Theorem relexp0 25134

Description: A relation composed zero times is the (restricted) identity. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
relexp0.1	|- ( ph -> Rel R )
relexp0.2	|- ( ph -> R e. _V )

Assertion

Ref	Expression
relexp0	|- ( ph -> ( R ^ r 0 ) = ( _I |` U. U. R ) )

Proof of Theorem relexp0

Dummy variables r n x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relexp0.2	. 2 |- ( ph -> R e. _V )
2		uniexg 4709	. . 3 |- ( R e. _V -> U. R e. _V )
3		uniexg 4709	. . . 4 |- ( U. R e. _V -> U. U. R e. _V )
4		resiexg 5191	. . . . 5 |- ( U. U. R e. _V -> ( _I |` U. U. R ) e. _V )
5		eqidd 2439	. . . . . . 7 |- ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) -> ( r e. _V , n e. NN0 |-> ( seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. r ) ) ) ` n ) ) = ( r e. _V , n e. NN0 |-> ( seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. r ) ) ) ` n ) ) )
6		simpl 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( r = R /\ n = 0 ) -> r = R )
7	6	adantl 454	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) /\ ( r = R /\ n = 0 ) ) -> r = R )
8		simprr 735	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) /\ ( R = R /\ n = 0 ) ) -> n = 0 )
9		0z 10298	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. ZZ
10		eqidd 2439	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) /\ ( R = R /\ 0 = 0 ) ) -> ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. R ) ) = ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. R ) ) )
11		eqidd 2439	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) /\ ( R = R /\ 0 = 0 ) ) /\ z = 0 ) -> ( _I |` U. U. R ) = ( _I |` U. U. R ) )
12		c0ex 9090	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. _V
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) /\ ( R = R /\ 0 = 0 ) ) -> 0 e. _V )
14		simpll 732	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) /\ ( R = R /\ 0 = 0 ) ) -> ( _I |` U. U. R ) e. _V )
15	10, 11, 13, 14	fvmptd 5813	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) /\ ( R = R /\ 0 = 0 ) ) -> ( ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. R ) ) ` 0 ) = ( _I |` U. U. R ) )
16	9, 15	seq1i 11342	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) /\ ( R = R /\ 0 = 0 ) ) -> ( seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. R ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. R ) ) ) ` 0 ) = ( _I |` U. U. R ) )
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 0 -> ( ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) /\ ( R = R /\ 0 = 0 ) ) -> ( seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. R ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. R ) ) ) ` 0 ) = ( _I |` U. U. R ) ) )
18		eqeq1 2444	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = 0 -> ( n = 0 <-> 0 = 0 ) )
19	18	anbi2d 686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 0 -> ( ( R = R /\ n = 0 ) <-> ( R = R /\ 0 = 0 ) ) )
20	19	anbi2d 686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 0 -> ( ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) /\ ( R = R /\ n = 0 ) ) <-> ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) /\ ( R = R /\ 0 = 0 ) ) ) )
21		fveq2 5731	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 0 -> ( seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. R ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. R ) ) ) ` n ) = ( seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. R ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. R ) ) ) ` 0 ) )
22	21	eqeq1d 2446	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 0 -> ( ( seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. R ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. R ) ) ) ` n ) = ( _I |` U. U. R ) <-> ( seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. R ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. R ) ) ) ` 0 ) = ( _I |` U. U. R ) ) )
23	17, 20, 22	3imtr4d 261	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = 0 -> ( ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) /\ ( R = R /\ n = 0 ) ) -> ( seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. R ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. R ) ) ) ` n ) = ( _I |` U. U. R ) ) )
24	8, 23	mpcom 35	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) /\ ( R = R /\ n = 0 ) ) -> ( seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. R ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. R ) ) ) ` n ) = ( _I |` U. U. R ) )
25	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) /\ ( R = R /\ n = 0 ) ) -> ( seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. R ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. R ) ) ) ` n ) = ( _I |` U. U. R ) ) )
26		eqeq1 2444	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = R -> ( r = R <-> R = R ) )
27	26	anbi1d 687	. . . . . . . . . 10 |- ( r = R -> ( ( r = R /\ n = 0 ) <-> ( R = R /\ n = 0 ) ) )
28	27	anbi2d 686	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) /\ ( r = R /\ n = 0 ) ) <-> ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) /\ ( R = R /\ n = 0 ) ) ) )
29		eqidd 2439	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = R -> 0 = 0 )
30		eqidd 2439	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = R -> _V = _V )
31		coeq2 5034	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = R -> ( x o. r ) = ( x o. R ) )
32	30, 30, 31	mpt2eq123dv 6139	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = R -> ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) = ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. R ) ) )
33		unieq 4026	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( r = R -> U. r = U. R )
34	33	unieqd 4028	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( r = R -> U. U. r = U. U. R )
35	34	reseq2d 5149	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = R -> ( _I |` U. U. r ) = ( _I |` U. U. R ) )
36	35	mpteq2dv 4299	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = R -> ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. r ) ) = ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. R ) ) )
37	29, 32, 36	seqeq123d 11337	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = R -> seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. r ) ) ) = seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. R ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. R ) ) ) )
38	37	fveq1d 5733	. . . . . . . . . 10 |- ( r = R -> ( seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. r ) ) ) ` n ) = ( seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. R ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. R ) ) ) ` n ) )
39	38	eqeq1d 2446	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( ( seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. r ) ) ) ` n ) = ( _I |` U. U. R ) <-> ( seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. R ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. R ) ) ) ` n ) = ( _I |` U. U. R ) ) )
40	25, 28, 39	3imtr4d 261	. . . . . . . 8 |- ( r = R -> ( ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) /\ ( r = R /\ n = 0 ) ) -> ( seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. r ) ) ) ` n ) = ( _I |` U. U. R ) ) )
41	7, 40	mpcom 35	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) /\ ( r = R /\ n = 0 ) ) -> ( seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. r ) ) ) ` n ) = ( _I |` U. U. R ) )
42	1	adantl 454	. . . . . . 7 |- ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) -> R e. _V )
43		0nn0 10241	. . . . . . . 8 |- 0 e. NN0
44	43	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) -> 0 e. NN0 )
45		simpl 445	. . . . . . 7 |- ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) -> ( _I |` U. U. R ) e. _V )
46	5, 41, 42, 44, 45	ovmpt2d 6204	. . . . . 6 |- ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) -> ( R ( r e. _V , n e. NN0 |-> ( seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. r ) ) ) ` n ) ) 0 ) = ( _I |` U. U. R ) )
47		df-relexp 25133	. . . . . . 7 |- ^ r = ( r e. _V , n e. NN0 |-> ( seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. r ) ) ) ` n ) )
48		oveq 6090	. . . . . . . . 9 |- ( ^ r = ( r e. _V , n e. NN0 |-> ( seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. r ) ) ) ` n ) ) -> ( R ^ r 0 ) = ( R ( r e. _V , n e. NN0 |-> ( seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. r ) ) ) ` n ) ) 0 ) )
49	48	eqeq1d 2446	. . . . . . . 8 |- ( ^ r = ( r e. _V , n e. NN0 |-> ( seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. r ) ) ) ` n ) ) -> ( ( R ^ r 0 ) = ( _I |` U. U. R ) <-> ( R ( r e. _V , n e. NN0 |-> ( seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. r ) ) ) ` n ) ) 0 ) = ( _I |` U. U. R ) ) )
50	49	imbi2d 309	. . . . . . 7 |- ( ^ r = ( r e. _V , n e. NN0 |-> ( seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. r ) ) ) ` n ) ) -> ( ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) -> ( R ^ r 0 ) = ( _I |` U. U. R ) ) <-> ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) -> ( R ( r e. _V , n e. NN0 |-> ( seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. r ) ) ) ` n ) ) 0 ) = ( _I |` U. U. R ) ) ) )
51	47, 50	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) -> ( R ^ r 0 ) = ( _I |` U. U. R ) ) <-> ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) -> ( R ( r e. _V , n e. NN0 |-> ( seq 0 ( ( x e. _V , y e. _V |-> ( x o. r ) ) , ( z e. _V |-> ( _I |` U. U. r ) ) ) ` n ) ) 0 ) = ( _I |` U. U. R ) ) )
52	46, 51	mpbir 202	. . . . 5 |- ( ( ( _I |` U. U. R ) e. _V /\ ph ) -> ( R ^ r 0 ) = ( _I |` U. U. R ) )
53	4, 52	sylan 459	. . . 4 |- ( ( U. U. R e. _V /\ ph ) -> ( R ^ r 0 ) = ( _I |` U. U. R ) )
54	3, 53	sylan 459	. . 3 |- ( ( U. R e. _V /\ ph ) -> ( R ^ r 0 ) = ( _I |` U. U. R ) )
55	2, 54	sylan 459	. 2 |- ( ( R e. _V /\ ph ) -> ( R ^ r 0 ) = ( _I |` U. U. R ) )
56	1, 55	mpancom 652	1 |- ( ph -> ( R ^ r 0 ) = ( _I |` U. U. R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 178   /\ wa 360   = wceq 1653   e. wcel 1726   _Vcvv 2958   U.cuni 4017   e. cmpt 4269   _I cid 4496   |` cres 4883   o. ccom 4885   Rel wrel 4886   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   e. cmpt2 6086   0cc0 8995   NN0cn0 10226   seq cseq 11328   ^ rcrelexp 25132

This theorem is referenced by:  relexp1  25136  relexpsucl  25137  relexpcnv  25138  relexpdm  25140  relexprn  25141  relexpadd  25143  relexpindlem  25144  rtrclreclem.refl  25149  rtrclreclem.min  25152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-seq 11329  df-relexp 25133