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Mathbox for Drahflow |
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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > relexp0 | Unicode version |
Description: A relation composed zero times is the (restricted) identity. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) |
Ref | Expression |
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relexp0.1 |
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relexp0.2 |
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relexp0 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | relexp0.2 |
. 2
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2 | uniexg 4669 |
. . 3
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3 | uniexg 4669 |
. . . 4
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4 | resiexg 5151 |
. . . . 5
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5 | eqidd 2409 |
. . . . . . 7
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6 | simpl 444 |
. . . . . . . . 9
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7 | 6 | adantl 453 |
. . . . . . . 8
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8 | simprr 734 |
. . . . . . . . . . 11
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9 | 0z 10253 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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10 | eqidd 2409 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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11 | eqidd 2409 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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12 | c0ex 9045 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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13 | 12 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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14 | simpll 731 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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15 | 10, 11, 13, 14 | fvmptd 5773 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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16 | 9, 15 | seq1i 11296 |
. . . . . . . . . . . . 13
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17 | 16 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
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18 | eqeq1 2414 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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19 | 18 | anbi2d 685 |
. . . . . . . . . . . . 13
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20 | 19 | anbi2d 685 |
. . . . . . . . . . . 12
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21 | fveq2 5691 |
. . . . . . . . . . . . 13
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22 | 21 | eqeq1d 2416 |
. . . . . . . . . . . 12
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23 | 17, 20, 22 | 3imtr4d 260 |
. . . . . . . . . . 11
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24 | 8, 23 | mpcom 34 |
. . . . . . . . . 10
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25 | 24 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
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26 | eqeq1 2414 |
. . . . . . . . . . 11
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27 | 26 | anbi1d 686 |
. . . . . . . . . 10
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28 | 27 | anbi2d 685 |
. . . . . . . . 9
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29 | eqidd 2409 |
. . . . . . . . . . . 12
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30 | eqidd 2409 |
. . . . . . . . . . . . 13
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31 | coeq2 4994 |
. . . . . . . . . . . . 13
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32 | 30, 30, 31 | mpt2eq123dv 6099 |
. . . . . . . . . . . 12
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33 | unieq 3988 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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34 | 33 | unieqd 3990 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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35 | 34 | reseq2d 5109 |
. . . . . . . . . . . . 13
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36 | 35 | mpteq2dv 4260 |
. . . . . . . . . . . 12
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37 | 29, 32, 36 | seqeq123d 11291 |
. . . . . . . . . . 11
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38 | 37 | fveq1d 5693 |
. . . . . . . . . 10
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39 | 38 | eqeq1d 2416 |
. . . . . . . . 9
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40 | 25, 28, 39 | 3imtr4d 260 |
. . . . . . . 8
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41 | 7, 40 | mpcom 34 |
. . . . . . 7
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42 | 1 | adantl 453 |
. . . . . . 7
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43 | 0nn0 10196 |
. . . . . . . 8
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44 | 43 | a1i 11 |
. . . . . . 7
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45 | simpl 444 |
. . . . . . 7
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46 | 5, 41, 42, 44, 45 | ovmpt2d 6164 |
. . . . . 6
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47 | df-relexp 25085 |
. . . . . . 7
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48 | oveq 6050 |
. . . . . . . . 9
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49 | 48 | eqeq1d 2416 |
. . . . . . . 8
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50 | 49 | imbi2d 308 |
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51 | 47, 50 | ax-mp 8 |
. . . . . 6
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52 | 46, 51 | mpbir 201 |
. . . . 5
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53 | 4, 52 | sylan 458 |
. . . 4
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54 | 3, 53 | sylan 458 |
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55 | 2, 54 | sylan 458 |
. 2
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56 | 1, 55 | mpancom 651 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem is referenced by: relexp1 25088 relexpsucl 25089 relexpcnv 25090 relexpdm 25092 relexprn 25093 relexpadd 25095 relexpindlem 25096 rtrclreclem.refl 25101 rtrclreclem.min 25104 |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-3 7 ax-mp 8 ax-gen 1552 ax-5 1563 ax-17 1623 ax-9 1662 ax-8 1683 ax-13 1723 ax-14 1725 ax-6 1740 ax-7 1745 ax-11 1757 ax-12 1946 ax-ext 2389 ax-sep 4294 ax-nul 4302 ax-pow 4341 ax-pr 4367 ax-un 4664 ax-cnex 9006 ax-resscn 9007 ax-1cn 9008 ax-icn 9009 ax-addcl 9010 ax-addrcl 9011 ax-mulcl 9012 ax-mulrcl 9013 ax-mulcom 9014 ax-addass 9015 ax-mulass 9016 ax-distr 9017 ax-i2m1 9018 ax-1ne0 9019 ax-1rid 9020 ax-rnegex 9021 ax-rrecex 9022 ax-cnre 9023 ax-pre-lttri 9024 ax-pre-lttrn 9025 ax-pre-ltadd 9026 ax-pre-mulgt0 9027 |
This theorem depends on definitions: df-bi 178 df-or 360 df-an 361 df-3or 937 df-3an 938 df-tru 1325 df-ex 1548 df-nf 1551 df-sb 1656 df-eu 2262 df-mo 2263 df-clab 2395 df-cleq 2401 df-clel 2404 df-nfc 2533 df-ne 2573 df-nel 2574 df-ral 2675 df-rex 2676 df-reu 2677 df-rab 2679 df-v 2922 df-sbc 3126 df-csb 3216 df-dif 3287 df-un 3289 df-in 3291 df-ss 3298 df-pss 3300 df-nul 3593 df-if 3704 df-pw 3765 df-sn 3784 df-pr 3785 df-tp 3786 df-op 3787 df-uni 3980 df-iun 4059 df-br 4177 df-opab 4231 df-mpt 4232 df-tr 4267 df-eprel 4458 df-id 4462 df-po 4467 df-so 4468 df-fr 4505 df-we 4507 df-ord 4548 df-on 4549 df-lim 4550 df-suc 4551 df-om 4809 df-xp 4847 df-rel 4848 df-cnv 4849 df-co 4850 df-dm 4851 df-rn 4852 df-res 4853 df-ima 4854 df-iota 5381 df-fun 5419 df-fn 5420 df-f 5421 df-f1 5422 df-fo 5423 df-f1o 5424 df-fv 5425 df-ov 6047 df-oprab 6048 df-mpt2 6049 df-2nd 6313 df-riota 6512 df-recs 6596 df-rdg 6631 df-er 6868 df-en 7073 df-dom 7074 df-sdom 7075 df-pnf 9082 df-mnf 9083 df-xr 9084 df-ltxr 9085 df-le 9086 df-sub 9253 df-neg 9254 df-nn 9961 df-n0 10182 df-z 10243 df-uz 10449 df-seq 11283 df-relexp 25085 |
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