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Theorem relexp0 24025
Description: A relation composed zero times is the (restricted) identity. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
relexp0.1  |-  ( ph  ->  Rel  R )
relexp0.2  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
relexp0  |-  ( ph  ->  ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )

Proof of Theorem relexp0
Dummy variables  r  n  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relexp0.2 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
2 uniexg 4517 . . 3  |-  ( R  e.  _V  ->  U. R  e.  _V )
3 uniexg 4517 . . . 4  |-  ( U. R  e.  _V  ->  U.
U. R  e.  _V )
4 resiexg 4997 . . . . 5  |-  ( U. U. R  e.  _V  ->  (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V )
5 eqidd 2284 . . . . . . 7  |-  ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  ->  (
r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) )  =  ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) )
6 simpl 443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( r  =  R  /\  n  =  0 )  ->  r  =  R )
76adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  /\  (
r  =  R  /\  n  =  0 ) )  ->  r  =  R )
8 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  /\  ( R  =  R  /\  n  =  0 ) )  ->  n  = 
0 )
9 0z 10035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  ZZ
10 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  /\  ( R  =  R  /\  0  =  0 ) )  ->  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) )
11 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\  ph )  /\  ( R  =  R  /\  0  =  0 ) )  /\  z  =  0 )  ->  (  _I  |`  U. U. R )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
12 c0ex 8832 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  _V
1312a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  /\  ( R  =  R  /\  0  =  0 ) )  ->  0  e.  _V )
14 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  /\  ( R  =  R  /\  0  =  0 ) )  ->  (  _I  |` 
U. U. R )  e. 
_V )
1510, 11, 13, 14fvmptd 5606 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  /\  ( R  =  R  /\  0  =  0 ) )  ->  ( (
z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) `  0
)  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
169, 15seq1i 11060 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  /\  ( R  =  R  /\  0  =  0 ) )  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
1716a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  0  ->  (
( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\  ph )  /\  ( R  =  R  /\  0  =  0 ) )  -> 
(  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) ` 
0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) ) )
18 eqeq1 2289 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  0  ->  (
n  =  0  <->  0  =  0 ) )
1918anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  0  ->  (
( R  =  R  /\  n  =  0 )  <->  ( R  =  R  /\  0  =  0 ) ) )
2019anbi2d 684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  0  ->  (
( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\  ph )  /\  ( R  =  R  /\  n  =  0 ) )  <->  ( (
(  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  /\  ( R  =  R  /\  0  =  0 ) ) ) )
21 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  0  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 n )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) ` 
0 ) )
2221eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  0  ->  (
(  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  n )  =  (  _I  |`  U. U. R
)  <->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R ) ) )
2317, 20, 223imtr4d 259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  0  ->  (
( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\  ph )  /\  ( R  =  R  /\  n  =  0 ) )  -> 
(  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  n )  =  (  _I  |`  U. U. R
) ) )
248, 23mpcom 32 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  /\  ( R  =  R  /\  n  =  0 ) )  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 n )  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
2524a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\  ph )  /\  ( R  =  R  /\  n  =  0 ) )  -> 
(  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  n )  =  (  _I  |`  U. U. R
) ) )
26 eqeq1 2289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  (
r  =  R  <->  R  =  R ) )
2726anbi1d 685 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  (
( r  =  R  /\  n  =  0 )  <->  ( R  =  R  /\  n  =  0 ) ) )
2827anbi2d 684 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\  ph )  /\  ( r  =  R  /\  n  =  0 ) )  <->  ( (
(  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  /\  ( R  =  R  /\  n  =  0 ) ) ) )
29 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  0  =  0 )
30 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  R  ->  _V  =  _V )
31 coeq2 4842 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  R  ->  (
x  o.  r )  =  ( x  o.  R ) )
3230, 30, 31mpt2eq123dv 5910 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  (
x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) )  =  ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) )
33 unieq 3836 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  R  ->  U. r  =  U. R )
3433unieqd 3838 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  R  ->  U. U. r  =  U. U. R
)
3534reseq2d 4955 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  R  ->  (  _I  |`  U. U. r
)  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
3635mpteq2dv 4107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  (
z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r
) )  =  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) )
3729, 32, 36seqeq123d 11055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) )  =  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) )
3837fveq1d 5527 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  n ) )
3938eqeq1d 2291 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (
(  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r
) ) ) `  n )  =  (  _I  |`  U. U. R
)  <->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 n )  =  (  _I  |`  U. U. R ) ) )
4025, 28, 393imtr4d 259 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\  ph )  /\  ( r  =  R  /\  n  =  0 ) )  -> 
(  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r
) ) ) `  n )  =  (  _I  |`  U. U. R
) ) )
417, 40mpcom 32 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  /\  (
r  =  R  /\  n  =  0 ) )  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n )  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
421adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  ->  R  e.  _V )
43 0nn0 9980 . . . . . . . 8  |-  0  e.  NN0
4443a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  ->  0  e.  NN0 )
45 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  ->  (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V )
465, 41, 42, 44, 45ovmpt2d 5975 . . . . . 6  |-  ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  ->  ( R ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
47 df-relexp 24024 . . . . . . 7  |-  ^ r  =  ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) )
48 oveq 5864 . . . . . . . . 9  |-  ( ^
r  =  ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) )  ->  ( R ^
r 0 )  =  ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) 0 ) )
4948eqeq1d 2291 . . . . . . . 8  |-  ( ^
r  =  ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) )  ->  ( ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  <->  ( R
( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `  n
) ) 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R ) ) )
5049imbi2d 307 . . . . . . 7  |-  ( ^
r  =  ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) )  ->  ( ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R ) )  <->  ( (
(  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  ->  ( R ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) )
5147, 50ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R ) )  <->  ( (
(  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  ->  ( R ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) ) )
5246, 51mpbir 200 . . . . 5  |-  ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
534, 52sylan 457 . . . 4  |-  ( ( U. U. R  e. 
_V  /\  ph )  -> 
( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
543, 53sylan 457 . . 3  |-  ( ( U. R  e.  _V  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
552, 54sylan 457 . 2  |-  ( ( R  e.  _V  /\  ph )  ->  ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
561, 55mpancom 650 1  |-  ( ph  ->  ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   U.cuni 3827    e. cmpt 4077    _I cid 4304    |` cres 4691    o. ccom 4693   Rel wrel 4694   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   0cc0 8737   NN0cn0 9965    seq cseq 11046   ^ rcrelexp 24023
This theorem is referenced by:  relexp1  24027  relexpsucl  24028  relexpcnv  24029  relexpdm  24032  relexprn  24033  relexpadd  24035  relexpindlem  24036  rtrclreclem.refl  24041  rtrclreclem.min  24044
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-seq 11047  df-relexp 24024
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