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Theorem relexpdm 24047
Description: The domain of an exponentiation of a relation a subset of the relation's field. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
relexpdm.1  |-  ( ph  ->  Rel  R )
relexpdm.2  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
relexpdm  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  dom  ( R ^
r N )  C_  U.
U. R ) )

Proof of Theorem relexpdm
Dummy variables  i  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2356 . . . . . 6  |-  ( i  =  0  ->  (
i  e.  NN0  <->  0  e.  NN0 ) )
21anbi1d 685 . . . . 5  |-  ( i  =  0  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( 0  e.  NN0  /\  ph )
) )
3 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( i  =  0  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r 0 ) )
43dmeqd 4897 . . . . . 6  |-  ( i  =  0  ->  dom  ( R ^ r i )  =  dom  ( R ^ r 0 ) )
54sseq1d 3218 . . . . 5  |-  ( i  =  0  ->  ( dom  ( R ^ r i )  C_  U. U. R 
<->  dom  ( R ^
r 0 )  C_  U.
U. R ) )
62, 5imbi12d 311 . . . 4  |-  ( i  =  0  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^ r i )  C_  U. U. R )  <->  ( (
0  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^ r 0 ) 
C_  U. U. R ) ) )
7 eleq1 2356 . . . . . 6  |-  ( i  =  n  ->  (
i  e.  NN0  <->  n  e.  NN0 ) )
87anbi1d 685 . . . . 5  |-  ( i  =  n  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( n  e.  NN0  /\  ph )
) )
9 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( i  =  n  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r n ) )
109dmeqd 4897 . . . . . 6  |-  ( i  =  n  ->  dom  ( R ^ r i )  =  dom  ( R ^ r n ) )
1110sseq1d 3218 . . . . 5  |-  ( i  =  n  ->  ( dom  ( R ^ r i )  C_  U. U. R 
<->  dom  ( R ^
r n )  C_  U.
U. R ) )
128, 11imbi12d 311 . . . 4  |-  ( i  =  n  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^ r i )  C_  U. U. R )  <->  ( (
n  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^ r n ) 
C_  U. U. R ) ) )
13 eleq1 2356 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
i  e.  NN0  <->  ( n  +  1 )  e. 
NN0 ) )
1413anbi1d 685 . . . . 5  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( (
n  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )
) )
15 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r ( n  + 
1 ) ) )
1615dmeqd 4897 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  dom  ( R ^ r i )  =  dom  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) )
1716sseq1d 3218 . . . . 5  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  ( dom  ( R ^ r i )  C_  U. U. R 
<->  dom  ( R ^
r ( n  + 
1 ) )  C_  U.
U. R ) )
1814, 17imbi12d 311 . . . 4  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^ r i )  C_  U. U. R )  <->  ( (
( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) 
C_  U. U. R ) ) )
19 eleq1 2356 . . . . . 6  |-  ( i  =  N  ->  (
i  e.  NN0  <->  N  e.  NN0 ) )
2019anbi1d 685 . . . . 5  |-  ( i  =  N  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( N  e.  NN0  /\  ph )
) )
21 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( i  =  N  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r N ) )
2221dmeqd 4897 . . . . . 6  |-  ( i  =  N  ->  dom  ( R ^ r i )  =  dom  ( R ^ r N ) )
2322sseq1d 3218 . . . . 5  |-  ( i  =  N  ->  ( dom  ( R ^ r i )  C_  U. U. R 
<->  dom  ( R ^
r N )  C_  U.
U. R ) )
2420, 23imbi12d 311 . . . 4  |-  ( i  =  N  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^ r i )  C_  U. U. R )  <->  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^ r N ) 
C_  U. U. R ) ) )
25 relexpdm.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Rel  R )
26 relexpdm.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
2725, 26relexp0 24040 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
2827adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
29 dmresi 5021 . . . . . . 7  |-  dom  (  _I  |`  U. U. R
)  =  U. U. R
30 ssid 3210 . . . . . . . 8  |-  U. U. R  C_  U. U. R
3130a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  U. U. R  C_ 
U. U. R )
3229, 31syl5eqss 3235 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  (  _I  |`  U. U. R ) 
C_  U. U. R )
33 dmeq 4895 . . . . . . 7  |-  ( ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  dom  ( R ^ r 0 )  =  dom  (  _I  |`  U. U. R ) )
3433sseq1d 3218 . . . . . 6  |-  ( ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( dom  ( R ^ r 0 ) 
C_  U. U. R  <->  dom  (  _I  |`  U. U. R ) 
C_  U. U. R ) )
3532, 34syl5ibr 212 . . . . 5  |-  ( ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^
r 0 )  C_  U.
U. R ) )
3628, 35mpcom 32 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^ r 0 ) 
C_  U. U. R )
37 simprrr 741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
38 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ph )
3938, 25syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  Rel  R )
4038, 26syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  R  e.  _V )
4139, 40relexpsucl 24043 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  -> 
( n  e.  NN0  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) ) )
4237, 41mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  -> 
( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )
43 dmcoss 4960 . . . . . . . . . 10  |-  dom  ( R  o.  ( R ^ r n ) )  C_  dom  ( R ^ r n )
44 simprrl 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  -> 
( ( n  e. 
NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^ r n )  C_  U. U. R ) )
4537, 38, 44mp2and 660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  dom  ( R ^ r n )  C_  U. U. R )
4643, 45syl5ss 3203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  dom  ( R  o.  ( R ^ r n ) )  C_  U. U. R
)
47 dmeq 4895 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^
r n ) )  ->  dom  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  dom  ( R  o.  ( R ^
r n ) ) )
4847sseq1d 3218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^
r n ) )  ->  ( dom  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) 
C_  U. U. R  <->  dom  ( R  o.  ( R ^
r n ) ) 
C_  U. U. R ) )
4946, 48syl5ibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^
r n ) )  ->  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^ r n ) 
C_  U. U. R )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  dom  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  C_  U. U. R ) )
5042, 49mpcom 32 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  dom  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  C_  U. U. R )
5150anassrs 629 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( n  + 
1 )  e.  NN0  /\ 
ph )  /\  (
( ( n  e. 
NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^ r n )  C_  U. U. R )  /\  n  e.  NN0 ) )  ->  dom  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  C_  U. U. R )
5251expcom 424 . . . . 5  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^ r n )  C_  U. U. R )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( n  + 
1 )  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  C_  U. U. R
) )
5352expcom 424 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  ->  ( (
( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) 
C_  U. U. R ) ) )
546, 12, 18, 24, 36, 53nn0ind 10124 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^ r N ) 
C_  U. U. R ) )
5554anabsi5 790 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^ r N ) 
C_  U. U. R )
5655expcom 424 1  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  dom  ( R ^
r N )  C_  U.
U. R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   U.cuni 3843    _I cid 4320   dom cdm 4705    |` cres 4707    o. ccom 4709   Rel wrel 4710  (class class class)co 5874   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756   NN0cn0 9981   ^ rcrelexp 24038
This theorem is referenced by:  relexpfld  24049  relexpadd  24050
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-seq 11063  df-relexp 24039
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