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Theorem relexpsucl 24911
Description: A reduction for relation exponentiation to the left. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
relexpsucl.1  |-  ( ph  ->  Rel  R )
relexpsucl.2  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
relexpsucl  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( R ^ r ( N  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r N ) ) ) )

Proof of Theorem relexpsucl
Dummy variables  i  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2447 . . . . . 6  |-  ( i  =  0  ->  (
i  e.  NN0  <->  0  e.  NN0 ) )
21anbi1d 686 . . . . 5  |-  ( i  =  0  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( 0  e.  NN0  /\  ph )
) )
3 oveq1 6027 . . . . . . 7  |-  ( i  =  0  ->  (
i  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
43oveq2d 6036 . . . . . 6  |-  ( i  =  0  ->  ( R ^ r ( i  +  1 ) )  =  ( R ^
r ( 0  +  1 ) ) )
5 oveq2 6028 . . . . . . 7  |-  ( i  =  0  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r 0 ) )
65coeq2d 4975 . . . . . 6  |-  ( i  =  0  ->  ( R  o.  ( R ^ r i ) )  =  ( R  o.  ( R ^
r 0 ) ) )
74, 6eqeq12d 2401 . . . . 5  |-  ( i  =  0  ->  (
( R ^ r ( i  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r i ) )  <->  ( R ^
r ( 0  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r 0 ) ) ) )
82, 7imbi12d 312 . . . 4  |-  ( i  =  0  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  -> 
( R ^ r ( i  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r i ) ) )  <->  ( (
0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r ( 0  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r 0 ) ) ) ) )
9 eleq1 2447 . . . . . 6  |-  ( i  =  n  ->  (
i  e.  NN0  <->  n  e.  NN0 ) )
109anbi1d 686 . . . . 5  |-  ( i  =  n  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( n  e.  NN0  /\  ph )
) )
11 oveq1 6027 . . . . . . 7  |-  ( i  =  n  ->  (
i  +  1 )  =  ( n  + 
1 ) )
1211oveq2d 6036 . . . . . 6  |-  ( i  =  n  ->  ( R ^ r ( i  +  1 ) )  =  ( R ^
r ( n  + 
1 ) ) )
13 oveq2 6028 . . . . . . 7  |-  ( i  =  n  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r n ) )
1413coeq2d 4975 . . . . . 6  |-  ( i  =  n  ->  ( R  o.  ( R ^ r i ) )  =  ( R  o.  ( R ^
r n ) ) )
1512, 14eqeq12d 2401 . . . . 5  |-  ( i  =  n  ->  (
( R ^ r ( i  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r i ) )  <->  ( R ^
r ( n  + 
1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) ) )
1610, 15imbi12d 312 . . . 4  |-  ( i  =  n  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  -> 
( R ^ r ( i  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r i ) ) )  <->  ( (
n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) ) ) )
17 eleq1 2447 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
i  e.  NN0  <->  ( n  +  1 )  e. 
NN0 ) )
1817anbi1d 686 . . . . 5  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( (
n  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )
) )
19 oveq1 6027 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
i  +  1 )  =  ( ( n  +  1 )  +  1 ) )
2019oveq2d 6036 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  ( R ^ r ( i  +  1 ) )  =  ( R ^
r ( ( n  +  1 )  +  1 ) ) )
21 oveq2 6028 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r ( n  + 
1 ) ) )
2221coeq2d 4975 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  ( R  o.  ( R ^ r i ) )  =  ( R  o.  ( R ^
r ( n  + 
1 ) ) ) )
2320, 22eqeq12d 2401 . . . . 5  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( R ^ r ( i  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r i ) )  <->  ( R ^
r ( ( n  +  1 )  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) ) ) )
2418, 23imbi12d 312 . . . 4  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  -> 
( R ^ r ( i  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r i ) ) )  <->  ( (
( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r ( ( n  +  1 )  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
25 eleq1 2447 . . . . . 6  |-  ( i  =  N  ->  (
i  e.  NN0  <->  N  e.  NN0 ) )
2625anbi1d 686 . . . . 5  |-  ( i  =  N  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( N  e.  NN0  /\  ph )
) )
27 oveq1 6027 . . . . . . 7  |-  ( i  =  N  ->  (
i  +  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
2827oveq2d 6036 . . . . . 6  |-  ( i  =  N  ->  ( R ^ r ( i  +  1 ) )  =  ( R ^
r ( N  + 
1 ) ) )
29 oveq2 6028 . . . . . . 7  |-  ( i  =  N  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r N ) )
3029coeq2d 4975 . . . . . 6  |-  ( i  =  N  ->  ( R  o.  ( R ^ r i ) )  =  ( R  o.  ( R ^
r N ) ) )
3128, 30eqeq12d 2401 . . . . 5  |-  ( i  =  N  ->  (
( R ^ r ( i  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r i ) )  <->  ( R ^
r ( N  + 
1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r N ) ) ) )
3226, 31imbi12d 312 . . . 4  |-  ( i  =  N  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  -> 
( R ^ r ( i  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r i ) ) )  <->  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^
r ( N  + 
1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r N ) ) ) ) )
33 relexpsucl.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Rel  R )
34 relexpsucl.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
3533, 34relexp0 24908 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
3635adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
3733, 34relexp1 24910 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R ^ r 1 )  =  R )
3837adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r 1 )  =  R )
3933adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  Rel  R )
40 relcoi1 5338 . . . . . . . . 9  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  o.  (  _I  |`  U. U. R ) )  =  R )
4139, 40syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R  o.  (  _I  |`  U. U. R ) )  =  R )
4238, 41eqtr4d 2422 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r 1 )  =  ( R  o.  (  _I  |`  U. U. R ) ) )
43 coeq2 4971 . . . . . . . 8  |-  ( ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( R  o.  ( R ^ r 0 ) )  =  ( R  o.  (  _I  |`  U. U. R ) ) )
4443eqeq2d 2398 . . . . . . 7  |-  ( ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( ( R ^ r 1 )  =  ( R  o.  ( R ^ r 0 ) )  <->  ( R ^ r 1 )  =  ( R  o.  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) )
4542, 44syl5ibr 213 . . . . . 6  |-  ( ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r 1 )  =  ( R  o.  ( R ^ r 0 ) ) ) )
4636, 45mpcom 34 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r 1 )  =  ( R  o.  ( R ^ r 0 ) ) )
47 0p1e1 10025 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
48 oveq2 6028 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  +  1 )  =  1  ->  ( R ^ r ( 0  +  1 ) )  =  ( R ^
r 1 ) )
4948eqeq1d 2395 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  +  1 )  =  1  ->  (
( R ^ r ( 0  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r 0 ) )  <->  ( R ^
r 1 )  =  ( R  o.  ( R ^ r 0 ) ) ) )
5049imbi2d 308 . . . . . 6  |-  ( ( 0  +  1 )  =  1  ->  (
( ( 0  e. 
NN0  /\  ph )  -> 
( R ^ r ( 0  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r 0 ) ) )  <->  ( (
0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r 1 )  =  ( R  o.  ( R ^ r 0 ) ) ) ) )
5147, 50ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( ( 0  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( 0  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r 0 ) ) )  <->  ( (
0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r 1 )  =  ( R  o.  ( R ^ r 0 ) ) ) )
5246, 51mpbir 201 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r ( 0  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r 0 ) ) )
53 simpl 444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e. 
NN0 )
54 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ph )
5554, 33syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  Rel  R )
5654, 34syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  R  e.  _V )
5755, 56relexpsucr 24909 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  e.  NN0  ->  ( R ^ r ( ( n  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  o.  R ) ) )
5853, 57mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( R ^ r ( ( n  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  o.  R ) )
59 simprrr 742 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
6055, 56relexpsucr 24909 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( n  e.  NN0  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R ) ) )
6159, 60mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R ) )
62 eqeq1 2393 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R )  ->  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) )  <->  ( ( R ^ r n )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) ) )
6362imbi2d 308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R )  ->  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  <->  ( (
n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( ( R ^ r n )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) ) ) )
6463anbi1d 686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R )  ->  ( ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  <->  ( (
( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  (
( R ^ r n )  o.  R
)  =  ( R  o.  ( R ^
r n ) ) )  /\  n  e. 
NN0 ) ) )
6564anbi2d 685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R )  ->  ( ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) )  <->  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( ( R ^
r n )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) ) )
6665anbi2d 685 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R )  ->  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  <->  ( ( n  +  1 )  e. 
NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( ( R ^
r n )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) ) ) )
67 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  (
( R ^ r n )  o.  R
)  =  ( R  o.  ( R ^
r n ) ) )  /\  n  e. 
NN0 ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
68 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  (
( R ^ r n )  o.  R
)  =  ( R  o.  ( R ^
r n ) ) )  /\  n  e. 
NN0 ) ) )  ->  ph )
69 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  (
( R ^ r n )  o.  R
)  =  ( R  o.  ( R ^
r n ) ) )  /\  n  e. 
NN0 ) ) )  ->  ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( ( R ^
r n )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) ) )
7067, 68, 69mp2and 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  (
( R ^ r n )  o.  R
)  =  ( R  o.  ( R ^
r n ) ) )  /\  n  e. 
NN0 ) ) )  ->  ( ( R ^ r n )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )
7170coeq1d 4974 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  (
( R ^ r n )  o.  R
)  =  ( R  o.  ( R ^
r n ) ) )  /\  n  e. 
NN0 ) ) )  ->  ( ( ( R ^ r n )  o.  R )  o.  R )  =  ( ( R  o.  ( R ^ r n ) )  o.  R
) )
72 coass 5328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  o.  ( R ^ r n ) )  o.  R )  =  ( R  o.  ( ( R ^
r n )  o.  R ) )
7371, 72syl6eq 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  (
( R ^ r n )  o.  R
)  =  ( R  o.  ( R ^
r n ) ) )  /\  n  e. 
NN0 ) ) )  ->  ( ( ( R ^ r n )  o.  R )  o.  R )  =  ( R  o.  (
( R ^ r n )  o.  R
) ) )
74 coeq1 4970 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R )  ->  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  o.  R )  =  ( ( ( R ^ r n )  o.  R )  o.  R ) )
75 coeq2 4971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R )  ->  ( R  o.  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) )  =  ( R  o.  ( ( R ^ r n )  o.  R ) ) )
7674, 75eqeq12d 2401 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R )  ->  ( ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) )  <->  ( (
( R ^ r n )  o.  R
)  o.  R )  =  ( R  o.  ( ( R ^
r n )  o.  R ) ) ) )
7773, 76syl5ibr 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R )  ->  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( ( R ^ r n )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) ) ) )
7866, 77sylbid 207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R )  ->  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) ) ) )
7961, 78mpcom 34 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) ) )
8058, 79eqtrd 2419 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( R ^ r ( ( n  +  1 )  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) ) )
8180anassrs 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( n  + 
1 )  e.  NN0  /\ 
ph )  /\  (
( ( n  e. 
NN0  /\  ph )  -> 
( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) )  -> 
( R ^ r ( ( n  + 
1 )  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) ) )
8281expcom 425 . . . . 5  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  ph )  -> 
( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( n  + 
1 )  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( ( n  +  1 )  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) ) ) )
8382expcom 425 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  -> 
( ( ( n  +  1 )  e. 
NN0  /\  ph )  -> 
( R ^ r ( ( n  + 
1 )  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
848, 16, 24, 32, 52, 83nn0ind 10298 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r ( N  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r N ) ) ) )
8584anabsi5 791 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r ( N  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r N ) ) )
8685expcom 425 1  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( R ^ r ( N  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r N ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2899   U.cuni 3957    _I cid 4434    |` cres 4820    o. ccom 4822   Rel wrel 4823  (class class class)co 6020   0cc0 8923   1c1 8924    + caddc 8926   NN0cn0 10153   ^ rcrelexp 24906
This theorem is referenced by:  relexpcnv  24912  relexpdm  24914  relexpindlem  24918
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-seq 11251  df-relexp 24907
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