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Theorem relexprn 25141
Description: The range of an exponentiation of a relation a subset of the relation's field. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
relexprn.1  |-  ( ph  ->  Rel  R )
relexprn.2  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
relexprn  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  ran  ( R ^
r N )  C_  U.
U. R ) )

Proof of Theorem relexprn
Dummy variables  i  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2498 . . . . . 6  |-  ( i  =  0  ->  (
i  e.  NN0  <->  0  e.  NN0 ) )
21anbi1d 687 . . . . 5  |-  ( i  =  0  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( 0  e.  NN0  /\  ph )
) )
3 oveq2 6092 . . . . . . 7  |-  ( i  =  0  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r 0 ) )
43rneqd 5100 . . . . . 6  |-  ( i  =  0  ->  ran  ( R ^ r i )  =  ran  ( R ^ r 0 ) )
54sseq1d 3377 . . . . 5  |-  ( i  =  0  ->  ( ran  ( R ^ r i )  C_  U. U. R 
<->  ran  ( R ^
r 0 )  C_  U.
U. R ) )
62, 5imbi12d 313 . . . 4  |-  ( i  =  0  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^ r i )  C_  U. U. R )  <->  ( (
0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^ r 0 ) 
C_  U. U. R ) ) )
7 eleq1 2498 . . . . . 6  |-  ( i  =  n  ->  (
i  e.  NN0  <->  n  e.  NN0 ) )
87anbi1d 687 . . . . 5  |-  ( i  =  n  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( n  e.  NN0  /\  ph )
) )
9 oveq2 6092 . . . . . . 7  |-  ( i  =  n  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r n ) )
109rneqd 5100 . . . . . 6  |-  ( i  =  n  ->  ran  ( R ^ r i )  =  ran  ( R ^ r n ) )
1110sseq1d 3377 . . . . 5  |-  ( i  =  n  ->  ( ran  ( R ^ r i )  C_  U. U. R 
<->  ran  ( R ^
r n )  C_  U.
U. R ) )
128, 11imbi12d 313 . . . 4  |-  ( i  =  n  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^ r i )  C_  U. U. R )  <->  ( (
n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^ r n ) 
C_  U. U. R ) ) )
13 eleq1 2498 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
i  e.  NN0  <->  ( n  +  1 )  e. 
NN0 ) )
1413anbi1d 687 . . . . 5  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( (
n  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )
) )
15 oveq2 6092 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r ( n  + 
1 ) ) )
1615rneqd 5100 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  ran  ( R ^ r i )  =  ran  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) )
1716sseq1d 3377 . . . . 5  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  ( ran  ( R ^ r i )  C_  U. U. R 
<->  ran  ( R ^
r ( n  + 
1 ) )  C_  U.
U. R ) )
1814, 17imbi12d 313 . . . 4  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^ r i )  C_  U. U. R )  <->  ( (
( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) 
C_  U. U. R ) ) )
19 eleq1 2498 . . . . . 6  |-  ( i  =  N  ->  (
i  e.  NN0  <->  N  e.  NN0 ) )
2019anbi1d 687 . . . . 5  |-  ( i  =  N  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( N  e.  NN0  /\  ph )
) )
21 oveq2 6092 . . . . . . 7  |-  ( i  =  N  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r N ) )
2221rneqd 5100 . . . . . 6  |-  ( i  =  N  ->  ran  ( R ^ r i )  =  ran  ( R ^ r N ) )
2322sseq1d 3377 . . . . 5  |-  ( i  =  N  ->  ( ran  ( R ^ r i )  C_  U. U. R 
<->  ran  ( R ^
r N )  C_  U.
U. R ) )
2420, 23imbi12d 313 . . . 4  |-  ( i  =  N  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^ r i )  C_  U. U. R )  <->  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^ r N ) 
C_  U. U. R ) ) )
25 relexprn.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Rel  R )
26 relexprn.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
2725, 26relexp0 25134 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
2827adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
29 rnresi 5222 . . . . . . 7  |-  ran  (  _I  |`  U. U. R
)  =  U. U. R
30 ssid 3369 . . . . . . . 8  |-  U. U. R  C_  U. U. R
3130a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  U. U. R  C_ 
U. U. R )
3229, 31syl5eqss 3394 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  (  _I  |`  U. U. R ) 
C_  U. U. R )
33 rneq 5098 . . . . . . 7  |-  ( ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ran  ( R ^ r 0 )  =  ran  (  _I  |`  U. U. R ) )
3433sseq1d 3377 . . . . . 6  |-  ( ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( ran  ( R ^ r 0 ) 
C_  U. U. R  <->  ran  (  _I  |`  U. U. R ) 
C_  U. U. R ) )
3532, 34syl5ibr 214 . . . . 5  |-  ( ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^
r 0 )  C_  U.
U. R ) )
3628, 35mpcom 35 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^ r 0 ) 
C_  U. U. R )
37 simprrr 743 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
38 simprl 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ph )
3938, 25syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  Rel  R )
4038, 26syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  R  e.  _V )
4139, 40relexpsucr 25135 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  -> 
( n  e.  NN0  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R
) ) )
4237, 41mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  -> 
( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R
) )
43 rncoss 5139 . . . . . . . . . 10  |-  ran  (
( R ^ r n )  o.  R
)  C_  ran  ( R ^ r n )
44 simprrl 742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  -> 
( ( n  e. 
NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^ r n )  C_  U. U. R ) )
4537, 38, 44mp2and 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ran  ( R ^ r n )  C_  U. U. R )
4643, 45syl5ss 3361 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ran  ( ( R ^
r n )  o.  R )  C_  U. U. R )
47 rneq 5098 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R )  ->  ran  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ran  ( ( R ^ r n )  o.  R ) )
4847sseq1d 3377 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R )  ->  ( ran  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) 
C_  U. U. R  <->  ran  ( ( R ^ r n )  o.  R ) 
C_  U. U. R ) )
4946, 48syl5ibr 214 . . . . . . . 8  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R )  ->  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^ r n ) 
C_  U. U. R )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ran  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  C_  U. U. R ) )
5042, 49mpcom 35 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ran  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  C_  U. U. R )
5150anassrs 631 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( n  + 
1 )  e.  NN0  /\ 
ph )  /\  (
( ( n  e. 
NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^ r n )  C_  U. U. R )  /\  n  e.  NN0 ) )  ->  ran  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  C_  U. U. R )
5251expcom 426 . . . . 5  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^ r n )  C_  U. U. R )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( n  + 
1 )  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  C_  U. U. R
) )
5352expcom 426 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  ->  ( (
( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) 
C_  U. U. R ) ) )
546, 12, 18, 24, 36, 53nn0ind 10371 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^ r N ) 
C_  U. U. R ) )
5554anabsi5 792 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^ r N ) 
C_  U. U. R )
5655expcom 426 1  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  ran  ( R ^
r N )  C_  U.
U. R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   U.cuni 4017    _I cid 4496   ran crn 4882    |` cres 4883    o. ccom 4885   Rel wrel 4886  (class class class)co 6084   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998   NN0cn0 10226   ^ rcrelexp 25132
This theorem is referenced by:  relexpfld  25142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-seq 11329  df-relexp 25133
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