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Theorem relexpindlem 25139
 Description: Principle of transitive induction, finite and non-class version. The first three hypotheses give various existences, the next three give necessary substitutions and the last two are the basis and the induction hypothesis. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
relexpindlem.1
relexpindlem.2
relexpindlem.3
relexpindlem.4
relexpindlem.5
relexpindlem.6
relexpindlem.7
relexpindlem.8
Assertion
Ref Expression
relexpindlem
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,,   ,,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,,)   (,,)   ()   ()   ()

Proof of Theorem relexpindlem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . . 4
2 eleq1 2496 . . . . . . 7
32anbi2d 685 . . . . . 6
4 oveq2 6089 . . . . . . . . 9
54breqd 4223 . . . . . . . 8
65imbi1d 309 . . . . . . 7
76albidv 1635 . . . . . 6
83, 7imbi12d 312 . . . . 5
9 eleq1 2496 . . . . . . 7
109anbi2d 685 . . . . . 6
11 oveq2 6089 . . . . . . . . 9
1211breqd 4223 . . . . . . . 8
1312imbi1d 309 . . . . . . 7
1413albidv 1635 . . . . . 6
1510, 14imbi12d 312 . . . . 5
16 eleq1 2496 . . . . . . 7
1716anbi2d 685 . . . . . 6
18 oveq2 6089 . . . . . . . . 9
1918breqd 4223 . . . . . . . 8
2019imbi1d 309 . . . . . . 7
2120albidv 1635 . . . . . 6
2217, 21imbi12d 312 . . . . 5
23 eleq1 2496 . . . . . . 7
2423anbi2d 685 . . . . . 6
25 oveq2 6089 . . . . . . . . 9
2625breqd 4223 . . . . . . . 8
2726imbi1d 309 . . . . . . 7
2827albidv 1635 . . . . . 6
2924, 28imbi12d 312 . . . . 5
30 relexpindlem.1 . . . . . . . . 9
31 relexpindlem.2 . . . . . . . . 9
3230, 31relexp0 25129 . . . . . . . 8
3332adantr 452 . . . . . . 7
34 relexpindlem.7 . . . . . . . . . . 11
3534adantr 452 . . . . . . . . . 10
36 simpl 444 . . . . . . . . . 10
37 relexpindlem.3 . . . . . . . . . . . 12
3837adantl 453 . . . . . . . . . . 11
3934ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
40 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4139, 40jca 519 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4241expcom 425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4342expcom 425 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4443expcom 425 . . . . . . . . . . . . . . 15
45443imp1 1166 . . . . . . . . . . . . . 14
4645expcom 425 . . . . . . . . . . . . 13
47 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4847adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16
49 relexpindlem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5049ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5150bicomd 193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
52 anbi1 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
53 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5452, 53syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5551, 54mpcom 34 . . . . . . . . . . . . . . . 16
56 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5748, 55, 563jca 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15
5857anassrs 630 . . . . . . . . . . . . . 14
5958expcom 425 . . . . . . . . . . . . 13
6046, 59impbid 184 . . . . . . . . . . . 12
6160spcegv 3037 . . . . . . . . . . 11
6238, 61mpcom 34 . . . . . . . . . 10
6335, 36, 62syl2anc 643 . . . . . . . . 9
64 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . 14
65 df-br 4213 . . . . . . . . . . . . . 14
6664, 65sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13
67 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . 14
6867opelres 5151 . . . . . . . . . . . . 13
6966, 68sylib 189 . . . . . . . . . . . 12
70 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . 14
71 df-br 4213 . . . . . . . . . . . . . 14
7270, 71sylibr 204 . . . . . . . . . . . . 13
7367ideq 5025 . . . . . . . . . . . . 13
7472, 73sylib 189 . . . . . . . . . . . 12
7569, 74mpancom 651 . . . . . . . . . . 11
76 breq1 4215 . . . . . . . . . . . . 13
77 eqeq2 2445 . . . . . . . . . . . . . . . 16
78773anbi1d 1258 . . . . . . . . . . . . . . 15
7978exbidv 1636 . . . . . . . . . . . . . 14
8079anbi1d 686 . . . . . . . . . . . . 13
8176, 80anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12
82 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
83 relexpindlem.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8483ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8582, 84mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8685expcom 425 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8786expcom 425 . . . . . . . . . . . . . . 15
88873imp 1147 . . . . . . . . . . . . . 14
8988exlimiv 1644 . . . . . . . . . . . . 13
9089ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . 12
9181, 90syl6bi 220 . . . . . . . . . . 11
9275, 91mpcom 34 . . . . . . . . . 10
9392expcom 425 . . . . . . . . 9
9463, 93mpancom 651 . . . . . . . 8
95 breq 4214 . . . . . . . . 9
9695imbi1d 309 . . . . . . . 8
9794, 96syl5ibr 213 . . . . . . 7
9833, 97mpcom 34 . . . . . 6
9998alrimiv 1641 . . . . 5
100 breq2 4216 . . . . . . . . . . . 12
101100, 83imbi12d 312 . . . . . . . . . . 11
102101cbvalv 1984 . . . . . . . . . 10
103102bicomi 194 . . . . . . . . 9
104 imbi2 315 . . . . . . . . . . . . 13
105104anbi1d 686 . . . . . . . . . . . 12
106105anbi2d 685 . . . . . . . . . . 11
107106anbi2d 685 . . . . . . . . . 10
108 simpl 444 . . . . . . . . . . . . 13
109 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . 13
11030, 31relexpsucl 25132 . . . . . . . . . . . . 13
111108, 109, 110sylc 58 . . . . . . . . . . . 12
112 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11337ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
114 brcog 5039 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
115113, 67, 114sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16
116112, 115mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15
117 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
118 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
119118ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
120117, 119jca 519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
121 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
122121ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
123120, 122mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
124 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
125 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
126125ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
127126ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
128 breq2 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
129 relexpindlem.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
130128, 129imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
131130cbvalv 1984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
132 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
133 imbi2 315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
134133anbi1d 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
135134anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
136135anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
137136anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
138132, 137anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
139 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
140139ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
141140ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
142 sp 1763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
143142adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
144141, 143mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
145138, 144syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
146131, 145ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
147 relexpindlem.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
148124, 127, 146, 147syl3c 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
149123, 148mpancom 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
150149expcom 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
151150expcom 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
152151expcom 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
153152anassrs 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
154153impcom 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
155154anassrs 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
156155impcom 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
157156anassrs 630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
158157impcom 420 . . . . . . . . . . . . . . . 16
159158anassrs 630 . . . . . . . . . . . . . . 15
160116, 159exlimddv 1648 . . . . . . . . . . . . . 14
161160expcom 425 . . . . . . . . . . . . 13
162 breq 4214 . . . . . . . . . . . . . 14
163162imbi1d 309 . . . . . . . . . . . . 13
164161, 163syl5ibr 213 . . . . . . . . . . . 12
165111, 164mpcom 34 . . . . . . . . . . 11
166165alrimiv 1641 . . . . . . . . . 10
167107, 166syl6bi 220 . . . . . . . . 9
168103, 167ax-mp 8 . . . . . . . 8
169168anassrs 630 . . . . . . 7
170169expcom 425 . . . . . 6
171170expcom 425 . . . . 5
1728, 15, 22, 29, 99, 171nn0ind 10366 . . . 4
1731, 172mpcom 34 . . 3
17417319.21bi 1774 . 2
175174ex 424 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936  wal 1549  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2956  cop 3817  cuni 4015   class class class wbr 4212   cid 4493   cres 4880   ccom 4882   wrel 4883  (class class class)co 6081  cc0 8990  c1 8991   caddc 8993  cn0 10221  crelexp 25127 This theorem is referenced by:  relexpind  25140 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-seq 11324  df-relexp 25128
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