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Theorem relexpindlem 25139
Description: Principle of transitive induction, finite and non-class version. The first three hypotheses give various existences, the next three give necessary substitutions and the last two are the basis and the induction hypothesis. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
relexpindlem.1  |-  ( et 
->  Rel  R )
relexpindlem.2  |-  ( et 
->  R  e.  _V )
relexpindlem.3  |-  ( et 
->  S  e.  _V )
relexpindlem.4  |-  ( i  =  S  ->  ( ph 
<->  ch ) )
relexpindlem.5  |-  ( i  =  x  ->  ( ph 
<->  ps ) )
relexpindlem.6  |-  ( i  =  j  ->  ( ph 
<->  th ) )
relexpindlem.7  |-  ( et 
->  ch )
relexpindlem.8  |-  ( et 
->  ( j R x  ->  ( th  ->  ps ) ) )
Assertion
Ref Expression
relexpindlem  |-  ( et 
->  ( n  e.  NN0  ->  ( S ( R ^ r n ) x  ->  ps )
) )
Distinct variable groups:    x, n    et, x    x, S    x, R, i    et, i, j, x    S, i, j    R, i, j    ps, i, j    ch, i    th, i    ph, j, x
Allowed substitution hints:    ph( i, n)    ps( x, n)    ch( x, j, n)    th( x, j, n)    et( n)    R( n)    S( n)

Proof of Theorem relexpindlem
Dummy variables  k 
l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( et  /\  n  e. 
NN0 )  ->  n  e.  NN0 )
2 eleq1 2496 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  (
k  e.  NN0  <->  0  e.  NN0 ) )
32anbi2d 685 . . . . . 6  |-  ( k  =  0  ->  (
( et  /\  k  e.  NN0 )  <->  ( et  /\  0  e.  NN0 ) ) )
4 oveq2 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  ( R ^ r k )  =  ( R ^
r 0 ) )
54breqd 4223 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  ( S ( R ^
r k ) x  <-> 
S ( R ^
r 0 ) x ) )
65imbi1d 309 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  (
( S ( R ^ r k ) x  ->  ps )  <->  ( S ( R ^
r 0 ) x  ->  ps ) ) )
76albidv 1635 . . . . . 6  |-  ( k  =  0  ->  ( A. x ( S ( R ^ r k ) x  ->  ps ) 
<-> 
A. x ( S ( R ^ r 0 ) x  ->  ps ) ) )
83, 7imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( k  =  0  ->  (
( ( et  /\  k  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^ r k ) x  ->  ps ) )  <->  ( ( et  /\  0  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^ r 0 ) x  ->  ps ) ) ) )
9 eleq1 2496 . . . . . . 7  |-  ( k  =  l  ->  (
k  e.  NN0  <->  l  e.  NN0 ) )
109anbi2d 685 . . . . . 6  |-  ( k  =  l  ->  (
( et  /\  k  e.  NN0 )  <->  ( et  /\  l  e.  NN0 ) ) )
11 oveq2 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  l  ->  ( R ^ r k )  =  ( R ^
r l ) )
1211breqd 4223 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  l  ->  ( S ( R ^
r k ) x  <-> 
S ( R ^
r l ) x ) )
1312imbi1d 309 . . . . . . 7  |-  ( k  =  l  ->  (
( S ( R ^ r k ) x  ->  ps )  <->  ( S ( R ^
r l ) x  ->  ps ) ) )
1413albidv 1635 . . . . . 6  |-  ( k  =  l  ->  ( A. x ( S ( R ^ r k ) x  ->  ps ) 
<-> 
A. x ( S ( R ^ r l ) x  ->  ps ) ) )
1510, 14imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( k  =  l  ->  (
( ( et  /\  k  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^ r k ) x  ->  ps ) )  <->  ( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^ r l ) x  ->  ps ) ) ) )
16 eleq1 2496 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( l  +  1 )  ->  (
k  e.  NN0  <->  ( l  +  1 )  e. 
NN0 ) )
1716anbi2d 685 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( l  +  1 )  ->  (
( et  /\  k  e.  NN0 )  <->  ( et  /\  ( l  +  1 )  e.  NN0 )
) )
18 oveq2 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( l  +  1 )  ->  ( R ^ r k )  =  ( R ^
r ( l  +  1 ) ) )
1918breqd 4223 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( l  +  1 )  ->  ( S ( R ^
r k ) x  <-> 
S ( R ^
r ( l  +  1 ) ) x ) )
2019imbi1d 309 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( l  +  1 )  ->  (
( S ( R ^ r k ) x  ->  ps )  <->  ( S ( R ^
r ( l  +  1 ) ) x  ->  ps ) ) )
2120albidv 1635 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( l  +  1 )  ->  ( A. x ( S ( R ^ r k ) x  ->  ps ) 
<-> 
A. x ( S ( R ^ r ( l  +  1 ) ) x  ->  ps ) ) )
2217, 21imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( k  =  ( l  +  1 )  ->  (
( ( et  /\  k  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^ r k ) x  ->  ps ) )  <->  ( ( et  /\  ( l  +  1 )  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^ r ( l  +  1 ) ) x  ->  ps ) ) ) )
23 eleq1 2496 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
k  e.  NN0  <->  n  e.  NN0 ) )
2423anbi2d 685 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  (
( et  /\  k  e.  NN0 )  <->  ( et  /\  n  e.  NN0 ) ) )
25 oveq2 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  ( R ^ r k )  =  ( R ^
r n ) )
2625breqd 4223 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  ( S ( R ^
r k ) x  <-> 
S ( R ^
r n ) x ) )
2726imbi1d 309 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( S ( R ^ r k ) x  ->  ps )  <->  ( S ( R ^
r n ) x  ->  ps ) ) )
2827albidv 1635 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  ( A. x ( S ( R ^ r k ) x  ->  ps ) 
<-> 
A. x ( S ( R ^ r n ) x  ->  ps ) ) )
2924, 28imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( et  /\  k  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^ r k ) x  ->  ps ) )  <->  ( ( et  /\  n  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^ r n ) x  ->  ps ) ) ) )
30 relexpindlem.1 . . . . . . . . 9  |-  ( et 
->  Rel  R )
31 relexpindlem.2 . . . . . . . . 9  |-  ( et 
->  R  e.  _V )
3230, 31relexp0 25129 . . . . . . . 8  |-  ( et 
->  ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
3332adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( et  /\  0  e. 
NN0 )  ->  ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
34 relexpindlem.7 . . . . . . . . . . 11  |-  ( et 
->  ch )
3534adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( et  /\  0  e. 
NN0 )  ->  ch )
36 simpl 444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( et  /\  0  e. 
NN0 )  ->  et )
37 relexpindlem.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( et 
->  S  e.  _V )
3837adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ch  /\  et )  ->  S  e.  _V )
3934ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( i  =  S  /\  ( et  /\  ( ph  /\  i  =  S ) ) )  ->  ch )
40 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( i  =  S  /\  ( et  /\  ( ph  /\  i  =  S ) ) )  ->  et )
4139, 40jca 519 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( i  =  S  /\  ( et  /\  ( ph  /\  i  =  S ) ) )  -> 
( ch  /\  et ) )
4241expcom 425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( et  /\  ( ph  /\  i  =  S ) )  ->  ( i  =  S  ->  ( ch 
/\  et ) ) )
4342expcom 425 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  =  S )  ->  ( et  ->  ( i  =  S  ->  ( ch  /\  et ) ) ) )
4443expcom 425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  S  ->  ( ph  ->  ( et  ->  ( i  =  S  -> 
( ch  /\  et ) ) ) ) )
45443imp1 1166 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( i  =  S  /\  ph  /\  et )  /\  i  =  S )  ->  ( ch  /\  et ) )
4645expcom 425 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  S  ->  (
( i  =  S  /\  ph  /\  et )  ->  ( ch  /\  et ) ) )
47 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( et  /\  i  =  S )  ->  i  =  S )
4847adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ch  /\  ( et 
/\  i  =  S ) )  ->  i  =  S )
49 relexpindlem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  =  S  ->  ( ph 
<->  ch ) )
5049ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ch  /\  ( et 
/\  i  =  S ) )  ->  ( ph 
<->  ch ) )
5150bicomd 193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ch  /\  ( et 
/\  i  =  S ) )  ->  ( ch 
<-> 
ph ) )
52 anbi1 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ch  <->  ph )  ->  (
( ch  /\  ( et  /\  i  =  S ) )  <->  ( ph  /\  ( et  /\  i  =  S ) ) ) )
53 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( et  /\  i  =  S
) )  ->  ph )
5452, 53syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ch  <->  ph )  ->  (
( ch  /\  ( et  /\  i  =  S ) )  ->  ph )
)
5551, 54mpcom 34 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ch  /\  ( et 
/\  i  =  S ) )  ->  ph )
56 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ch  /\  ( et 
/\  i  =  S ) )  ->  et )
5748, 55, 563jca 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ch  /\  ( et 
/\  i  =  S ) )  ->  (
i  =  S  /\  ph 
/\  et ) )
5857anassrs 630 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ch  /\  et )  /\  i  =  S )  ->  ( i  =  S  /\  ph  /\  et ) )
5958expcom 425 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  S  ->  (
( ch  /\  et )  ->  ( i  =  S  /\  ph  /\  et ) ) )
6046, 59impbid 184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  S  ->  (
( i  =  S  /\  ph  /\  et )  <-> 
( ch  /\  et ) ) )
6160spcegv 3037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  _V  ->  (
( ch  /\  et )  ->  E. i ( i  =  S  /\  ph  /\  et ) ) )
6238, 61mpcom 34 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ch  /\  et )  ->  E. i ( i  =  S  /\  ph  /\  et ) )
6335, 36, 62syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( et  /\  0  e. 
NN0 )  ->  E. i
( i  =  S  /\  ph  /\  et ) )
64 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S (  _I  |`  U. U. R ) x  /\  ( E. i ( i  =  S  /\  ph  /\  et )  /\  ( et  /\  0  e.  NN0 ) ) )  ->  S (  _I  |`  U. U. R ) x )
65 df-br 4213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S (  _I  |`  U. U. R ) x  <->  <. S ,  x >.  e.  (  _I  |`  U. U. R ) )
6664, 65sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S (  _I  |`  U. U. R ) x  /\  ( E. i ( i  =  S  /\  ph  /\  et )  /\  ( et  /\  0  e.  NN0 ) ) )  ->  <. S ,  x >.  e.  (  _I  |`  U. U. R ) )
67 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  x  e. 
_V
6867opelres 5151 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <. S ,  x >.  e.  (  _I  |`  U. U. R )  <->  ( <. S ,  x >.  e.  _I  /\  S  e.  U. U. R ) )
6966, 68sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S (  _I  |`  U. U. R ) x  /\  ( E. i ( i  =  S  /\  ph  /\  et )  /\  ( et  /\  0  e.  NN0 ) ) )  -> 
( <. S ,  x >.  e.  _I  /\  S  e.  U. U. R ) )
70 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( <. S ,  x >.  e.  _I  /\  S  e.  U. U. R )  /\  ( S (  _I  |`  U. U. R
) x  /\  ( E. i ( i  =  S  /\  ph  /\  et )  /\  ( et  /\  0  e.  NN0 ) ) ) )  ->  <. S ,  x >.  e.  _I  )
71 df-br 4213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  _I  x  <->  <. S ,  x >.  e.  _I  )
7270, 71sylibr 204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( <. S ,  x >.  e.  _I  /\  S  e.  U. U. R )  /\  ( S (  _I  |`  U. U. R
) x  /\  ( E. i ( i  =  S  /\  ph  /\  et )  /\  ( et  /\  0  e.  NN0 ) ) ) )  ->  S  _I  x
)
7367ideq 5025 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  _I  x  <->  S  =  x )
7472, 73sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( <. S ,  x >.  e.  _I  /\  S  e.  U. U. R )  /\  ( S (  _I  |`  U. U. R
) x  /\  ( E. i ( i  =  S  /\  ph  /\  et )  /\  ( et  /\  0  e.  NN0 ) ) ) )  ->  S  =  x )
7569, 74mpancom 651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S (  _I  |`  U. U. R ) x  /\  ( E. i ( i  =  S  /\  ph  /\  et )  /\  ( et  /\  0  e.  NN0 ) ) )  ->  S  =  x )
76 breq1 4215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  =  x  ->  ( S (  _I  |`  U. U. R ) x  <->  x (  _I  |`  U. U. R
) x ) )
77 eqeq2 2445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S  =  x  ->  (
i  =  S  <->  i  =  x ) )
78773anbi1d 1258 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  =  x  ->  (
( i  =  S  /\  ph  /\  et )  <-> 
( i  =  x  /\  ph  /\  et ) ) )
7978exbidv 1636 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  =  x  ->  ( E. i ( i  =  S  /\  ph  /\  et )  <->  E. i ( i  =  x  /\  ph  /\  et ) ) )
8079anbi1d 686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  =  x  ->  (
( E. i ( i  =  S  /\  ph 
/\  et )  /\  ( et  /\  0  e.  NN0 ) )  <->  ( E. i ( i  =  x  /\  ph  /\  et )  /\  ( et  /\  0  e.  NN0 ) ) ) )
8176, 80anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  =  x  ->  (
( S (  _I  |`  U. U. R ) x  /\  ( E. i ( i  =  S  /\  ph  /\  et )  /\  ( et  /\  0  e.  NN0 ) ) )  <->  ( x
(  _I  |`  U. U. R ) x  /\  ( E. i ( i  =  x  /\  ph  /\  et )  /\  ( et  /\  0  e.  NN0 ) ) ) ) )
82 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( et  /\  ( ph  /\  i  =  x ) )  ->  ph )
83 relexpindlem.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  =  x  ->  ( ph 
<->  ps ) )
8483ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( et  /\  ( ph  /\  i  =  x ) )  ->  ( ph  <->  ps ) )
8582, 84mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( et  /\  ( ph  /\  i  =  x ) )  ->  ps )
8685expcom 425 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  =  x )  ->  ( et  ->  ps ) )
8786expcom 425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  x  ->  ( ph  ->  ( et  ->  ps ) ) )
88873imp 1147 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  =  x  /\  ph 
/\  et )  ->  ps )
8988exlimiv 1644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. i ( i  =  x  /\  ph  /\  et )  ->  ps )
9089ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x (  _I  |`  U. U. R ) x  /\  ( E. i ( i  =  x  /\  ph  /\  et )  /\  ( et  /\  0  e.  NN0 ) ) )  ->  ps )
9181, 90syl6bi 220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  =  x  ->  (
( S (  _I  |`  U. U. R ) x  /\  ( E. i ( i  =  S  /\  ph  /\  et )  /\  ( et  /\  0  e.  NN0 ) ) )  ->  ps ) )
9275, 91mpcom 34 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S (  _I  |`  U. U. R ) x  /\  ( E. i ( i  =  S  /\  ph  /\  et )  /\  ( et  /\  0  e.  NN0 ) ) )  ->  ps )
9392expcom 425 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E. i ( i  =  S  /\  ph  /\  et )  /\  ( et  /\  0  e.  NN0 ) )  ->  ( S (  _I  |`  U. U. R ) x  ->  ps ) )
9463, 93mpancom 651 . . . . . . . 8  |-  ( ( et  /\  0  e. 
NN0 )  ->  ( S (  _I  |`  U. U. R ) x  ->  ps ) )
95 breq 4214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( S ( R ^ r 0 ) x  <->  S (  _I  |`  U. U. R
) x ) )
9695imbi1d 309 . . . . . . . 8  |-  ( ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( ( S ( R ^ r 0 ) x  ->  ps )  <->  ( S (  _I  |`  U. U. R
) x  ->  ps ) ) )
9794, 96syl5ibr 213 . . . . . . 7  |-  ( ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( ( et 
/\  0  e.  NN0 )  ->  ( S ( R ^ r 0 ) x  ->  ps ) ) )
9833, 97mpcom 34 . . . . . 6  |-  ( ( et  /\  0  e. 
NN0 )  ->  ( S ( R ^
r 0 ) x  ->  ps ) )
9998alrimiv 1641 . . . . 5  |-  ( ( et  /\  0  e. 
NN0 )  ->  A. x
( S ( R ^ r 0 ) x  ->  ps )
)
100 breq2 4216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  x  ->  ( S ( R ^
r l ) i  <-> 
S ( R ^
r l ) x ) )
101100, 83imbi12d 312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  x  ->  (
( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )  <->  ( S
( R ^ r l ) x  ->  ps ) ) )
102101cbvalv 1984 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )  <->  A. x ( S ( R ^ r l ) x  ->  ps ) )
103102bicomi 194 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x ( S ( R ^ r l ) x  ->  ps ) 
<-> 
A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )
104 imbi2 315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. x ( S ( R ^ r l ) x  ->  ps )  <->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  ->  (
( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^ r l ) x  ->  ps ) )  <->  ( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) ) ) )
105104anbi1d 686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. x ( S ( R ^ r l ) x  ->  ps )  <->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  ->  (
( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^ r l ) x  ->  ps ) )  /\  l  e.  NN0 )  <->  ( (
( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i
( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  l  e.  NN0 ) ) )
106105anbi2d 685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. x ( S ( R ^ r l ) x  ->  ps )  <->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  ->  (
( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^ r l ) x  ->  ps ) )  /\  l  e.  NN0 ) )  <->  ( (
l  +  1 )  e.  NN0  /\  (
( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )
)  /\  l  e.  NN0 ) ) ) )
107106anbi2d 685 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x ( S ( R ^ r l ) x  ->  ps )  <->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  ->  (
( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^ r l ) x  ->  ps ) )  /\  l  e.  NN0 ) ) )  <-> 
( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  l  e.  NN0 ) ) ) ) )
108 simpl 444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  (
( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )
)  /\  l  e.  NN0 ) ) )  ->  et )
109 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  (
( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )
)  /\  l  e.  NN0 ) ) )  -> 
l  e.  NN0 )
11030, 31relexpsucl 25132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( et 
->  ( l  e.  NN0  ->  ( R ^ r ( l  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r l ) ) ) )
111108, 109, 110sylc 58 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  (
( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )
)  /\  l  e.  NN0 ) ) )  -> 
( R ^ r ( l  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r l ) ) )
112 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  /\  ( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  l  e.  NN0 ) ) ) )  ->  S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x )
11337ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  /\  ( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  l  e.  NN0 ) ) ) )  ->  S  e.  _V )
114 brcog 5039 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S  e.  _V  /\  x  e.  _V )  ->  ( S ( R  o.  ( R ^
r l ) ) x  <->  E. j ( S ( R ^ r l ) j  /\  j R x ) ) )
115113, 67, 114sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  /\  ( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  l  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ( S
( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  <->  E. j
( S ( R ^ r l ) j  /\  j R x ) ) )
116112, 115mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  /\  ( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  l  e.  NN0 ) ) ) )  ->  E. j
( S ( R ^ r l ) j  /\  j R x ) )
117 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  /\  ( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) )  ->  et )
118 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x ) ) ) )  ->  l  e.  NN0 )
119118ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  /\  ( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) )  ->  l  e.  NN0 )
120117, 119jca 519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  /\  ( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) )  ->  ( et  /\  l  e.  NN0 ) )
121 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x ) ) ) )  ->  ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) ) )
122121ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  /\  ( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) )  ->  (
( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i
( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) ) )
123120, 122mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  /\  ( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) )  ->  A. i
( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )
124 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )  /\  ( S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  /\  ( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) ) )  ->  et )
125 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )
)  /\  ( l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^ r l ) j  /\  j R x ) ) )  ->  j R x )
126125ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  (
( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )
)  /\  ( l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^ r l ) j  /\  j R x ) ) ) ) )  -> 
j R x )
127126ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )  /\  ( S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  /\  ( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) ) )  -> 
j R x )
128 breq2 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( i  =  j  ->  ( S ( R ^
r l ) i  <-> 
S ( R ^
r l ) j ) )
129 relexpindlem.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( i  =  j  ->  ( ph 
<->  th ) )
130128, 129imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( i  =  j  ->  (
( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )  <->  ( S
( R ^ r l ) j  ->  th ) ) )
131130cbvalv 1984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )  <->  A. j ( S ( R ^ r l ) j  ->  th )
)
132 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )  <->  A. j ( S ( R ^ r l ) j  ->  th ) )  ->  ( A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )  <->  A. j ( S ( R ^ r l ) j  ->  th )
) )
133 imbi2 315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )  <->  A. j ( S ( R ^ r l ) j  ->  th ) )  ->  (
( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )
)  <->  ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. j ( S ( R ^ r l ) j  ->  th ) ) ) )
134133anbi1d 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )  <->  A. j ( S ( R ^ r l ) j  ->  th ) )  ->  (
( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x ) ) )  <->  ( (
( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. j
( S ( R ^ r l ) j  ->  th )
)  /\  ( l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^ r l ) j  /\  j R x ) ) ) ) )
135134anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )  <->  A. j ( S ( R ^ r l ) j  ->  th ) )  ->  (
( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x ) ) ) )  <-> 
( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. j ( S ( R ^ r l ) j  ->  th ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) )
136135anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )  <->  A. j ( S ( R ^ r l ) j  ->  th ) )  ->  (
( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x ) ) ) ) )  <->  ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. j ( S ( R ^ r l ) j  ->  th ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) ) )
137136anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )  <->  A. j ( S ( R ^ r l ) j  ->  th ) )  ->  (
( S ( R  o.  ( R ^
r l ) ) x  /\  ( et 
/\  ( ( l  +  1 )  e. 
NN0  /\  ( (
( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i
( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  ( l  e. 
NN0  /\  ( S
( R ^ r l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) )  <-> 
( S ( R  o.  ( R ^
r l ) ) x  /\  ( et 
/\  ( ( l  +  1 )  e. 
NN0  /\  ( (
( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. j
( S ( R ^ r l ) j  ->  th )
)  /\  ( l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^ r l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) ) ) )
138132, 137anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )  <->  A. j ( S ( R ^ r l ) j  ->  th ) )  ->  (
( A. i ( S ( R ^
r l ) i  ->  ph )  /\  ( S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  /\  ( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) ) )  <->  ( A. j ( S ( R ^ r l ) j  ->  th )  /\  ( S ( R  o.  ( R ^
r l ) ) x  /\  ( et 
/\  ( ( l  +  1 )  e. 
NN0  /\  ( (
( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. j
( S ( R ^ r l ) j  ->  th )
)  /\  ( l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^ r l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) ) ) ) )
139 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. j ( S ( R ^ r l ) j  ->  th )
)  /\  ( l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^ r l ) j  /\  j R x ) ) )  ->  S ( R ^ r l ) j )
140139ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  (
( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. j ( S ( R ^ r l ) j  ->  th )
)  /\  ( l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^ r l ) j  /\  j R x ) ) ) ) )  ->  S ( R ^
r l ) j )
141140ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( A. j ( S ( R ^ r l ) j  ->  th )  /\  ( S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  /\  ( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. j ( S ( R ^ r l ) j  ->  th ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) ) )  ->  S ( R ^
r l ) j )
142 sp 1763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( A. j ( S ( R ^ r l ) j  ->  th )  ->  ( S ( R ^ r l ) j  ->  th )
)
143142adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( A. j ( S ( R ^ r l ) j  ->  th )  /\  ( S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  /\  ( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. j ( S ( R ^ r l ) j  ->  th ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) ) )  -> 
( S ( R ^ r l ) j  ->  th )
)
144141, 143mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( A. j ( S ( R ^ r l ) j  ->  th )  /\  ( S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  /\  ( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. j ( S ( R ^ r l ) j  ->  th ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) ) )  ->  th )
145138, 144syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )  <->  A. j ( S ( R ^ r l ) j  ->  th ) )  ->  (
( A. i ( S ( R ^
r l ) i  ->  ph )  /\  ( S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  /\  ( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) ) )  ->  th ) )
146131, 145ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )  /\  ( S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  /\  ( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) ) )  ->  th )
147 relexpindlem.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( et 
->  ( j R x  ->  ( th  ->  ps ) ) )
148124, 127, 146, 147syl3c 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )  /\  ( S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  /\  ( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) ) )  ->  ps )
149123, 148mpancom 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  /\  ( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) )  ->  ps )
150149expcom 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  (
( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )
)  /\  ( l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^ r l ) j  /\  j R x ) ) ) ) )  -> 
( S ( R  o.  ( R ^
r l ) ) x  ->  ps )
)
151150expcom 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x ) ) ) )  ->  ( et  ->  ( S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  ->  ps ) ) )
152151expcom 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )
)  /\  ( l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^ r l ) j  /\  j R x ) ) )  ->  ( (
l  +  1 )  e.  NN0  ->  ( et 
->  ( S ( R  o.  ( R ^
r l ) ) x  ->  ps )
) ) )
153152anassrs 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  l  e.  NN0 )  /\  ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x ) )  ->  (
( l  +  1 )  e.  NN0  ->  ( et  ->  ( S
( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  ->  ps ) ) ) )
154153impcom 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( ( et  /\  l  e. 
NN0 )  ->  A. i
( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  l  e.  NN0 )  /\  ( S ( R ^ r l ) j  /\  j R x ) ) )  ->  ( et  ->  ( S ( R  o.  ( R ^
r l ) ) x  ->  ps )
) )
155154anassrs 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  l  e.  NN0 ) )  /\  ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x ) )  ->  ( et  ->  ( S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  ->  ps ) ) )
156155impcom 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( et  /\  ( ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  l  e.  NN0 ) )  /\  ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x ) ) )  -> 
( S ( R  o.  ( R ^
r l ) ) x  ->  ps )
)
157156anassrs 630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  l  e.  NN0 ) ) )  /\  ( S ( R ^ r l ) j  /\  j R x ) )  ->  ( S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  ->  ps ) )
158157impcom 420 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  /\  ( ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  l  e.  NN0 ) ) )  /\  ( S ( R ^ r l ) j  /\  j R x ) ) )  ->  ps )
159158anassrs 630 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S ( R  o.  ( R ^
r l ) ) x  /\  ( et 
/\  ( ( l  +  1 )  e. 
NN0  /\  ( (
( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i
( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  l  e.  NN0 ) ) ) )  /\  ( S ( R ^ r l ) j  /\  j R x ) )  ->  ps )
160116, 159exlimddv 1648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  /\  ( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  l  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ps )
161160expcom 425 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  (
( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )
)  /\  l  e.  NN0 ) ) )  -> 
( S ( R  o.  ( R ^
r l ) ) x  ->  ps )
)
162 breq 4214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R ^ r ( l  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^
r l ) )  ->  ( S ( R ^ r ( l  +  1 ) ) x  <->  S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x ) )
163162imbi1d 309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R ^ r ( l  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^
r l ) )  ->  ( ( S ( R ^ r ( l  +  1 ) ) x  ->  ps )  <->  ( S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  ->  ps ) ) )
164161, 163syl5ibr 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R ^ r ( l  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^
r l ) )  ->  ( ( et 
/\  ( ( l  +  1 )  e. 
NN0  /\  ( (
( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i
( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  l  e.  NN0 ) ) )  -> 
( S ( R ^ r ( l  +  1 ) ) x  ->  ps )
) )
165111, 164mpcom 34 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  (
( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )
)  /\  l  e.  NN0 ) ) )  -> 
( S ( R ^ r ( l  +  1 ) ) x  ->  ps )
)
166165alrimiv 1641 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  (
( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )
)  /\  l  e.  NN0 ) ) )  ->  A. x ( S ( R ^ r ( l  +  1 ) ) x  ->  ps ) )
167107, 166syl6bi 220 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x ( S ( R ^ r l ) x  ->  ps )  <->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  ->  (
( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^ r l ) x  ->  ps ) )  /\  l  e.  NN0 ) ) )  ->  A. x ( S ( R ^ r ( l  +  1 ) ) x  ->  ps ) ) )
168103, 167ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  (
( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^ r l ) x  ->  ps ) )  /\  l  e.  NN0 ) ) )  ->  A. x ( S ( R ^ r ( l  +  1 ) ) x  ->  ps ) )
169168anassrs 630 . . . . . . 7  |-  ( ( ( et  /\  (
l  +  1 )  e.  NN0 )  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^ r l ) x  ->  ps ) )  /\  l  e.  NN0 ) )  ->  A. x ( S ( R ^ r ( l  +  1 ) ) x  ->  ps ) )
170169expcom 425 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^ r l ) x  ->  ps ) )  /\  l  e.  NN0 )  ->  (
( et  /\  (
l  +  1 )  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^ r ( l  +  1 ) ) x  ->  ps ) ) )
171170expcom 425 . . . . 5  |-  ( l  e.  NN0  ->  ( ( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. x
( S ( R ^ r l ) x  ->  ps )
)  ->  ( ( et  /\  ( l  +  1 )  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^ r ( l  +  1 ) ) x  ->  ps ) ) ) )
1728, 15, 22, 29, 99, 171nn0ind 10366 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( et  /\  n  e. 
NN0 )  ->  A. x
( S ( R ^ r n ) x  ->  ps )
) )
1731, 172mpcom 34 . . 3  |-  ( ( et  /\  n  e. 
NN0 )  ->  A. x
( S ( R ^ r n ) x  ->  ps )
)
17417319.21bi 1774 . 2  |-  ( ( et  /\  n  e. 
NN0 )  ->  ( S ( R ^
r n ) x  ->  ps ) )
175174ex 424 1  |-  ( et 
->  ( n  e.  NN0  ->  ( S ( R ^ r n ) x  ->  ps )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1549   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956   <.cop 3817   U.cuni 4015   class class class wbr 4212    _I cid 4493    |` cres 4880    o. ccom 4882   Rel wrel 4883  (class class class)co 6081   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993   NN0cn0 10221   ^ rcrelexp 25127
This theorem is referenced by:  relexpind  25140
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-seq 11324  df-relexp 25128
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