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Theorem relexpadd 24035
Description: Relation composition becomes addition under exponentiation. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
relexpadd.1  |-  ( ph  ->  Rel  R )
relexpadd.2  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
relexpadd  |-  ( ph  ->  ( ( N  e. 
NN0  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r M ) )  =  ( R ^
r ( N  +  M ) ) ) )

Proof of Theorem relexpadd
Dummy variables  i  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 732 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\ 
ph ) )  ->  M  e.  NN0 )
2 eleq1 2343 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  0  ->  (
i  e.  NN0  <->  0  e.  NN0 ) )
32anbi1d 685 . . . . . . 7  |-  ( i  =  0  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( 0  e.  NN0  /\  ph )
) )
43anbi2d 684 . . . . . 6  |-  ( i  =  0  ->  (
( N  e.  NN0  /\  ( i  e.  NN0  /\ 
ph ) )  <->  ( N  e.  NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\  ph )
) ) )
5 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  0  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r 0 ) )
65coeq2d 4846 . . . . . . 7  |-  ( i  =  0  ->  (
( R ^ r N )  o.  ( R ^ r i ) )  =  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^ r 0 ) ) )
7 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  0  ->  ( N  +  i )  =  ( N  + 
0 ) )
87oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( i  =  0  ->  ( R ^ r ( N  +  i ) )  =  ( R ^
r ( N  + 
0 ) ) )
96, 8eqeq12d 2297 . . . . . 6  |-  ( i  =  0  ->  (
( ( R ^
r N )  o.  ( R ^ r i ) )  =  ( R ^ r ( N  +  i ) )  <->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r 0 ) )  =  ( R ^
r ( N  + 
0 ) ) ) )
104, 9imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( i  =  0  ->  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( i  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r i ) )  =  ( R ^
r ( N  +  i ) ) )  <-> 
( ( N  e. 
NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r 0 ) )  =  ( R ^
r ( N  + 
0 ) ) ) ) )
11 eleq1 2343 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  m  ->  (
i  e.  NN0  <->  m  e.  NN0 ) )
1211anbi1d 685 . . . . . . 7  |-  ( i  =  m  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( m  e.  NN0  /\  ph )
) )
1312anbi2d 684 . . . . . 6  |-  ( i  =  m  ->  (
( N  e.  NN0  /\  ( i  e.  NN0  /\ 
ph ) )  <->  ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
) ) )
14 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  m  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r m ) )
1514coeq2d 4846 . . . . . . 7  |-  ( i  =  m  ->  (
( R ^ r N )  o.  ( R ^ r i ) )  =  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^ r m ) ) )
16 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  m  ->  ( N  +  i )  =  ( N  +  m ) )
1716oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( i  =  m  ->  ( R ^ r ( N  +  i ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )
1815, 17eqeq12d 2297 . . . . . 6  |-  ( i  =  m  ->  (
( ( R ^
r N )  o.  ( R ^ r i ) )  =  ( R ^ r ( N  +  i ) )  <->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) ) )
1913, 18imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( i  =  m  ->  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( i  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r i ) )  =  ( R ^
r ( N  +  i ) ) )  <-> 
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) ) ) )
20 eleq1 2343 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
i  e.  NN0  <->  ( m  +  1 )  e. 
NN0 ) )
2120anbi1d 685 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( (
m  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )
) )
2221anbi2d 684 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( N  e.  NN0  /\  ( i  e.  NN0  /\ 
ph ) )  <->  ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )
) ) )
23 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r ( m  + 
1 ) ) )
2423coeq2d 4846 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( R ^ r N )  o.  ( R ^ r i ) )  =  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^ r ( m  +  1 ) ) ) )
25 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  ( N  +  i )  =  ( N  +  ( m  +  1
) ) )
2625oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  ( R ^ r ( N  +  i ) )  =  ( R ^
r ( N  +  ( m  +  1
) ) ) )
2724, 26eqeq12d 2297 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( R ^
r N )  o.  ( R ^ r i ) )  =  ( R ^ r ( N  +  i ) )  <->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r ( m  + 
1 ) ) )  =  ( R ^
r ( N  +  ( m  +  1
) ) ) ) )
2822, 27imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( i  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r i ) )  =  ( R ^
r ( N  +  i ) ) )  <-> 
( ( N  e. 
NN0  /\  ( (
m  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r ( m  + 
1 ) ) )  =  ( R ^
r ( N  +  ( m  +  1
) ) ) ) ) )
29 eleq1 2343 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  M  ->  (
i  e.  NN0  <->  M  e.  NN0 ) )
3029anbi1d 685 . . . . . . 7  |-  ( i  =  M  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( M  e.  NN0  /\  ph )
) )
3130anbi2d 684 . . . . . 6  |-  ( i  =  M  ->  (
( N  e.  NN0  /\  ( i  e.  NN0  /\ 
ph ) )  <->  ( N  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  ph )
) ) )
32 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  M  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r M ) )
3332coeq2d 4846 . . . . . . 7  |-  ( i  =  M  ->  (
( R ^ r N )  o.  ( R ^ r i ) )  =  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^ r M ) ) )
34 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  M  ->  ( N  +  i )  =  ( N  +  M ) )
3534oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( i  =  M  ->  ( R ^ r ( N  +  i ) )  =  ( R ^
r ( N  +  M ) ) )
3633, 35eqeq12d 2297 . . . . . 6  |-  ( i  =  M  ->  (
( ( R ^
r N )  o.  ( R ^ r i ) )  =  ( R ^ r ( N  +  i ) )  <->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r M ) )  =  ( R ^
r ( N  +  M ) ) ) )
3731, 36imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( i  =  M  ->  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( i  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r i ) )  =  ( R ^
r ( N  +  i ) ) )  <-> 
( ( N  e. 
NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r M ) )  =  ( R ^
r ( N  +  M ) ) ) ) )
38 nn0cn 9975 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
3938adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\ 
ph ) )  ->  N  e.  CC )
40 addid1 8992 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  +  0 )  =  N )
4140adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\ 
ph ) ) )  ->  ( N  + 
0 )  =  N )
42 simprrr 741 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\ 
ph ) ) )  ->  ph )
43 relexpadd.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Rel  R )
44 relexpadd.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
4543, 44relexp0 24025 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
4642, 45syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\ 
ph ) ) )  ->  ( R ^
r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
47 coeq2 4842 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r 0 ) )  =  ( ( R ^ r N )  o.  (  _I  |`  U. U. R ) ) )
48 coires1 5190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R ^ r N )  o.  (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( ( R ^ r N )  |`  U. U. R
)
49 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\ 
ph ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
5043, 44relexpdm 24032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  dom  ( R ^
r N )  C_  U.
U. R ) )
5142, 49, 50sylc 56 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\ 
ph ) ) )  ->  dom  ( R ^ r N ) 
C_  U. U. R )
5242adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( dom  ( R ^
r N )  C_  U.
U. R  /\  ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  (
0  e.  NN0  /\  ph ) ) ) )  ->  ph )
53 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( dom  ( R ^
r N )  C_  U.
U. R  /\  ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  (
0  e.  NN0  /\  ph ) ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
5443, 44relexprel 24031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  Rel  ( R ^
r N ) ) )
5552, 53, 54sylc 56 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( dom  ( R ^
r N )  C_  U.
U. R  /\  ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  (
0  e.  NN0  /\  ph ) ) ) )  ->  Rel  ( R ^ r N ) )
56 relssres 4992 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Rel  ( R ^
r N )  /\  dom  ( R ^ r N )  C_  U. U. R )  ->  (
( R ^ r N )  |`  U. U. R )  =  ( R ^ r N ) )
5756adantrr 697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Rel  ( R ^
r N )  /\  ( dom  ( R ^
r N )  C_  U.
U. R  /\  ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  (
0  e.  NN0  /\  ph ) ) ) ) )  ->  ( ( R ^ r N )  |`  U. U. R )  =  ( R ^
r N ) )
5855, 57mpancom 650 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( dom  ( R ^
r N )  C_  U.
U. R  /\  ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  (
0  e.  NN0  /\  ph ) ) ) )  ->  ( ( R ^ r N )  |`  U. U. R )  =  ( R ^
r N ) )
5951, 58mpancom 650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\ 
ph ) ) )  ->  ( ( R ^ r N )  |`  U. U. R )  =  ( R ^
r N ) )
6048, 59syl5eq 2327 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\ 
ph ) ) )  ->  ( ( R ^ r N )  o.  (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( R ^ r N ) )
6147, 60sylan9eq 2335 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
)  /\  ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  (
0  e.  NN0  /\  ph ) ) ) )  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r 0 ) )  =  ( R ^
r N ) )
6246, 61mpancom 650 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\ 
ph ) ) )  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r 0 ) )  =  ( R ^
r N ) )
63 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  +  0 )  =  N  ->  ( R ^ r ( N  +  0 ) )  =  ( R ^
r N ) )
6463eqeq2d 2294 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  +  0 )  =  N  ->  (
( ( R ^
r N )  o.  ( R ^ r 0 ) )  =  ( R ^ r ( N  +  0 ) )  <->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r 0 ) )  =  ( R ^
r N ) ) )
6562, 64syl5ibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( N  +  0 )  =  N  ->  (
( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\ 
ph ) ) )  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r 0 ) )  =  ( R ^
r ( N  + 
0 ) ) ) )
6641, 65mpcom 32 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\ 
ph ) ) )  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r 0 ) )  =  ( R ^
r ( N  + 
0 ) ) )
6739, 66mpancom 650 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\ 
ph ) )  -> 
( ( R ^
r N )  o.  ( R ^ r 0 ) )  =  ( R ^ r ( N  +  0 ) ) )
68 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ph )
69 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\ 
ph ) )  -> 
( ( R ^
r N )  o.  ( R ^ r m ) )  =  ( R ^ r ( N  +  m
) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
7069adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
7143, 44relexpsucr 24026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN0  ->  ( R ^ r ( m  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r m )  o.  R
) ) )
7268, 70, 71sylc 56 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ( R ^
r ( m  + 
1 ) )  =  ( ( R ^
r m )  o.  R ) )
73 coeq2 4842 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R ^ r ( m  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r m )  o.  R )  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r ( m  + 
1 ) ) )  =  ( ( R ^ r N )  o.  ( ( R ^ r m )  o.  R ) ) )
7438adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  N  e.  CC )
7570nn0cnd 10020 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  m  e.  CC )
76 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  CC
7776a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  1  e.  CC )
7874, 75, 77addassd 8857 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ( ( N  +  m )  +  1 )  =  ( N  +  ( m  +  1 ) ) )
7978eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ( N  +  ( m  +  1
) )  =  ( ( N  +  m
)  +  1 ) )
80 nn0addcl 9999 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( N  +  m
)  e.  NN0 )
8169, 80sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ( N  +  m )  e.  NN0 )
82 coass 5191 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^ r m ) )  o.  R )  =  ( ( R ^ r N )  o.  ( ( R ^ r m )  o.  R ) )
83 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  +  m
)  e.  NN0  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
8470adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  +  m
)  e.  NN0  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
8568adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  +  m
)  e.  NN0  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  ph )
8683, 84, 85jca32 521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  +  m
)  e.  NN0  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
) )
87 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\ 
ph ) )  -> 
( ( R ^
r N )  o.  ( R ^ r m ) )  =  ( R ^ r ( N  +  m
) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  (
m  e.  NN0  /\  ph ) )  ->  (
( R ^ r N )  o.  ( R ^ r m ) )  =  ( R ^ r ( N  +  m ) ) ) )
8887adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  (
m  e.  NN0  /\  ph ) )  ->  (
( R ^ r N )  o.  ( R ^ r m ) )  =  ( R ^ r ( N  +  m ) ) ) )
8988adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  +  m
)  e.  NN0  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  (
m  e.  NN0  /\  ph ) )  ->  (
( R ^ r N )  o.  ( R ^ r m ) )  =  ( R ^ r ( N  +  m ) ) ) )
9086, 89mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  +  m
)  e.  NN0  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )
9190coeq1d 4845 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  +  m
)  e.  NN0  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  ( (
( R ^ r N )  o.  ( R ^ r m ) )  o.  R )  =  ( ( R ^ r ( N  +  m ) )  o.  R ) )
9282, 91syl5eqr 2329 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  +  m
)  e.  NN0  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( ( R ^ r m )  o.  R ) )  =  ( ( R ^ r ( N  +  m ) )  o.  R ) )
93 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  +  m
)  e.  NN0  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  ( N  +  m )  e.  NN0 )
9443, 44relexpsucr 24026 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  m )  e.  NN0  ->  ( R ^ r ( ( N  +  m )  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r ( N  +  m
) )  o.  R
) ) )
9585, 93, 94sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  +  m
)  e.  NN0  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  ( R ^ r ( ( N  +  m )  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r ( N  +  m ) )  o.  R ) )
9692, 95eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  +  m
)  e.  NN0  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( ( R ^ r m )  o.  R ) )  =  ( R ^
r ( ( N  +  m )  +  1 ) ) )
9781, 96mpancom 650 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( ( R ^ r m )  o.  R ) )  =  ( R ^
r ( ( N  +  m )  +  1 ) ) )
98 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  +  ( m  +  1 ) )  =  ( ( N  +  m )  +  1 )  ->  ( R ^ r ( N  +  ( m  + 
1 ) ) )  =  ( R ^
r ( ( N  +  m )  +  1 ) ) )
9998eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  +  ( m  +  1 ) )  =  ( ( N  +  m )  +  1 )  ->  (
( ( R ^
r N )  o.  ( ( R ^
r m )  o.  R ) )  =  ( R ^ r ( N  +  ( m  +  1 ) ) )  <->  ( ( R ^ r N )  o.  ( ( R ^ r m )  o.  R ) )  =  ( R ^
r ( ( N  +  m )  +  1 ) ) ) )
10097, 99syl5ibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  +  ( m  +  1 ) )  =  ( ( N  +  m )  +  1 )  ->  (
( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( ( R ^ r m )  o.  R ) )  =  ( R ^
r ( N  +  ( m  +  1
) ) ) ) )
10179, 100mpcom 32 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( ( R ^ r m )  o.  R ) )  =  ( R ^
r ( N  +  ( m  +  1
) ) ) )
10273, 101sylan9eq 2335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R ^ r ( m  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r m )  o.  R
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\ 
ph ) )  -> 
( ( R ^
r N )  o.  ( R ^ r m ) )  =  ( R ^ r ( N  +  m
) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  -> 
( ( R ^
r N )  o.  ( R ^ r ( m  +  1 ) ) )  =  ( R ^ r ( N  +  ( m  +  1 ) ) ) )
10372, 102mpancom 650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r ( m  + 
1 ) ) )  =  ( R ^
r ( N  +  ( m  +  1
) ) ) )
104103expcom 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\ 
ph ) )  -> 
( ( R ^
r N )  o.  ( R ^ r m ) )  =  ( R ^ r ( N  +  m
) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r ( m  + 
1 ) ) )  =  ( R ^
r ( N  +  ( m  +  1
) ) ) ) )
105104anassrs 629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\ 
ph )  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) )  ->  ( N  e.  NN0  ->  (
( R ^ r N )  o.  ( R ^ r ( m  +  1 ) ) )  =  ( R ^ r ( N  +  ( m  + 
1 ) ) ) ) )
106105impcom 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( ( m  +  1 )  e. 
NN0  /\  ph )  /\  ( ( ( N  e.  NN0  /\  (
m  e.  NN0  /\  ph ) )  ->  (
( R ^ r N )  o.  ( R ^ r m ) )  =  ( R ^ r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e. 
NN0 ) ) )  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r ( m  + 
1 ) ) )  =  ( R ^
r ( N  +  ( m  +  1
) ) ) )
107106anassrs 629 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\ 
ph ) )  /\  ( ( ( N  e.  NN0  /\  (
m  e.  NN0  /\  ph ) )  ->  (
( R ^ r N )  o.  ( R ^ r m ) )  =  ( R ^ r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e. 
NN0 ) )  -> 
( ( R ^
r N )  o.  ( R ^ r ( m  +  1 ) ) )  =  ( R ^ r ( N  +  ( m  +  1 ) ) ) )
108107expcom 424 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  (
( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ph ) )  ->  (
( R ^ r N )  o.  ( R ^ r ( m  +  1 ) ) )  =  ( R ^ r ( N  +  ( m  + 
1 ) ) ) ) )
109108expcom 424 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\ 
ph ) )  -> 
( ( R ^
r N )  o.  ( R ^ r m ) )  =  ( R ^ r ( N  +  m
) ) )  -> 
( ( N  e. 
NN0  /\  ( (
m  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r ( m  + 
1 ) ) )  =  ( R ^
r ( N  +  ( m  +  1
) ) ) ) ) )
11010, 19, 28, 37, 67, 109nn0ind 10108 . . . 4  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\ 
ph ) )  -> 
( ( R ^
r N )  o.  ( R ^ r M ) )  =  ( R ^ r ( N  +  M
) ) ) )
1111, 110mpcom 32 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\ 
ph ) )  -> 
( ( R ^
r N )  o.  ( R ^ r M ) )  =  ( R ^ r ( N  +  M
) ) )
112111anassrs 629 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  /\  ph )  ->  (
( R ^ r N )  o.  ( R ^ r M ) )  =  ( R ^ r ( N  +  M ) ) )
113112expcom 424 1  |-  ( ph  ->  ( ( N  e. 
NN0  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r M ) )  =  ( R ^
r ( N  +  M ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   U.cuni 3827    _I cid 4304   dom cdm 4689    |` cres 4691    o. ccom 4693   Rel wrel 4694  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740   NN0cn0 9965   ^ rcrelexp 24023
This theorem is referenced by:  rtrclreclem.trans  24043
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-seq 11047  df-relexp 24024
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