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Theorem relexpindlem 24036
Description: Principle of transitive induction, finite and non-class version. The first three hypotheses give various existences, the next three give necessary substitutions and the last two are the basis and the induction hypothesis. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
relexpindlem.1  |-  ( et 
->  Rel  R )
relexpindlem.2  |-  ( et 
->  R  e.  _V )
relexpindlem.3  |-  ( et 
->  S  e.  _V )
relexpindlem.4  |-  ( i  =  S  ->  ( ph 
<->  ch ) )
relexpindlem.5  |-  ( i  =  x  ->  ( ph 
<->  ps ) )
relexpindlem.6  |-  ( i  =  j  ->  ( ph 
<->  th ) )
relexpindlem.7  |-  ( et 
->  ch )
relexpindlem.8  |-  ( et 
->  ( j R x  ->  ( th  ->  ps ) ) )
Assertion
Ref Expression
relexpindlem  |-  ( et 
->  ( n  e.  NN0  ->  ( S ( R ^ r n ) x  ->  ps )
) )
Distinct variable groups:    x, n    et, x    x, S    x, R, i    et, i, j, x    S, i, j    R, i, j    ps, i, j    ch, i    th, i    ph, j, x
Allowed substitution hints:    ph( i, n)    ps( x, n)    ch( x, j, n)    th( x, j, n)    et( n)    R( n)    S( n)

Proof of Theorem relexpindlem
Dummy variables  k 
l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( et  /\  n  e. 
NN0 )  ->  n  e.  NN0 )
2 eleq1 2343 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  (
k  e.  NN0  <->  0  e.  NN0 ) )
32anbi2d 684 . . . . . 6  |-  ( k  =  0  ->  (
( et  /\  k  e.  NN0 )  <->  ( et  /\  0  e.  NN0 ) ) )
4 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  ( R ^ r k )  =  ( R ^
r 0 ) )
54breqd 4034 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  ( S ( R ^
r k ) x  <-> 
S ( R ^
r 0 ) x ) )
65imbi1d 308 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  (
( S ( R ^ r k ) x  ->  ps )  <->  ( S ( R ^
r 0 ) x  ->  ps ) ) )
76albidv 1611 . . . . . 6  |-  ( k  =  0  ->  ( A. x ( S ( R ^ r k ) x  ->  ps ) 
<-> 
A. x ( S ( R ^ r 0 ) x  ->  ps ) ) )
83, 7imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( k  =  0  ->  (
( ( et  /\  k  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^ r k ) x  ->  ps ) )  <->  ( ( et  /\  0  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^ r 0 ) x  ->  ps ) ) ) )
9 eleq1 2343 . . . . . . 7  |-  ( k  =  l  ->  (
k  e.  NN0  <->  l  e.  NN0 ) )
109anbi2d 684 . . . . . 6  |-  ( k  =  l  ->  (
( et  /\  k  e.  NN0 )  <->  ( et  /\  l  e.  NN0 ) ) )
11 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  l  ->  ( R ^ r k )  =  ( R ^
r l ) )
1211breqd 4034 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  l  ->  ( S ( R ^
r k ) x  <-> 
S ( R ^
r l ) x ) )
1312imbi1d 308 . . . . . . 7  |-  ( k  =  l  ->  (
( S ( R ^ r k ) x  ->  ps )  <->  ( S ( R ^
r l ) x  ->  ps ) ) )
1413albidv 1611 . . . . . 6  |-  ( k  =  l  ->  ( A. x ( S ( R ^ r k ) x  ->  ps ) 
<-> 
A. x ( S ( R ^ r l ) x  ->  ps ) ) )
1510, 14imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( k  =  l  ->  (
( ( et  /\  k  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^ r k ) x  ->  ps ) )  <->  ( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^ r l ) x  ->  ps ) ) ) )
16 eleq1 2343 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( l  +  1 )  ->  (
k  e.  NN0  <->  ( l  +  1 )  e. 
NN0 ) )
1716anbi2d 684 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( l  +  1 )  ->  (
( et  /\  k  e.  NN0 )  <->  ( et  /\  ( l  +  1 )  e.  NN0 )
) )
18 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( l  +  1 )  ->  ( R ^ r k )  =  ( R ^
r ( l  +  1 ) ) )
1918breqd 4034 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( l  +  1 )  ->  ( S ( R ^
r k ) x  <-> 
S ( R ^
r ( l  +  1 ) ) x ) )
2019imbi1d 308 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( l  +  1 )  ->  (
( S ( R ^ r k ) x  ->  ps )  <->  ( S ( R ^
r ( l  +  1 ) ) x  ->  ps ) ) )
2120albidv 1611 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( l  +  1 )  ->  ( A. x ( S ( R ^ r k ) x  ->  ps ) 
<-> 
A. x ( S ( R ^ r ( l  +  1 ) ) x  ->  ps ) ) )
2217, 21imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( k  =  ( l  +  1 )  ->  (
( ( et  /\  k  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^ r k ) x  ->  ps ) )  <->  ( ( et  /\  ( l  +  1 )  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^ r ( l  +  1 ) ) x  ->  ps ) ) ) )
23 eleq1 2343 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
k  e.  NN0  <->  n  e.  NN0 ) )
2423anbi2d 684 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  (
( et  /\  k  e.  NN0 )  <->  ( et  /\  n  e.  NN0 ) ) )
25 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  ( R ^ r k )  =  ( R ^
r n ) )
2625breqd 4034 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  ( S ( R ^
r k ) x  <-> 
S ( R ^
r n ) x ) )
2726imbi1d 308 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( S ( R ^ r k ) x  ->  ps )  <->  ( S ( R ^
r n ) x  ->  ps ) ) )
2827albidv 1611 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  ( A. x ( S ( R ^ r k ) x  ->  ps ) 
<-> 
A. x ( S ( R ^ r n ) x  ->  ps ) ) )
2924, 28imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( et  /\  k  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^ r k ) x  ->  ps ) )  <->  ( ( et  /\  n  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^ r n ) x  ->  ps ) ) ) )
30 relexpindlem.1 . . . . . . . . 9  |-  ( et 
->  Rel  R )
31 relexpindlem.2 . . . . . . . . 9  |-  ( et 
->  R  e.  _V )
3230, 31relexp0 24025 . . . . . . . 8  |-  ( et 
->  ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
3332adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( et  /\  0  e. 
NN0 )  ->  ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
34 relexpindlem.7 . . . . . . . . . . 11  |-  ( et 
->  ch )
3534adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( et  /\  0  e. 
NN0 )  ->  ch )
36 simpl 443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( et  /\  0  e. 
NN0 )  ->  et )
37 relexpindlem.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( et 
->  S  e.  _V )
3837adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ch  /\  et )  ->  S  e.  _V )
3934ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( i  =  S  /\  ( et  /\  ( ph  /\  i  =  S ) ) )  ->  ch )
40 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( i  =  S  /\  ( et  /\  ( ph  /\  i  =  S ) ) )  ->  et )
4139, 40jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( i  =  S  /\  ( et  /\  ( ph  /\  i  =  S ) ) )  -> 
( ch  /\  et ) )
4241expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( et  /\  ( ph  /\  i  =  S ) )  ->  ( i  =  S  ->  ( ch 
/\  et ) ) )
4342expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  =  S )  ->  ( et  ->  ( i  =  S  ->  ( ch  /\  et ) ) ) )
4443expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  S  ->  ( ph  ->  ( et  ->  ( i  =  S  -> 
( ch  /\  et ) ) ) ) )
45443imp1 1164 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( i  =  S  /\  ph  /\  et )  /\  i  =  S )  ->  ( ch  /\  et ) )
4645expcom 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  S  ->  (
( i  =  S  /\  ph  /\  et )  ->  ( ch  /\  et ) ) )
47 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( et  /\  i  =  S )  ->  i  =  S )
4847adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ch  /\  ( et 
/\  i  =  S ) )  ->  i  =  S )
49 relexpindlem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  =  S  ->  ( ph 
<->  ch ) )
5049ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ch  /\  ( et 
/\  i  =  S ) )  ->  ( ph 
<->  ch ) )
5150bicomd 192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ch  /\  ( et 
/\  i  =  S ) )  ->  ( ch 
<-> 
ph ) )
52 anbi1 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ch  <->  ph )  ->  (
( ch  /\  ( et  /\  i  =  S ) )  <->  ( ph  /\  ( et  /\  i  =  S ) ) ) )
53 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( et  /\  i  =  S
) )  ->  ph )
5452, 53syl6bi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ch  <->  ph )  ->  (
( ch  /\  ( et  /\  i  =  S ) )  ->  ph )
)
5551, 54mpcom 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ch  /\  ( et 
/\  i  =  S ) )  ->  ph )
56 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ch  /\  ( et 
/\  i  =  S ) )  ->  et )
5748, 55, 563jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ch  /\  ( et 
/\  i  =  S ) )  ->  (
i  =  S  /\  ph 
/\  et ) )
5857anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ch  /\  et )  /\  i  =  S )  ->  ( i  =  S  /\  ph  /\  et ) )
5958expcom 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  S  ->  (
( ch  /\  et )  ->  ( i  =  S  /\  ph  /\  et ) ) )
6046, 59impbid 183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  S  ->  (
( i  =  S  /\  ph  /\  et )  <-> 
( ch  /\  et ) ) )
6160spcegv 2869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  _V  ->  (
( ch  /\  et )  ->  E. i ( i  =  S  /\  ph  /\  et ) ) )
6238, 61mpcom 32 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ch  /\  et )  ->  E. i ( i  =  S  /\  ph  /\  et ) )
6335, 36, 62syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( et  /\  0  e. 
NN0 )  ->  E. i
( i  =  S  /\  ph  /\  et ) )
64 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S (  _I  |`  U. U. R ) x  /\  ( E. i ( i  =  S  /\  ph  /\  et )  /\  ( et  /\  0  e.  NN0 ) ) )  ->  S (  _I  |`  U. U. R ) x )
65 df-br 4024 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S (  _I  |`  U. U. R ) x  <->  <. S ,  x >.  e.  (  _I  |`  U. U. R ) )
6664, 65sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S (  _I  |`  U. U. R ) x  /\  ( E. i ( i  =  S  /\  ph  /\  et )  /\  ( et  /\  0  e.  NN0 ) ) )  ->  <. S ,  x >.  e.  (  _I  |`  U. U. R ) )
67 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  x  e. 
_V
6867opelres 4960 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <. S ,  x >.  e.  (  _I  |`  U. U. R )  <->  ( <. S ,  x >.  e.  _I  /\  S  e.  U. U. R ) )
6966, 68sylib 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S (  _I  |`  U. U. R ) x  /\  ( E. i ( i  =  S  /\  ph  /\  et )  /\  ( et  /\  0  e.  NN0 ) ) )  -> 
( <. S ,  x >.  e.  _I  /\  S  e.  U. U. R ) )
70 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( <. S ,  x >.  e.  _I  /\  S  e.  U. U. R )  /\  ( S (  _I  |`  U. U. R
) x  /\  ( E. i ( i  =  S  /\  ph  /\  et )  /\  ( et  /\  0  e.  NN0 ) ) ) )  ->  <. S ,  x >.  e.  _I  )
71 df-br 4024 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  _I  x  <->  <. S ,  x >.  e.  _I  )
7270, 71sylibr 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( <. S ,  x >.  e.  _I  /\  S  e.  U. U. R )  /\  ( S (  _I  |`  U. U. R
) x  /\  ( E. i ( i  =  S  /\  ph  /\  et )  /\  ( et  /\  0  e.  NN0 ) ) ) )  ->  S  _I  x
)
7367ideq 4836 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  _I  x  <->  S  =  x )
7472, 73sylib 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( <. S ,  x >.  e.  _I  /\  S  e.  U. U. R )  /\  ( S (  _I  |`  U. U. R
) x  /\  ( E. i ( i  =  S  /\  ph  /\  et )  /\  ( et  /\  0  e.  NN0 ) ) ) )  ->  S  =  x )
7569, 74mpancom 650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S (  _I  |`  U. U. R ) x  /\  ( E. i ( i  =  S  /\  ph  /\  et )  /\  ( et  /\  0  e.  NN0 ) ) )  ->  S  =  x )
76 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  =  x  ->  ( S (  _I  |`  U. U. R ) x  <->  x (  _I  |`  U. U. R
) x ) )
77 eqeq2 2292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S  =  x  ->  (
i  =  S  <->  i  =  x ) )
78773anbi1d 1256 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  =  x  ->  (
( i  =  S  /\  ph  /\  et )  <-> 
( i  =  x  /\  ph  /\  et ) ) )
7978exbidv 1612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  =  x  ->  ( E. i ( i  =  S  /\  ph  /\  et )  <->  E. i ( i  =  x  /\  ph  /\  et ) ) )
8079anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  =  x  ->  (
( E. i ( i  =  S  /\  ph 
/\  et )  /\  ( et  /\  0  e.  NN0 ) )  <->  ( E. i ( i  =  x  /\  ph  /\  et )  /\  ( et  /\  0  e.  NN0 ) ) ) )
8176, 80anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  =  x  ->  (
( S (  _I  |`  U. U. R ) x  /\  ( E. i ( i  =  S  /\  ph  /\  et )  /\  ( et  /\  0  e.  NN0 ) ) )  <->  ( x
(  _I  |`  U. U. R ) x  /\  ( E. i ( i  =  x  /\  ph  /\  et )  /\  ( et  /\  0  e.  NN0 ) ) ) ) )
82 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( et  /\  ( ph  /\  i  =  x ) )  ->  ph )
83 relexpindlem.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  =  x  ->  ( ph 
<->  ps ) )
8483ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( et  /\  ( ph  /\  i  =  x ) )  ->  ( ph  <->  ps ) )
8582, 84mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( et  /\  ( ph  /\  i  =  x ) )  ->  ps )
8685expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  =  x )  ->  ( et  ->  ps ) )
8786expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  x  ->  ( ph  ->  ( et  ->  ps ) ) )
88873imp 1145 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  =  x  /\  ph 
/\  et )  ->  ps )
8988exlimiv 1666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. i ( i  =  x  /\  ph  /\  et )  ->  ps )
9089ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x (  _I  |`  U. U. R ) x  /\  ( E. i ( i  =  x  /\  ph  /\  et )  /\  ( et  /\  0  e.  NN0 ) ) )  ->  ps )
9181, 90syl6bi 219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  =  x  ->  (
( S (  _I  |`  U. U. R ) x  /\  ( E. i ( i  =  S  /\  ph  /\  et )  /\  ( et  /\  0  e.  NN0 ) ) )  ->  ps ) )
9275, 91mpcom 32 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S (  _I  |`  U. U. R ) x  /\  ( E. i ( i  =  S  /\  ph  /\  et )  /\  ( et  /\  0  e.  NN0 ) ) )  ->  ps )
9392expcom 424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E. i ( i  =  S  /\  ph  /\  et )  /\  ( et  /\  0  e.  NN0 ) )  ->  ( S (  _I  |`  U. U. R ) x  ->  ps ) )
9463, 93mpancom 650 . . . . . . . 8  |-  ( ( et  /\  0  e. 
NN0 )  ->  ( S (  _I  |`  U. U. R ) x  ->  ps ) )
95 breq 4025 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( S ( R ^ r 0 ) x  <->  S (  _I  |`  U. U. R
) x ) )
9695imbi1d 308 . . . . . . . 8  |-  ( ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( ( S ( R ^ r 0 ) x  ->  ps )  <->  ( S (  _I  |`  U. U. R
) x  ->  ps ) ) )
9794, 96syl5ibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( ( et 
/\  0  e.  NN0 )  ->  ( S ( R ^ r 0 ) x  ->  ps ) ) )
9833, 97mpcom 32 . . . . . 6  |-  ( ( et  /\  0  e. 
NN0 )  ->  ( S ( R ^
r 0 ) x  ->  ps ) )
9998alrimiv 1617 . . . . 5  |-  ( ( et  /\  0  e. 
NN0 )  ->  A. x
( S ( R ^ r 0 ) x  ->  ps )
)
100 breq2 4027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  x  ->  ( S ( R ^
r l ) i  <-> 
S ( R ^
r l ) x ) )
101100, 83imbi12d 311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  x  ->  (
( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )  <->  ( S
( R ^ r l ) x  ->  ps ) ) )
102101cbvalv 1942 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )  <->  A. x ( S ( R ^ r l ) x  ->  ps ) )
103102bicomi 193 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x ( S ( R ^ r l ) x  ->  ps ) 
<-> 
A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )
104 imbi2 314 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. x ( S ( R ^ r l ) x  ->  ps )  <->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  ->  (
( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^ r l ) x  ->  ps ) )  <->  ( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) ) ) )
105104anbi1d 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. x ( S ( R ^ r l ) x  ->  ps )  <->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  ->  (
( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^ r l ) x  ->  ps ) )  /\  l  e.  NN0 )  <->  ( (
( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i
( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  l  e.  NN0 ) ) )
106105anbi2d 684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. x ( S ( R ^ r l ) x  ->  ps )  <->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  ->  (
( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^ r l ) x  ->  ps ) )  /\  l  e.  NN0 ) )  <->  ( (
l  +  1 )  e.  NN0  /\  (
( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )
)  /\  l  e.  NN0 ) ) ) )
107106anbi2d 684 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x ( S ( R ^ r l ) x  ->  ps )  <->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  ->  (
( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^ r l ) x  ->  ps ) )  /\  l  e.  NN0 ) ) )  <-> 
( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  l  e.  NN0 ) ) ) ) )
108 simpl 443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  (
( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )
)  /\  l  e.  NN0 ) ) )  ->  et )
109 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  (
( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )
)  /\  l  e.  NN0 ) ) )  -> 
l  e.  NN0 )
11030, 31relexpsucl 24028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( et 
->  ( l  e.  NN0  ->  ( R ^ r ( l  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r l ) ) ) )
111108, 109, 110sylc 56 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  (
( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )
)  /\  l  e.  NN0 ) ) )  -> 
( R ^ r ( l  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r l ) ) )
112 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  /\  ( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  l  e.  NN0 ) ) ) )  ->  S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x )
11337ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  /\  ( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  l  e.  NN0 ) ) ) )  ->  S  e.  _V )
114 brcog 4850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S  e.  _V  /\  x  e.  _V )  ->  ( S ( R  o.  ( R ^
r l ) ) x  <->  E. j ( S ( R ^ r l ) j  /\  j R x ) ) )
115113, 67, 114sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  /\  ( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  l  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ( S
( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  <->  E. j
( S ( R ^ r l ) j  /\  j R x ) ) )
116112, 115mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  /\  ( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  l  e.  NN0 ) ) ) )  ->  E. j
( S ( R ^ r l ) j  /\  j R x ) )
117 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  /\  ( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) )  ->  et )
118 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x ) ) ) )  ->  l  e.  NN0 )
119118ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  /\  ( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) )  ->  l  e.  NN0 )
120117, 119jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  /\  ( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) )  ->  ( et  /\  l  e.  NN0 ) )
121 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x ) ) ) )  ->  ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) ) )
122121ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  /\  ( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) )  ->  (
( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i
( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) ) )
123120, 122mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  /\  ( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) )  ->  A. i
( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )
124 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )  /\  ( S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  /\  ( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) ) )  ->  et )
125 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )
)  /\  ( l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^ r l ) j  /\  j R x ) ) )  ->  j R x )
126125ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  (
( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )
)  /\  ( l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^ r l ) j  /\  j R x ) ) ) ) )  -> 
j R x )
127126ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )  /\  ( S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  /\  ( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) ) )  -> 
j R x )
128 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( i  =  j  ->  ( S ( R ^
r l ) i  <-> 
S ( R ^
r l ) j ) )
129 relexpindlem.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( i  =  j  ->  ( ph 
<->  th ) )
130128, 129imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( i  =  j  ->  (
( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )  <->  ( S
( R ^ r l ) j  ->  th ) ) )
131130cbvalv 1942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )  <->  A. j ( S ( R ^ r l ) j  ->  th )
)
132 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )  <->  A. j ( S ( R ^ r l ) j  ->  th ) )  ->  ( A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )  <->  A. j ( S ( R ^ r l ) j  ->  th )
) )
133 imbi2 314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )  <->  A. j ( S ( R ^ r l ) j  ->  th ) )  ->  (
( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )
)  <->  ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. j ( S ( R ^ r l ) j  ->  th ) ) ) )
134133anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )  <->  A. j ( S ( R ^ r l ) j  ->  th ) )  ->  (
( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x ) ) )  <->  ( (
( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. j
( S ( R ^ r l ) j  ->  th )
)  /\  ( l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^ r l ) j  /\  j R x ) ) ) ) )
135134anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )  <->  A. j ( S ( R ^ r l ) j  ->  th ) )  ->  (
( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x ) ) ) )  <-> 
( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. j ( S ( R ^ r l ) j  ->  th ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) )
136135anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )  <->  A. j ( S ( R ^ r l ) j  ->  th ) )  ->  (
( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x ) ) ) ) )  <->  ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. j ( S ( R ^ r l ) j  ->  th ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) ) )
137136anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )  <->  A. j ( S ( R ^ r l ) j  ->  th ) )  ->  (
( S ( R  o.  ( R ^
r l ) ) x  /\  ( et 
/\  ( ( l  +  1 )  e. 
NN0  /\  ( (
( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i
( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  ( l  e. 
NN0  /\  ( S
( R ^ r l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) )  <-> 
( S ( R  o.  ( R ^
r l ) ) x  /\  ( et 
/\  ( ( l  +  1 )  e. 
NN0  /\  ( (
( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. j
( S ( R ^ r l ) j  ->  th )
)  /\  ( l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^ r l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) ) ) )
138132, 137anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )  <->  A. j ( S ( R ^ r l ) j  ->  th ) )  ->  (
( A. i ( S ( R ^
r l ) i  ->  ph )  /\  ( S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  /\  ( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) ) )  <->  ( A. j ( S ( R ^ r l ) j  ->  th )  /\  ( S ( R  o.  ( R ^
r l ) ) x  /\  ( et 
/\  ( ( l  +  1 )  e. 
NN0  /\  ( (
( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. j
( S ( R ^ r l ) j  ->  th )
)  /\  ( l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^ r l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) ) ) ) )
139 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. j ( S ( R ^ r l ) j  ->  th )
)  /\  ( l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^ r l ) j  /\  j R x ) ) )  ->  S ( R ^ r l ) j )
140139ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  (
( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. j ( S ( R ^ r l ) j  ->  th )
)  /\  ( l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^ r l ) j  /\  j R x ) ) ) ) )  ->  S ( R ^
r l ) j )
141140ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( A. j ( S ( R ^ r l ) j  ->  th )  /\  ( S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  /\  ( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. j ( S ( R ^ r l ) j  ->  th ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) ) )  ->  S ( R ^
r l ) j )
142 sp 1716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( A. j ( S ( R ^ r l ) j  ->  th )  ->  ( S ( R ^ r l ) j  ->  th )
)
143142adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( A. j ( S ( R ^ r l ) j  ->  th )  /\  ( S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  /\  ( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. j ( S ( R ^ r l ) j  ->  th ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) ) )  -> 
( S ( R ^ r l ) j  ->  th )
)
144141, 143mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( A. j ( S ( R ^ r l ) j  ->  th )  /\  ( S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  /\  ( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. j ( S ( R ^ r l ) j  ->  th ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) ) )  ->  th )
145138, 144syl6bi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )  <->  A. j ( S ( R ^ r l ) j  ->  th ) )  ->  (
( A. i ( S ( R ^
r l ) i  ->  ph )  /\  ( S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  /\  ( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) ) )  ->  th ) )
146131, 145ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )  /\  ( S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  /\  ( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) ) )  ->  th )
147 relexpindlem.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( et 
->  ( j R x  ->  ( th  ->  ps ) ) )
148124, 127, 146, 147syl3c 57 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )  /\  ( S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  /\  ( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) ) )  ->  ps )
149123, 148mpancom 650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  /\  ( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x ) ) ) ) ) )  ->  ps )
150149expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  (
( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )
)  /\  ( l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^ r l ) j  /\  j R x ) ) ) ) )  -> 
( S ( R  o.  ( R ^
r l ) ) x  ->  ps )
)
151150expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  (
l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x ) ) ) )  ->  ( et  ->  ( S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  ->  ps ) ) )
152151expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )
)  /\  ( l  e.  NN0  /\  ( S ( R ^ r l ) j  /\  j R x ) ) )  ->  ( (
l  +  1 )  e.  NN0  ->  ( et 
->  ( S ( R  o.  ( R ^
r l ) ) x  ->  ps )
) ) )
153152anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  l  e.  NN0 )  /\  ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x ) )  ->  (
( l  +  1 )  e.  NN0  ->  ( et  ->  ( S
( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  ->  ps ) ) ) )
154153impcom 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( ( et  /\  l  e. 
NN0 )  ->  A. i
( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  l  e.  NN0 )  /\  ( S ( R ^ r l ) j  /\  j R x ) ) )  ->  ( et  ->  ( S ( R  o.  ( R ^
r l ) ) x  ->  ps )
) )
155154anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  l  e.  NN0 ) )  /\  ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x ) )  ->  ( et  ->  ( S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  ->  ps ) ) )
156155impcom 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( et  /\  ( ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  l  e.  NN0 ) )  /\  ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x ) ) )  -> 
( S ( R  o.  ( R ^
r l ) ) x  ->  ps )
)
157156anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  l  e.  NN0 ) ) )  /\  ( S ( R ^ r l ) j  /\  j R x ) )  ->  ( S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  ->  ps ) )
158157impcom 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  /\  ( ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  l  e.  NN0 ) ) )  /\  ( S ( R ^ r l ) j  /\  j R x ) ) )  ->  ps )
159158anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( S ( R  o.  ( R ^
r l ) ) x  /\  ( et 
/\  ( ( l  +  1 )  e. 
NN0  /\  ( (
( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i
( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  l  e.  NN0 ) ) ) )  /\  ( S ( R ^ r l ) j  /\  j R x ) )  ->  ps )
160159expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S ( R ^
r l ) j  /\  j R x )  ->  ( ( S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  /\  ( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  l  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ps )
)
161160exlimiv 1666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. j ( S ( R ^ r l ) j  /\  j R x )  -> 
( ( S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  /\  ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e. 
NN0  /\  ( (
( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i
( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  l  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ps ) )
162116, 161mpcom 32 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  /\  ( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  l  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ps )
163162expcom 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  (
( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )
)  /\  l  e.  NN0 ) ) )  -> 
( S ( R  o.  ( R ^
r l ) ) x  ->  ps )
)
164 breq 4025 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R ^ r ( l  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^
r l ) )  ->  ( S ( R ^ r ( l  +  1 ) ) x  <->  S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x ) )
165164imbi1d 308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R ^ r ( l  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^
r l ) )  ->  ( ( S ( R ^ r ( l  +  1 ) ) x  ->  ps )  <->  ( S ( R  o.  ( R ^ r l ) ) x  ->  ps ) ) )
166163, 165syl5ibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R ^ r ( l  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^
r l ) )  ->  ( ( et 
/\  ( ( l  +  1 )  e. 
NN0  /\  ( (
( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i
( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  /\  l  e.  NN0 ) ) )  -> 
( S ( R ^ r ( l  +  1 ) ) x  ->  ps )
) )
167111, 166mpcom 32 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  (
( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )
)  /\  l  e.  NN0 ) ) )  -> 
( S ( R ^ r ( l  +  1 ) ) x  ->  ps )
)
168167alrimiv 1617 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  (
( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph )
)  /\  l  e.  NN0 ) ) )  ->  A. x ( S ( R ^ r ( l  +  1 ) ) x  ->  ps ) )
169107, 168syl6bi 219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x ( S ( R ^ r l ) x  ->  ps )  <->  A. i ( S ( R ^ r l ) i  ->  ph ) )  ->  (
( et  /\  (
( l  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^ r l ) x  ->  ps ) )  /\  l  e.  NN0 ) ) )  ->  A. x ( S ( R ^ r ( l  +  1 ) ) x  ->  ps ) ) )
170103, 169ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( et  /\  ( ( l  +  1 )  e.  NN0  /\  (
( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^ r l ) x  ->  ps ) )  /\  l  e.  NN0 ) ) )  ->  A. x ( S ( R ^ r ( l  +  1 ) ) x  ->  ps ) )
171170anassrs 629 . . . . . . 7  |-  ( ( ( et  /\  (
l  +  1 )  e.  NN0 )  /\  ( ( ( et 
/\  l  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^ r l ) x  ->  ps ) )  /\  l  e.  NN0 ) )  ->  A. x ( S ( R ^ r ( l  +  1 ) ) x  ->  ps ) )
172171expcom 424 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^ r l ) x  ->  ps ) )  /\  l  e.  NN0 )  ->  (
( et  /\  (
l  +  1 )  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^ r ( l  +  1 ) ) x  ->  ps ) ) )
173172expcom 424 . . . . 5  |-  ( l  e.  NN0  ->  ( ( ( et  /\  l  e.  NN0 )  ->  A. x
( S ( R ^ r l ) x  ->  ps )
)  ->  ( ( et  /\  ( l  +  1 )  e.  NN0 )  ->  A. x ( S ( R ^ r ( l  +  1 ) ) x  ->  ps ) ) ) )
1748, 15, 22, 29, 99, 173nn0ind 10108 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( et  /\  n  e. 
NN0 )  ->  A. x
( S ( R ^ r n ) x  ->  ps )
) )
1751, 174mpcom 32 . . 3  |-  ( ( et  /\  n  e. 
NN0 )  ->  A. x
( S ( R ^ r n ) x  ->  ps )
)
17617519.21bi 1794 . 2  |-  ( ( et  /\  n  e. 
NN0 )  ->  ( S ( R ^
r n ) x  ->  ps ) )
177176ex 423 1  |-  ( et 
->  ( n  e.  NN0  ->  ( S ( R ^ r n ) x  ->  ps )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   <.cop 3643   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    _I cid 4304    |` cres 4691    o. ccom 4693   Rel wrel 4694  (class class class)co 5858   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740   NN0cn0 9965   ^ rcrelexp 24023
This theorem is referenced by:  relexpind  24037
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-seq 11047  df-relexp 24024
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