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Theorem relexpdm 25127
Description: The domain of an exponentiation of a relation a subset of the relation's field. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
relexpdm.1  |-  ( ph  ->  Rel  R )
relexpdm.2  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
relexpdm  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  dom  ( R ^
r N )  C_  U.
U. R ) )

Proof of Theorem relexpdm
Dummy variables  i  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2495 . . . . . 6  |-  ( i  =  0  ->  (
i  e.  NN0  <->  0  e.  NN0 ) )
21anbi1d 686 . . . . 5  |-  ( i  =  0  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( 0  e.  NN0  /\  ph )
) )
3 oveq2 6081 . . . . . . 7  |-  ( i  =  0  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r 0 ) )
43dmeqd 5064 . . . . . 6  |-  ( i  =  0  ->  dom  ( R ^ r i )  =  dom  ( R ^ r 0 ) )
54sseq1d 3367 . . . . 5  |-  ( i  =  0  ->  ( dom  ( R ^ r i )  C_  U. U. R 
<->  dom  ( R ^
r 0 )  C_  U.
U. R ) )
62, 5imbi12d 312 . . . 4  |-  ( i  =  0  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^ r i )  C_  U. U. R )  <->  ( (
0  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^ r 0 ) 
C_  U. U. R ) ) )
7 eleq1 2495 . . . . . 6  |-  ( i  =  n  ->  (
i  e.  NN0  <->  n  e.  NN0 ) )
87anbi1d 686 . . . . 5  |-  ( i  =  n  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( n  e.  NN0  /\  ph )
) )
9 oveq2 6081 . . . . . . 7  |-  ( i  =  n  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r n ) )
109dmeqd 5064 . . . . . 6  |-  ( i  =  n  ->  dom  ( R ^ r i )  =  dom  ( R ^ r n ) )
1110sseq1d 3367 . . . . 5  |-  ( i  =  n  ->  ( dom  ( R ^ r i )  C_  U. U. R 
<->  dom  ( R ^
r n )  C_  U.
U. R ) )
128, 11imbi12d 312 . . . 4  |-  ( i  =  n  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^ r i )  C_  U. U. R )  <->  ( (
n  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^ r n ) 
C_  U. U. R ) ) )
13 eleq1 2495 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
i  e.  NN0  <->  ( n  +  1 )  e. 
NN0 ) )
1413anbi1d 686 . . . . 5  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( (
n  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )
) )
15 oveq2 6081 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r ( n  + 
1 ) ) )
1615dmeqd 5064 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  dom  ( R ^ r i )  =  dom  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) )
1716sseq1d 3367 . . . . 5  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  ( dom  ( R ^ r i )  C_  U. U. R 
<->  dom  ( R ^
r ( n  + 
1 ) )  C_  U.
U. R ) )
1814, 17imbi12d 312 . . . 4  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^ r i )  C_  U. U. R )  <->  ( (
( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) 
C_  U. U. R ) ) )
19 eleq1 2495 . . . . . 6  |-  ( i  =  N  ->  (
i  e.  NN0  <->  N  e.  NN0 ) )
2019anbi1d 686 . . . . 5  |-  ( i  =  N  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( N  e.  NN0  /\  ph )
) )
21 oveq2 6081 . . . . . . 7  |-  ( i  =  N  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r N ) )
2221dmeqd 5064 . . . . . 6  |-  ( i  =  N  ->  dom  ( R ^ r i )  =  dom  ( R ^ r N ) )
2322sseq1d 3367 . . . . 5  |-  ( i  =  N  ->  ( dom  ( R ^ r i )  C_  U. U. R 
<->  dom  ( R ^
r N )  C_  U.
U. R ) )
2420, 23imbi12d 312 . . . 4  |-  ( i  =  N  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^ r i )  C_  U. U. R )  <->  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^ r N ) 
C_  U. U. R ) ) )
25 relexpdm.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Rel  R )
26 relexpdm.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
2725, 26relexp0 25121 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
2827adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
29 dmresi 5188 . . . . . . 7  |-  dom  (  _I  |`  U. U. R
)  =  U. U. R
30 ssid 3359 . . . . . . . 8  |-  U. U. R  C_  U. U. R
3130a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  U. U. R  C_ 
U. U. R )
3229, 31syl5eqss 3384 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  (  _I  |`  U. U. R ) 
C_  U. U. R )
33 dmeq 5062 . . . . . . 7  |-  ( ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  dom  ( R ^ r 0 )  =  dom  (  _I  |`  U. U. R ) )
3433sseq1d 3367 . . . . . 6  |-  ( ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( dom  ( R ^ r 0 ) 
C_  U. U. R  <->  dom  (  _I  |`  U. U. R ) 
C_  U. U. R ) )
3532, 34syl5ibr 213 . . . . 5  |-  ( ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^
r 0 )  C_  U.
U. R ) )
3628, 35mpcom 34 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^ r 0 ) 
C_  U. U. R )
37 simprrr 742 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
38 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ph )
3938, 25syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  Rel  R )
4038, 26syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  R  e.  _V )
4139, 40relexpsucl 25124 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  -> 
( n  e.  NN0  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) ) )
4237, 41mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  -> 
( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )
43 dmcoss 5127 . . . . . . . . . 10  |-  dom  ( R  o.  ( R ^ r n ) )  C_  dom  ( R ^ r n )
44 simprrl 741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  -> 
( ( n  e. 
NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^ r n )  C_  U. U. R ) )
4537, 38, 44mp2and 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  dom  ( R ^ r n )  C_  U. U. R )
4643, 45syl5ss 3351 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  dom  ( R  o.  ( R ^ r n ) )  C_  U. U. R
)
47 dmeq 5062 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^
r n ) )  ->  dom  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  dom  ( R  o.  ( R ^
r n ) ) )
4847sseq1d 3367 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^
r n ) )  ->  ( dom  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) 
C_  U. U. R  <->  dom  ( R  o.  ( R ^
r n ) ) 
C_  U. U. R ) )
4946, 48syl5ibr 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^
r n ) )  ->  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^ r n ) 
C_  U. U. R )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  dom  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  C_  U. U. R ) )
5042, 49mpcom 34 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  dom  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  C_  U. U. R )
5150anassrs 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( n  + 
1 )  e.  NN0  /\ 
ph )  /\  (
( ( n  e. 
NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^ r n )  C_  U. U. R )  /\  n  e.  NN0 ) )  ->  dom  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  C_  U. U. R )
5251expcom 425 . . . . 5  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^ r n )  C_  U. U. R )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( n  + 
1 )  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  C_  U. U. R
) )
5352expcom 425 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  ->  ( (
( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) 
C_  U. U. R ) ) )
546, 12, 18, 24, 36, 53nn0ind 10358 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^ r N ) 
C_  U. U. R ) )
5554anabsi5 791 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^ r N ) 
C_  U. U. R )
5655expcom 425 1  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  dom  ( R ^
r N )  C_  U.
U. R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   U.cuni 4007    _I cid 4485   dom cdm 4870    |` cres 4872    o. ccom 4874   Rel wrel 4875  (class class class)co 6073   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985   NN0cn0 10213   ^ rcrelexp 25119
This theorem is referenced by:  relexpfld  25129  relexpadd  25130
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-seq 11316  df-relexp 25120
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