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Theorem relexpdm 23443
Description: The domain of an exponentiation of a relation a subset of the relation's field. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
relexpdm.1  |-  ( ph  ->  Rel  R )
relexpdm.2  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
relexpdm  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  dom  ( R ^
r N )  C_  U.
U. R ) )

Proof of Theorem relexpdm
Dummy variables  i  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2343 . . . . . 6  |-  ( i  =  0  ->  (
i  e.  NN0  <->  0  e.  NN0 ) )
21anbi1d 685 . . . . 5  |-  ( i  =  0  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( 0  e.  NN0  /\  ph )
) )
3 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( i  =  0  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r 0 ) )
43dmeqd 4881 . . . . . 6  |-  ( i  =  0  ->  dom  ( R ^ r i )  =  dom  ( R ^ r 0 ) )
54sseq1d 3205 . . . . 5  |-  ( i  =  0  ->  ( dom  ( R ^ r i )  C_  U. U. R 
<->  dom  ( R ^
r 0 )  C_  U.
U. R ) )
62, 5imbi12d 311 . . . 4  |-  ( i  =  0  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^ r i )  C_  U. U. R )  <->  ( (
0  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^ r 0 ) 
C_  U. U. R ) ) )
7 eleq1 2343 . . . . . 6  |-  ( i  =  n  ->  (
i  e.  NN0  <->  n  e.  NN0 ) )
87anbi1d 685 . . . . 5  |-  ( i  =  n  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( n  e.  NN0  /\  ph )
) )
9 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( i  =  n  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r n ) )
109dmeqd 4881 . . . . . 6  |-  ( i  =  n  ->  dom  ( R ^ r i )  =  dom  ( R ^ r n ) )
1110sseq1d 3205 . . . . 5  |-  ( i  =  n  ->  ( dom  ( R ^ r i )  C_  U. U. R 
<->  dom  ( R ^
r n )  C_  U.
U. R ) )
128, 11imbi12d 311 . . . 4  |-  ( i  =  n  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^ r i )  C_  U. U. R )  <->  ( (
n  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^ r n ) 
C_  U. U. R ) ) )
13 eleq1 2343 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
i  e.  NN0  <->  ( n  +  1 )  e. 
NN0 ) )
1413anbi1d 685 . . . . 5  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( (
n  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )
) )
15 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r ( n  + 
1 ) ) )
1615dmeqd 4881 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  dom  ( R ^ r i )  =  dom  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) )
1716sseq1d 3205 . . . . 5  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  ( dom  ( R ^ r i )  C_  U. U. R 
<->  dom  ( R ^
r ( n  + 
1 ) )  C_  U.
U. R ) )
1814, 17imbi12d 311 . . . 4  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^ r i )  C_  U. U. R )  <->  ( (
( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) 
C_  U. U. R ) ) )
19 eleq1 2343 . . . . . 6  |-  ( i  =  N  ->  (
i  e.  NN0  <->  N  e.  NN0 ) )
2019anbi1d 685 . . . . 5  |-  ( i  =  N  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( N  e.  NN0  /\  ph )
) )
21 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( i  =  N  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r N ) )
2221dmeqd 4881 . . . . . 6  |-  ( i  =  N  ->  dom  ( R ^ r i )  =  dom  ( R ^ r N ) )
2322sseq1d 3205 . . . . 5  |-  ( i  =  N  ->  ( dom  ( R ^ r i )  C_  U. U. R 
<->  dom  ( R ^
r N )  C_  U.
U. R ) )
2420, 23imbi12d 311 . . . 4  |-  ( i  =  N  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^ r i )  C_  U. U. R )  <->  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^ r N ) 
C_  U. U. R ) ) )
25 relexpdm.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Rel  R )
26 relexpdm.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
2725, 26relexp0 23436 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
2827adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
29 dmresi 5005 . . . . . . 7  |-  dom  (  _I  |`  U. U. R
)  =  U. U. R
30 ssid 3197 . . . . . . . 8  |-  U. U. R  C_  U. U. R
3130a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  U. U. R  C_ 
U. U. R )
3229, 31syl5eqss 3222 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  (  _I  |`  U. U. R ) 
C_  U. U. R )
33 dmeq 4879 . . . . . . 7  |-  ( ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  dom  ( R ^ r 0 )  =  dom  (  _I  |`  U. U. R ) )
3433sseq1d 3205 . . . . . 6  |-  ( ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( dom  ( R ^ r 0 ) 
C_  U. U. R  <->  dom  (  _I  |`  U. U. R ) 
C_  U. U. R ) )
3532, 34syl5ibr 212 . . . . 5  |-  ( ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^
r 0 )  C_  U.
U. R ) )
3628, 35mpcom 32 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^ r 0 ) 
C_  U. U. R )
37 simprrr 741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
38 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ph )
3938, 25syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  Rel  R )
4038, 26syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  R  e.  _V )
4139, 40relexpsucl 23439 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  -> 
( n  e.  NN0  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) ) )
4237, 41mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  -> 
( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )
43 dmcoss 4944 . . . . . . . . . 10  |-  dom  ( R  o.  ( R ^ r n ) )  C_  dom  ( R ^ r n )
44 simprrl 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  -> 
( ( n  e. 
NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^ r n )  C_  U. U. R ) )
4537, 38, 44mp2and 660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  dom  ( R ^ r n )  C_  U. U. R )
4643, 45syl5ss 3190 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  dom  ( R  o.  ( R ^ r n ) )  C_  U. U. R
)
47 dmeq 4879 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^
r n ) )  ->  dom  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  dom  ( R  o.  ( R ^
r n ) ) )
4847sseq1d 3205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^
r n ) )  ->  ( dom  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) 
C_  U. U. R  <->  dom  ( R  o.  ( R ^
r n ) ) 
C_  U. U. R ) )
4946, 48syl5ibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^
r n ) )  ->  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^ r n ) 
C_  U. U. R )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  dom  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  C_  U. U. R ) )
5042, 49mpcom 32 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  dom  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  C_  U. U. R )
5150anassrs 629 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( n  + 
1 )  e.  NN0  /\ 
ph )  /\  (
( ( n  e. 
NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^ r n )  C_  U. U. R )  /\  n  e.  NN0 ) )  ->  dom  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  C_  U. U. R )
5251expcom 424 . . . . 5  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^ r n )  C_  U. U. R )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( n  + 
1 )  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  C_  U. U. R
) )
5352expcom 424 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  dom  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  ->  ( (
( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) 
C_  U. U. R ) ) )
546, 12, 18, 24, 36, 53nn0ind 10108 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^ r N ) 
C_  U. U. R ) )
5554anabsi5 790 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  dom  ( R ^ r N ) 
C_  U. U. R )
5655expcom 424 1  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  dom  ( R ^
r N )  C_  U.
U. R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   U.cuni 3827    _I cid 4304   dom cdm 4689    |` cres 4691    o. ccom 4693   Rel wrel 4694  (class class class)co 5858   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740   NN0cn0 9965   ^ rcrelexp 23434
This theorem is referenced by:  relexpfld  23445  relexpadd  23446
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-seq 11047  df-relexp 23435
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