		fveq2 5691	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 0 -> ( seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. R ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. R ) ) ) ` n ) = ( seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. R ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. R ) ) ) ` 0 ) )
22	21	eqeq1d 2416	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 0 -> ( ( seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. R ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. R ) ) ) ` n ) = ( _I |` U. U. R ) <-> ( seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. R ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. R ) ) ) ` 0 ) = ( _I |` U. U. R ) ) )
23	17, 20, 22	3imtr4d 260	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = 0 -> ( ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) /\ ( R = R /\ n = 0 ) ) -> ( seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. R ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. R ) ) ) ` n ) = ( _I |` U. U. R ) ) )
24	8, 23	mpcom 34	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) /\ ( R = R /\ n = 0 ) ) -> ( seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. R ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. R ) ) ) ` n ) = ( _I |` U. U. R ) )
25	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) /\ ( R = R /\ n = 0 ) ) -> ( seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. R ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. R ) ) ) ` n ) = ( _I |` U. U. R ) ) )
26		eqeq1 2414	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = R -> ( r = R <-> R = R ) )
27	26	anbi1d 686	. . . . . . . . . 10 |- ( r = R -> ( ( r = R /\ n = 0 ) <-> ( R = R /\ n = 0 ) ) )
28	27	anbi2d 685	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) /\ ( r = R /\ n = 0 ) ) <-> ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) /\ ( R = R /\ n = 0 ) ) ) )
29		eqidd 2409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = R -> 0 = 0 )
30		eqidd 2409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = R -> _V = _V )
31		coeq2 4994	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = R -> ( x o. r ) = ( x o. R ) )
32	30, 30, 31	mpt2eq123dv 6099	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = R -> ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) = ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. R ) ) )
33		unieq 3988	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( r = R -> U. r = U. R )
34	33	unieqd 3990	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( r = R -> U. U. r = U. U. R )
35	34	reseq2d 5109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = R -> ( _I |` U. U. r ) = ( _I |` U. U. R ) )
36	35	mpteq2dv 4260	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = R -> ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. r ) ) = ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. R ) ) )
37	29, 32, 36	seqeq123d 11291	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = R -> seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. r ) ) ) = seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. R ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. R ) ) ) )
38	37	fveq1d 5693	. . . . . . . . . 10 |- ( r = R -> ( seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. r ) ) ) ` n ) = ( seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. R ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. R ) ) ) ` n ) )
39	38	eqeq1d 2416	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( ( seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. r ) ) ) ` n ) = ( _I |` U. U. R ) <-> ( seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. R ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. R ) ) ) ` n ) = ( _I |` U. U. R ) ) )
40	25, 28, 39	3imtr4d 260	. . . . . . . 8 |- ( r = R -> ( ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) /\ ( r = R /\ n = 0 ) ) -> ( seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. r ) ) ) ` n ) = ( _I |` U. U. R ) ) )
41	7, 40	mpcom 34	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) /\ ( r = R /\ n = 0 ) ) -> ( seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. r ) ) ) ` n ) = ( _I |` U. U. R ) )
42	1	adantl 453	. . . . . . 7 |- ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) -> R e. _V )
43		0nn0 10196	. . . . . . . 8 |- 0 e. NN0
44	43	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) -> 0 e. NN0 )
45		simpl 444	. . . . . . 7 |- ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) -> ( _I |` U. U. R ) e. _V )
46	5, 41, 42, 44, 45	ovmpt2d 6164	. . . . . 6 |- ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) -> ( R ( r e. _V , n e. NN0 |-> ( seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. r ) ) ) ` n ) ) 0 ) = ( _I |` U. U. R ) )
47		df-relexp 25085	. . . . . . 7 |- ^ r = ( r e. _V , n e. NN0 |-> ( seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. r ) ) ) ` n ) )
48		oveq 6050	. . . . . . . . 9 |- ( ^ r = ( r e. _V , n e. NN0 |-> ( seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. r ) ) ) ` n ) ) -> ( R ^ r 0 ) = ( R ( r e. _V , n e. NN0 |-> ( seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. r ) ) ) ` n ) ) 0 ) )
49	48	eqeq1d 2416	. . . . . . . 8 |- ( ^ r = ( r e. _V , n e. NN0 |-> ( seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. r ) ) ) ` n ) ) -> ( ( R ^ r 0 ) = ( _I |` U. U. R ) <-> ( R ( r e. _V , n e. NN0 |-> ( seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. r ) ) ) ` n ) ) 0 ) = ( _I |` U. U. R ) ) )
50	49	imbi2d 308	. . . . . . 7 |- ( ^ r = ( r e. _V , n e. NN0 |-> ( seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. r ) ) ) ` n ) ) -> ( ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) -> ( R ^ r 0 ) = ( _I |` U. U. R ) ) <-> ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) -> ( R ( r e. _V , n e. NN0 |-> ( seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. r ) ) ) ` n ) ) 0 ) = ( _I |` U. U. R ) ) ) )
51	47, 50	ax-mp 8	. . . . . 6 |- ( ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) -> ( R ^ r 0 ) = ( _I |` U. U. R ) ) <-> ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) -> ( R ( r e. _V , n e. NN0 |-> ( seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. r ) ) ) ` n ) ) 0 ) = ( _I |` U. U. R ) ) )
52	46, 51	mpbir 201	. . . . 5 |- ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) -> ( R ^ r 0 ) = ( _I |` U. U. R ) )
53	4, 52	sylan 458	. . . 4 |- ( ( U. U. R e. _V /\ ph ) -> ( R ^ r 0 ) = ( _I |` U. U. R ) )
54	3, 53	sylan 458	. . 3 |- ( ( U. R e. _V /\ ph ) -> ( R ^ r 0 ) = ( _I |` U. U. R ) )
55	2, 54	sylan 458	. 2 |- ( ( R e. _V /\ ph ) -> ( R ^ r 0 ) = ( _I |` U. U. R ) )
56	1, 55	mpancom 651	1 |- ( ph -> ( R ^ r 0 ) = ( _I |` U. U. R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   _Vcvv 2920   U.cuni 3979   e. cmpt 4230   _I cid 4457   |` cres 4843   o. ccom 4845   Rel wrel 4846   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   e. cmpt2 6046   0cc0 8950   NN0cn0 10181   seq cseq 11282   ^ rcrelexp 25084

This theorem is referenced by:  relexp1  25088  relexpsucl  25089  relexpcnv  25090  relexpdm  25092  relexprn  25093  relexpadd  25095  relexpindlem  25096  rtrclreclem.refl  25101  rtrclreclem.min  25104

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-seq 11283  df-relexp 25085