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Theorem relexprn 24035
Description: The range of an exponentiation of a relation a subset of the relation's field. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
relexprn.1  |-  ( ph  ->  Rel  R )
relexprn.2  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
relexprn  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  ran  ( R ^
r N )  C_  U.
U. R ) )

Proof of Theorem relexprn
Dummy variables  i  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2345 . . . . . 6  |-  ( i  =  0  ->  (
i  e.  NN0  <->  0  e.  NN0 ) )
21anbi1d 685 . . . . 5  |-  ( i  =  0  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( 0  e.  NN0  /\  ph )
) )
3 oveq2 5868 . . . . . . 7  |-  ( i  =  0  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r 0 ) )
43rneqd 4908 . . . . . 6  |-  ( i  =  0  ->  ran  ( R ^ r i )  =  ran  ( R ^ r 0 ) )
54sseq1d 3207 . . . . 5  |-  ( i  =  0  ->  ( ran  ( R ^ r i )  C_  U. U. R 
<->  ran  ( R ^
r 0 )  C_  U.
U. R ) )
62, 5imbi12d 311 . . . 4  |-  ( i  =  0  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^ r i )  C_  U. U. R )  <->  ( (
0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^ r 0 ) 
C_  U. U. R ) ) )
7 eleq1 2345 . . . . . 6  |-  ( i  =  n  ->  (
i  e.  NN0  <->  n  e.  NN0 ) )
87anbi1d 685 . . . . 5  |-  ( i  =  n  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( n  e.  NN0  /\  ph )
) )
9 oveq2 5868 . . . . . . 7  |-  ( i  =  n  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r n ) )
109rneqd 4908 . . . . . 6  |-  ( i  =  n  ->  ran  ( R ^ r i )  =  ran  ( R ^ r n ) )
1110sseq1d 3207 . . . . 5  |-  ( i  =  n  ->  ( ran  ( R ^ r i )  C_  U. U. R 
<->  ran  ( R ^
r n )  C_  U.
U. R ) )
128, 11imbi12d 311 . . . 4  |-  ( i  =  n  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^ r i )  C_  U. U. R )  <->  ( (
n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^ r n ) 
C_  U. U. R ) ) )
13 eleq1 2345 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
i  e.  NN0  <->  ( n  +  1 )  e. 
NN0 ) )
1413anbi1d 685 . . . . 5  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( (
n  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )
) )
15 oveq2 5868 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r ( n  + 
1 ) ) )
1615rneqd 4908 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  ran  ( R ^ r i )  =  ran  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) )
1716sseq1d 3207 . . . . 5  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  ( ran  ( R ^ r i )  C_  U. U. R 
<->  ran  ( R ^
r ( n  + 
1 ) )  C_  U.
U. R ) )
1814, 17imbi12d 311 . . . 4  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^ r i )  C_  U. U. R )  <->  ( (
( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) 
C_  U. U. R ) ) )
19 eleq1 2345 . . . . . 6  |-  ( i  =  N  ->  (
i  e.  NN0  <->  N  e.  NN0 ) )
2019anbi1d 685 . . . . 5  |-  ( i  =  N  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( N  e.  NN0  /\  ph )
) )
21 oveq2 5868 . . . . . . 7  |-  ( i  =  N  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r N ) )
2221rneqd 4908 . . . . . 6  |-  ( i  =  N  ->  ran  ( R ^ r i )  =  ran  ( R ^ r N ) )
2322sseq1d 3207 . . . . 5  |-  ( i  =  N  ->  ( ran  ( R ^ r i )  C_  U. U. R 
<->  ran  ( R ^
r N )  C_  U.
U. R ) )
2420, 23imbi12d 311 . . . 4  |-  ( i  =  N  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^ r i )  C_  U. U. R )  <->  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^ r N ) 
C_  U. U. R ) ) )
25 relexprn.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Rel  R )
26 relexprn.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
2725, 26relexp0 24027 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
2827adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
29 rnresi 5030 . . . . . . 7  |-  ran  (  _I  |`  U. U. R
)  =  U. U. R
30 ssid 3199 . . . . . . . 8  |-  U. U. R  C_  U. U. R
3130a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  U. U. R  C_ 
U. U. R )
3229, 31syl5eqss 3224 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  (  _I  |`  U. U. R ) 
C_  U. U. R )
33 rneq 4906 . . . . . . 7  |-  ( ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ran  ( R ^ r 0 )  =  ran  (  _I  |`  U. U. R ) )
3433sseq1d 3207 . . . . . 6  |-  ( ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( ran  ( R ^ r 0 ) 
C_  U. U. R  <->  ran  (  _I  |`  U. U. R ) 
C_  U. U. R ) )
3532, 34syl5ibr 212 . . . . 5  |-  ( ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^
r 0 )  C_  U.
U. R ) )
3628, 35mpcom 32 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^ r 0 ) 
C_  U. U. R )
37 simprrr 741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
38 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ph )
3938, 25syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  Rel  R )
4038, 26syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  R  e.  _V )
4139, 40relexpsucr 24028 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  -> 
( n  e.  NN0  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R
) ) )
4237, 41mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  -> 
( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R
) )
43 rncoss 4947 . . . . . . . . . 10  |-  ran  (
( R ^ r n )  o.  R
)  C_  ran  ( R ^ r n )
44 simprrl 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  -> 
( ( n  e. 
NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^ r n )  C_  U. U. R ) )
4537, 38, 44mp2and 660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ran  ( R ^ r n )  C_  U. U. R )
4643, 45syl5ss 3192 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ran  ( ( R ^
r n )  o.  R )  C_  U. U. R )
47 rneq 4906 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R )  ->  ran  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ran  ( ( R ^ r n )  o.  R ) )
4847sseq1d 3207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R )  ->  ( ran  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) 
C_  U. U. R  <->  ran  ( ( R ^ r n )  o.  R ) 
C_  U. U. R ) )
4946, 48syl5ibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R )  ->  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^ r n ) 
C_  U. U. R )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ran  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  C_  U. U. R ) )
5042, 49mpcom 32 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ran  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  C_  U. U. R )
5150anassrs 629 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( n  + 
1 )  e.  NN0  /\ 
ph )  /\  (
( ( n  e. 
NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^ r n )  C_  U. U. R )  /\  n  e.  NN0 ) )  ->  ran  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  C_  U. U. R )
5251expcom 424 . . . . 5  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^ r n )  C_  U. U. R )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( n  + 
1 )  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  C_  U. U. R
) )
5352expcom 424 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ran  ( R ^ r n )  C_  U. U. R
)  ->  ( (
( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) 
C_  U. U. R ) ) )
546, 12, 18, 24, 36, 53nn0ind 10110 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^ r N ) 
C_  U. U. R ) )
5554anabsi5 790 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  ran  ( R ^ r N ) 
C_  U. U. R )
5655expcom 424 1  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  ran  ( R ^
r N )  C_  U.
U. R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686   _Vcvv 2790    C_ wss 3154   U.cuni 3829    _I cid 4306   ran crn 4692    |` cres 4693    o. ccom 4695   Rel wrel 4696  (class class class)co 5860   0cc0 8739   1c1 8740    + caddc 8742   NN0cn0 9967   ^ rcrelexp 24025
This theorem is referenced by:  relexpfld  24036
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-nn 9749  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-seq 11049  df-relexp 24026
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