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Theorem relexpadd 25138
Description: Relation composition becomes addition under exponentiation. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
relexpadd.1  |-  ( ph  ->  Rel  R )
relexpadd.2  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
relexpadd  |-  ( ph  ->  ( ( N  e. 
NN0  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r M ) )  =  ( R ^
r ( N  +  M ) ) ) )

Proof of Theorem relexpadd
Dummy variables  i  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 733 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\ 
ph ) )  ->  M  e.  NN0 )
2 eleq1 2496 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  0  ->  (
i  e.  NN0  <->  0  e.  NN0 ) )
32anbi1d 686 . . . . . . 7  |-  ( i  =  0  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( 0  e.  NN0  /\  ph )
) )
43anbi2d 685 . . . . . 6  |-  ( i  =  0  ->  (
( N  e.  NN0  /\  ( i  e.  NN0  /\ 
ph ) )  <->  ( N  e.  NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\  ph )
) ) )
5 oveq2 6089 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  0  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r 0 ) )
65coeq2d 5035 . . . . . . 7  |-  ( i  =  0  ->  (
( R ^ r N )  o.  ( R ^ r i ) )  =  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^ r 0 ) ) )
7 oveq2 6089 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  0  ->  ( N  +  i )  =  ( N  + 
0 ) )
87oveq2d 6097 . . . . . . 7  |-  ( i  =  0  ->  ( R ^ r ( N  +  i ) )  =  ( R ^
r ( N  + 
0 ) ) )
96, 8eqeq12d 2450 . . . . . 6  |-  ( i  =  0  ->  (
( ( R ^
r N )  o.  ( R ^ r i ) )  =  ( R ^ r ( N  +  i ) )  <->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r 0 ) )  =  ( R ^
r ( N  + 
0 ) ) ) )
104, 9imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( i  =  0  ->  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( i  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r i ) )  =  ( R ^
r ( N  +  i ) ) )  <-> 
( ( N  e. 
NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r 0 ) )  =  ( R ^
r ( N  + 
0 ) ) ) ) )
11 eleq1 2496 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  m  ->  (
i  e.  NN0  <->  m  e.  NN0 ) )
1211anbi1d 686 . . . . . . 7  |-  ( i  =  m  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( m  e.  NN0  /\  ph )
) )
1312anbi2d 685 . . . . . 6  |-  ( i  =  m  ->  (
( N  e.  NN0  /\  ( i  e.  NN0  /\ 
ph ) )  <->  ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
) ) )
14 oveq2 6089 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  m  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r m ) )
1514coeq2d 5035 . . . . . . 7  |-  ( i  =  m  ->  (
( R ^ r N )  o.  ( R ^ r i ) )  =  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^ r m ) ) )
16 oveq2 6089 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  m  ->  ( N  +  i )  =  ( N  +  m ) )
1716oveq2d 6097 . . . . . . 7  |-  ( i  =  m  ->  ( R ^ r ( N  +  i ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )
1815, 17eqeq12d 2450 . . . . . 6  |-  ( i  =  m  ->  (
( ( R ^
r N )  o.  ( R ^ r i ) )  =  ( R ^ r ( N  +  i ) )  <->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) ) )
1913, 18imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( i  =  m  ->  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( i  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r i ) )  =  ( R ^
r ( N  +  i ) ) )  <-> 
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) ) ) )
20 eleq1 2496 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
i  e.  NN0  <->  ( m  +  1 )  e. 
NN0 ) )
2120anbi1d 686 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( (
m  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )
) )
2221anbi2d 685 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( N  e.  NN0  /\  ( i  e.  NN0  /\ 
ph ) )  <->  ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )
) ) )
23 oveq2 6089 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r ( m  + 
1 ) ) )
2423coeq2d 5035 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( R ^ r N )  o.  ( R ^ r i ) )  =  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^ r ( m  +  1 ) ) ) )
25 oveq2 6089 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  ( N  +  i )  =  ( N  +  ( m  +  1
) ) )
2625oveq2d 6097 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  ( R ^ r ( N  +  i ) )  =  ( R ^
r ( N  +  ( m  +  1
) ) ) )
2724, 26eqeq12d 2450 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( R ^
r N )  o.  ( R ^ r i ) )  =  ( R ^ r ( N  +  i ) )  <->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r ( m  + 
1 ) ) )  =  ( R ^
r ( N  +  ( m  +  1
) ) ) ) )
2822, 27imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( i  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( i  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r i ) )  =  ( R ^
r ( N  +  i ) ) )  <-> 
( ( N  e. 
NN0  /\  ( (
m  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r ( m  + 
1 ) ) )  =  ( R ^
r ( N  +  ( m  +  1
) ) ) ) ) )
29 eleq1 2496 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  M  ->  (
i  e.  NN0  <->  M  e.  NN0 ) )
3029anbi1d 686 . . . . . . 7  |-  ( i  =  M  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( M  e.  NN0  /\  ph )
) )
3130anbi2d 685 . . . . . 6  |-  ( i  =  M  ->  (
( N  e.  NN0  /\  ( i  e.  NN0  /\ 
ph ) )  <->  ( N  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  ph )
) ) )
32 oveq2 6089 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  M  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r M ) )
3332coeq2d 5035 . . . . . . 7  |-  ( i  =  M  ->  (
( R ^ r N )  o.  ( R ^ r i ) )  =  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^ r M ) ) )
34 oveq2 6089 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  M  ->  ( N  +  i )  =  ( N  +  M ) )
3534oveq2d 6097 . . . . . . 7  |-  ( i  =  M  ->  ( R ^ r ( N  +  i ) )  =  ( R ^
r ( N  +  M ) ) )
3633, 35eqeq12d 2450 . . . . . 6  |-  ( i  =  M  ->  (
( ( R ^
r N )  o.  ( R ^ r i ) )  =  ( R ^ r ( N  +  i ) )  <->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r M ) )  =  ( R ^
r ( N  +  M ) ) ) )
3731, 36imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( i  =  M  ->  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( i  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r i ) )  =  ( R ^
r ( N  +  i ) ) )  <-> 
( ( N  e. 
NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r M ) )  =  ( R ^
r ( N  +  M ) ) ) ) )
38 nn0cn 10231 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
3938adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\ 
ph ) )  ->  N  e.  CC )
40 addid1 9246 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  +  0 )  =  N )
4140adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\ 
ph ) ) )  ->  ( N  + 
0 )  =  N )
42 simprrr 742 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\ 
ph ) ) )  ->  ph )
43 relexpadd.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Rel  R )
44 relexpadd.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
4543, 44relexp0 25129 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
4642, 45syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\ 
ph ) ) )  ->  ( R ^
r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
47 coeq2 5031 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r 0 ) )  =  ( ( R ^ r N )  o.  (  _I  |`  U. U. R ) ) )
48 coires1 5387 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R ^ r N )  o.  (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( ( R ^ r N )  |`  U. U. R
)
49 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\ 
ph ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
5043, 44relexpdm 25135 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  dom  ( R ^
r N )  C_  U.
U. R ) )
5142, 49, 50sylc 58 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\ 
ph ) ) )  ->  dom  ( R ^ r N ) 
C_  U. U. R )
5242adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( dom  ( R ^
r N )  C_  U.
U. R  /\  ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  (
0  e.  NN0  /\  ph ) ) ) )  ->  ph )
53 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( dom  ( R ^
r N )  C_  U.
U. R  /\  ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  (
0  e.  NN0  /\  ph ) ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
5443, 44relexprel 25134 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  Rel  ( R ^
r N ) ) )
5552, 53, 54sylc 58 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( dom  ( R ^
r N )  C_  U.
U. R  /\  ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  (
0  e.  NN0  /\  ph ) ) ) )  ->  Rel  ( R ^ r N ) )
56 relssres 5183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Rel  ( R ^
r N )  /\  dom  ( R ^ r N )  C_  U. U. R )  ->  (
( R ^ r N )  |`  U. U. R )  =  ( R ^ r N ) )
5756adantrr 698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Rel  ( R ^
r N )  /\  ( dom  ( R ^
r N )  C_  U.
U. R  /\  ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  (
0  e.  NN0  /\  ph ) ) ) ) )  ->  ( ( R ^ r N )  |`  U. U. R )  =  ( R ^
r N ) )
5855, 57mpancom 651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( dom  ( R ^
r N )  C_  U.
U. R  /\  ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  (
0  e.  NN0  /\  ph ) ) ) )  ->  ( ( R ^ r N )  |`  U. U. R )  =  ( R ^
r N ) )
5951, 58mpancom 651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\ 
ph ) ) )  ->  ( ( R ^ r N )  |`  U. U. R )  =  ( R ^
r N ) )
6048, 59syl5eq 2480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\ 
ph ) ) )  ->  ( ( R ^ r N )  o.  (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( R ^ r N ) )
6147, 60sylan9eq 2488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
)  /\  ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  (
0  e.  NN0  /\  ph ) ) ) )  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r 0 ) )  =  ( R ^
r N ) )
6246, 61mpancom 651 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\ 
ph ) ) )  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r 0 ) )  =  ( R ^
r N ) )
63 oveq2 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  +  0 )  =  N  ->  ( R ^ r ( N  +  0 ) )  =  ( R ^
r N ) )
6463eqeq2d 2447 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  +  0 )  =  N  ->  (
( ( R ^
r N )  o.  ( R ^ r 0 ) )  =  ( R ^ r ( N  +  0 ) )  <->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r 0 ) )  =  ( R ^
r N ) ) )
6562, 64syl5ibr 213 . . . . . . 7  |-  ( ( N  +  0 )  =  N  ->  (
( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\ 
ph ) ) )  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r 0 ) )  =  ( R ^
r ( N  + 
0 ) ) ) )
6641, 65mpcom 34 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\ 
ph ) ) )  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r 0 ) )  =  ( R ^
r ( N  + 
0 ) ) )
6739, 66mpancom 651 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( 0  e.  NN0  /\ 
ph ) )  -> 
( ( R ^
r N )  o.  ( R ^ r 0 ) )  =  ( R ^ r ( N  +  0 ) ) )
68 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ph )
69 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\ 
ph ) )  -> 
( ( R ^
r N )  o.  ( R ^ r m ) )  =  ( R ^ r ( N  +  m
) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
7069adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
7143, 44relexpsucr 25130 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN0  ->  ( R ^ r ( m  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r m )  o.  R
) ) )
7268, 70, 71sylc 58 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ( R ^
r ( m  + 
1 ) )  =  ( ( R ^
r m )  o.  R ) )
73 coeq2 5031 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R ^ r ( m  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r m )  o.  R )  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r ( m  + 
1 ) ) )  =  ( ( R ^ r N )  o.  ( ( R ^ r m )  o.  R ) ) )
7438adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  N  e.  CC )
7570nn0cnd 10276 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  m  e.  CC )
76 ax-1cn 9048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  CC
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  1  e.  CC )
7874, 75, 77addassd 9110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ( ( N  +  m )  +  1 )  =  ( N  +  ( m  +  1 ) ) )
7978eqcomd 2441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ( N  +  ( m  +  1
) )  =  ( ( N  +  m
)  +  1 ) )
80 nn0addcl 10255 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( N  +  m
)  e.  NN0 )
8169, 80sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ( N  +  m )  e.  NN0 )
82 coass 5388 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^ r m ) )  o.  R )  =  ( ( R ^ r N )  o.  ( ( R ^ r m )  o.  R ) )
83 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  +  m
)  e.  NN0  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
8470adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  +  m
)  e.  NN0  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
8568adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  +  m
)  e.  NN0  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  ph )
8683, 84, 85jca32 522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  +  m
)  e.  NN0  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
) )
87 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\ 
ph ) )  -> 
( ( R ^
r N )  o.  ( R ^ r m ) )  =  ( R ^ r ( N  +  m
) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  (
m  e.  NN0  /\  ph ) )  ->  (
( R ^ r N )  o.  ( R ^ r m ) )  =  ( R ^ r ( N  +  m ) ) ) )
8887adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  (
m  e.  NN0  /\  ph ) )  ->  (
( R ^ r N )  o.  ( R ^ r m ) )  =  ( R ^ r ( N  +  m ) ) ) )
8988adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  +  m
)  e.  NN0  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  (
m  e.  NN0  /\  ph ) )  ->  (
( R ^ r N )  o.  ( R ^ r m ) )  =  ( R ^ r ( N  +  m ) ) ) )
9086, 89mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  +  m
)  e.  NN0  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )
9190coeq1d 5034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  +  m
)  e.  NN0  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  ( (
( R ^ r N )  o.  ( R ^ r m ) )  o.  R )  =  ( ( R ^ r ( N  +  m ) )  o.  R ) )
9282, 91syl5eqr 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  +  m
)  e.  NN0  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( ( R ^ r m )  o.  R ) )  =  ( ( R ^ r ( N  +  m ) )  o.  R ) )
93 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  +  m
)  e.  NN0  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  ( N  +  m )  e.  NN0 )
9443, 44relexpsucr 25130 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  m )  e.  NN0  ->  ( R ^ r ( ( N  +  m )  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r ( N  +  m
) )  o.  R
) ) )
9585, 93, 94sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  +  m
)  e.  NN0  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  ( R ^ r ( ( N  +  m )  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r ( N  +  m ) )  o.  R ) )
9692, 95eqtr4d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  +  m
)  e.  NN0  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( ( R ^ r m )  o.  R ) )  =  ( R ^
r ( ( N  +  m )  +  1 ) ) )
9781, 96mpancom 651 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( ( R ^ r m )  o.  R ) )  =  ( R ^
r ( ( N  +  m )  +  1 ) ) )
98 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  +  ( m  +  1 ) )  =  ( ( N  +  m )  +  1 )  ->  ( R ^ r ( N  +  ( m  + 
1 ) ) )  =  ( R ^
r ( ( N  +  m )  +  1 ) ) )
9998eqeq2d 2447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  +  ( m  +  1 ) )  =  ( ( N  +  m )  +  1 )  ->  (
( ( R ^
r N )  o.  ( ( R ^
r m )  o.  R ) )  =  ( R ^ r ( N  +  ( m  +  1 ) ) )  <->  ( ( R ^ r N )  o.  ( ( R ^ r m )  o.  R ) )  =  ( R ^
r ( ( N  +  m )  +  1 ) ) ) )
10097, 99syl5ibr 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  +  ( m  +  1 ) )  =  ( ( N  +  m )  +  1 )  ->  (
( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( ( R ^ r m )  o.  R ) )  =  ( R ^
r ( N  +  ( m  +  1
) ) ) ) )
10179, 100mpcom 34 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( ( R ^ r m )  o.  R ) )  =  ( R ^
r ( N  +  ( m  +  1
) ) ) )
10273, 101sylan9eq 2488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R ^ r ( m  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r m )  o.  R
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\ 
ph ) )  -> 
( ( R ^
r N )  o.  ( R ^ r m ) )  =  ( R ^ r ( N  +  m
) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) ) )  -> 
( ( R ^
r N )  o.  ( R ^ r ( m  +  1 ) ) )  =  ( R ^ r ( N  +  ( m  +  1 ) ) ) )
10372, 102mpancom 651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r ( m  + 
1 ) ) )  =  ( R ^
r ( N  +  ( m  +  1
) ) ) )
104103expcom 425 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\ 
ph ) )  -> 
( ( R ^
r N )  o.  ( R ^ r m ) )  =  ( R ^ r ( N  +  m
) ) )  /\  m  e.  NN0 ) ) )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r ( m  + 
1 ) ) )  =  ( R ^
r ( N  +  ( m  +  1
) ) ) ) )
105104anassrs 630 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\ 
ph )  /\  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 ) )  ->  ( N  e.  NN0  ->  (
( R ^ r N )  o.  ( R ^ r ( m  +  1 ) ) )  =  ( R ^ r ( N  +  ( m  + 
1 ) ) ) ) )
106105impcom 420 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( ( m  +  1 )  e. 
NN0  /\  ph )  /\  ( ( ( N  e.  NN0  /\  (
m  e.  NN0  /\  ph ) )  ->  (
( R ^ r N )  o.  ( R ^ r m ) )  =  ( R ^ r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e. 
NN0 ) ) )  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r ( m  + 
1 ) ) )  =  ( R ^
r ( N  +  ( m  +  1
) ) ) )
107106anassrs 630 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  NN0  /\ 
ph ) )  /\  ( ( ( N  e.  NN0  /\  (
m  e.  NN0  /\  ph ) )  ->  (
( R ^ r N )  o.  ( R ^ r m ) )  =  ( R ^ r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e. 
NN0 ) )  -> 
( ( R ^
r N )  o.  ( R ^ r ( m  +  1 ) ) )  =  ( R ^ r ( N  +  ( m  +  1 ) ) ) )
108107expcom 425 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r m ) )  =  ( R ^
r ( N  +  m ) ) )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  (
( m  +  1 )  e.  NN0  /\  ph ) )  ->  (
( R ^ r N )  o.  ( R ^ r ( m  +  1 ) ) )  =  ( R ^ r ( N  +  ( m  + 
1 ) ) ) ) )
109108expcom 425 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN0  /\ 
ph ) )  -> 
( ( R ^
r N )  o.  ( R ^ r m ) )  =  ( R ^ r ( N  +  m
) ) )  -> 
( ( N  e. 
NN0  /\  ( (
m  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )
)  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r ( m  + 
1 ) ) )  =  ( R ^
r ( N  +  ( m  +  1
) ) ) ) ) )
11010, 19, 28, 37, 67, 109nn0ind 10366 . . . 4  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\ 
ph ) )  -> 
( ( R ^
r N )  o.  ( R ^ r M ) )  =  ( R ^ r ( N  +  M
) ) ) )
1111, 110mpcom 34 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\ 
ph ) )  -> 
( ( R ^
r N )  o.  ( R ^ r M ) )  =  ( R ^ r ( N  +  M
) ) )
112111anassrs 630 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  /\  ph )  ->  (
( R ^ r N )  o.  ( R ^ r M ) )  =  ( R ^ r ( N  +  M ) ) )
113112expcom 425 1  |-  ( ph  ->  ( ( N  e. 
NN0  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( R ^ r N )  o.  ( R ^
r M ) )  =  ( R ^
r ( N  +  M ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   U.cuni 4015    _I cid 4493   dom cdm 4878    |` cres 4880    o. ccom 4882   Rel wrel 4883  (class class class)co 6081   CCcc 8988   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993   NN0cn0 10221   ^ rcrelexp 25127
This theorem is referenced by:  rtrclreclem.trans  25146
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-seq 11324  df-relexp 25128
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