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Theorem relexprn 25097
Description: The range of an exponentiation of a relation a subset of the relation's field. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
relexprn.1  |-  ( ph  ->  Rel  R )
relexprn.2  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
relexprn  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  ran  ( R ^
r N )  C_  U.
U. R ) )

Proof of Theorem relexprn
Dummy variables  i  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2472 . . . . . 6  |-  ( i  =  0  ->  (
i  e.  NN0  <->  0  e.  NN0 ) )
21anbi1d 686 . . . . 5  |-  ( i  =  0  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( 0  e.  NN0  /\  ph )
) )
3 oveq2 6056 . . . . . . 7  |-  ( i  =  0  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r 0 ) )
43rneqd 5064 . . . . . 6  |-  ( i  =  0  ->  ran  ( R ^ r i )  =  ran  ( R ^ r 0 ) )
54sseq1d 3343 . . . . 5  |-  ( i  =  0  ->  ( ran  ( R ^ r i )  C_  U. U. R 
<->  ran  ( R ^
r 0 )  C_  U.
U. R ) )
62, 5imbi12d 312 . . . 4  |-  ( i  =  0  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^ r i )  C_  U. U. R )  <->  ( (
0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^ r 0 ) 
C_  U. U. R ) ) )
7 eleq1 2472 . . . . . 6  |-  ( i  =  n  ->  (
i  e.  NN0  <->  n  e.  NN0 ) )
87anbi1d 686 . . . . 5  |-  ( i  =  n  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( n  e.  NN0  /\  ph )
) )
9 oveq2 6056 . . . . . . 7  |-  ( i  =  n  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r n ) )
109rneqd 5064 . . . . . 6  |-  ( i  =  n  ->  ran  ( R ^ r i )  =  ran  ( R ^ r n ) )
1110sseq1d 3343 . . . . 5  |-  ( i  =  n  ->  ( ran  ( R ^ r i )  C_  U. U. R 
<->  ran  ( R ^
r n )  C_  U.
U. R ) )
128, 11imbi12d 312 . . . 4  |-  ( i  =  n  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^ r i )  C_  U. U. R )  <->  ( (
n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^ r n ) 
C_  U. U. R ) ) )
13 eleq1 2472 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
i  e.  NN0  <->  ( n  +  1 )  e. 
NN0 ) )
1413anbi1d 686 . . . . 5  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( (
n  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )
) )
15 oveq2 6056 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r ( n  + 
1 ) ) )
1615rneqd 5064 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  ran  ( R ^ r i )  =  ran  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) )
1716sseq1d 3343 . . . . 5  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  ( ran  ( R ^ r i )  C_  U. U. R 
<->  ran  ( R ^
r ( n  + 
1 ) )  C_  U.
U. R ) )
1814, 17imbi12d 312 . . . 4  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^ r i )  C_  U. U. R )  <->  ( (
( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) 
C_  U. U. R ) ) )
19 eleq1 2472 . . . . . 6  |-  ( i  =  N  ->  (
i  e.  NN0  <->  N  e.  NN0 ) )
2019anbi1d 686 . . . . 5  |-  ( i  =  N  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( N  e.  NN0  /\  ph )
) )
21 oveq2 6056 . . . . . . 7  |-  ( i  =  N  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r N ) )
2221rneqd 5064 . . . . . 6  |-  ( i  =  N  ->  ran  ( R ^ r i )  =  ran  ( R ^ r N ) )
2322sseq1d 3343 . . . . 5  |-  ( i  =  N  ->  ( ran  ( R ^ r i )  C_  U. U. R 
<->  ran  ( R ^
r N )  C_  U.
U. R ) )
2420, 23imbi12d 312 . . . 4  |-  ( i  =  N  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^ r i )  C_  U. U. R )  <->  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^ r N ) 
C_  U. U. R ) ) )
25 relexprn.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Rel  R )
26 relexprn.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
2725, 26relexp0 25090 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
2827adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
29 rnresi 5186 . . . . . . 7  |-  ran  (  _I  |`  U. U. R
)  =  U. U. R
30 ssid 3335 . . . . . . . 8  |-  U. U. R  C_  U. U. R
3130a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  U. U. R  C_ 
U. U. R )
3229, 31syl5eqss 3360 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  (  _I  |`  U. U. R ) 
C_  U. U. R )
33 rneq 5062 . . . . . . 7  |-  ( ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ran  ( R ^ r 0 )  =  ran  (  _I  |`  U. U. R ) )
3433sseq1d 3343 . . . . . 6  |-  ( ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( ran  ( R ^ r 0 ) 
C_  U. U. R  <->  ran  (  _I  |`  U. U. R ) 
C_  U. U. R ) )
3532, 34syl5ibr 213 . . . . 5  |-  ( ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^
r 0 )  C_  U.
U. R ) )
3628, 35mpcom 34 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^ r 0 ) 
C_  U. U. R )
37 simprrr 742 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
38 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ph )
3938, 25syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  Rel  R )
4038, 26syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  R  e.  _V )
4139, 40relexpsucr 25091 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  -> 
( n  e.  NN0  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R
) ) )
4237, 41mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  -> 
( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R
) )
43 rncoss 5103 . . . . . . . . . 10  |-  ran  (
( R ^ r n )  o.  R
)  C_  ran  ( R ^ r n )
44 simprrl 741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  -> 
( ( n  e. 
NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^ r n )  C_  U. U. R ) )
4537, 38, 44mp2and 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ran  ( R ^ r n )  C_  U. U. R )
4643, 45syl5ss 3327 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ran  ( ( R ^
r n )  o.  R )  C_  U. U. R )
47 rneq 5062 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R )  ->  ran  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ran  ( ( R ^ r n )  o.  R ) )
4847sseq1d 3343 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R )  ->  ( ran  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) 
C_  U. U. R  <->  ran  ( ( R ^ r n )  o.  R ) 
C_  U. U. R ) )
4946, 48syl5ibr 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R )  ->  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^ r n ) 
C_  U. U. R )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ran  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  C_  U. U. R ) )
5042, 49mpcom 34 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ran  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  C_  U. U. R )
5150anassrs 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( n  + 
1 )  e.  NN0  /\ 
ph )  /\  (
( ( n  e. 
NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^ r n )  C_  U. U. R )  /\  n  e.  NN0 ) )  ->  ran  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  C_  U. U. R )
5251expcom 425 . . . . 5  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^ r n )  C_  U. U. R )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( n  + 
1 )  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  C_  U. U. R
) )
5352expcom 425 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  ->  ( (
( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) 
C_  U. U. R ) ) )
546, 12, 18, 24, 36, 53nn0ind 10330 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^ r N ) 
C_  U. U. R ) )
5554anabsi5 791 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^ r N ) 
C_  U. U. R )
5655expcom 425 1  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  ran  ( R ^
r N )  C_  U.
U. R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2924    C_ wss 3288   U.cuni 3983    _I cid 4461   ran crn 4846    |` cres 4847    o. ccom 4849   Rel wrel 4850  (class class class)co 6048   0cc0 8954   1c1 8955    + caddc 8957   NN0cn0 10185   ^ rcrelexp 25088
This theorem is referenced by:  relexpfld  25098
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-seq 11287  df-relexp 25089
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