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Theorem relexpsucl 24043
Description: A reduction for relation exponentiation to the left. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
relexpsucl.1  |-  ( ph  ->  Rel  R )
relexpsucl.2  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
relexpsucl  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( R ^ r ( N  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r N ) ) ) )

Proof of Theorem relexpsucl
Dummy variables  i  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2356 . . . . . 6  |-  ( i  =  0  ->  (
i  e.  NN0  <->  0  e.  NN0 ) )
21anbi1d 685 . . . . 5  |-  ( i  =  0  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( 0  e.  NN0  /\  ph )
) )
3 oveq1 5881 . . . . . . 7  |-  ( i  =  0  ->  (
i  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
43oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( i  =  0  ->  ( R ^ r ( i  +  1 ) )  =  ( R ^
r ( 0  +  1 ) ) )
5 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( i  =  0  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r 0 ) )
65coeq2d 4862 . . . . . 6  |-  ( i  =  0  ->  ( R  o.  ( R ^ r i ) )  =  ( R  o.  ( R ^
r 0 ) ) )
74, 6eqeq12d 2310 . . . . 5  |-  ( i  =  0  ->  (
( R ^ r ( i  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r i ) )  <->  ( R ^
r ( 0  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r 0 ) ) ) )
82, 7imbi12d 311 . . . 4  |-  ( i  =  0  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  -> 
( R ^ r ( i  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r i ) ) )  <->  ( (
0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r ( 0  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r 0 ) ) ) ) )
9 eleq1 2356 . . . . . 6  |-  ( i  =  n  ->  (
i  e.  NN0  <->  n  e.  NN0 ) )
109anbi1d 685 . . . . 5  |-  ( i  =  n  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( n  e.  NN0  /\  ph )
) )
11 oveq1 5881 . . . . . . 7  |-  ( i  =  n  ->  (
i  +  1 )  =  ( n  + 
1 ) )
1211oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( i  =  n  ->  ( R ^ r ( i  +  1 ) )  =  ( R ^
r ( n  + 
1 ) ) )
13 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( i  =  n  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r n ) )
1413coeq2d 4862 . . . . . 6  |-  ( i  =  n  ->  ( R  o.  ( R ^ r i ) )  =  ( R  o.  ( R ^
r n ) ) )
1512, 14eqeq12d 2310 . . . . 5  |-  ( i  =  n  ->  (
( R ^ r ( i  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r i ) )  <->  ( R ^
r ( n  + 
1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) ) )
1610, 15imbi12d 311 . . . 4  |-  ( i  =  n  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  -> 
( R ^ r ( i  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r i ) ) )  <->  ( (
n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) ) ) )
17 eleq1 2356 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
i  e.  NN0  <->  ( n  +  1 )  e. 
NN0 ) )
1817anbi1d 685 . . . . 5  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( (
n  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )
) )
19 oveq1 5881 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
i  +  1 )  =  ( ( n  +  1 )  +  1 ) )
2019oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  ( R ^ r ( i  +  1 ) )  =  ( R ^
r ( ( n  +  1 )  +  1 ) ) )
21 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r ( n  + 
1 ) ) )
2221coeq2d 4862 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  ( R  o.  ( R ^ r i ) )  =  ( R  o.  ( R ^
r ( n  + 
1 ) ) ) )
2320, 22eqeq12d 2310 . . . . 5  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( R ^ r ( i  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r i ) )  <->  ( R ^
r ( ( n  +  1 )  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) ) ) )
2418, 23imbi12d 311 . . . 4  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  -> 
( R ^ r ( i  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r i ) ) )  <->  ( (
( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r ( ( n  +  1 )  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
25 eleq1 2356 . . . . . 6  |-  ( i  =  N  ->  (
i  e.  NN0  <->  N  e.  NN0 ) )
2625anbi1d 685 . . . . 5  |-  ( i  =  N  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( N  e.  NN0  /\  ph )
) )
27 oveq1 5881 . . . . . . 7  |-  ( i  =  N  ->  (
i  +  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
2827oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( i  =  N  ->  ( R ^ r ( i  +  1 ) )  =  ( R ^
r ( N  + 
1 ) ) )
29 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( i  =  N  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r N ) )
3029coeq2d 4862 . . . . . 6  |-  ( i  =  N  ->  ( R  o.  ( R ^ r i ) )  =  ( R  o.  ( R ^
r N ) ) )
3128, 30eqeq12d 2310 . . . . 5  |-  ( i  =  N  ->  (
( R ^ r ( i  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r i ) )  <->  ( R ^
r ( N  + 
1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r N ) ) ) )
3226, 31imbi12d 311 . . . 4  |-  ( i  =  N  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  -> 
( R ^ r ( i  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r i ) ) )  <->  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^
r ( N  + 
1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r N ) ) ) ) )
33 relexpsucl.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Rel  R )
34 relexpsucl.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
3533, 34relexp0 24040 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
3635adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
3733, 34relexp1 24042 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R ^ r 1 )  =  R )
3837adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r 1 )  =  R )
3933adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  Rel  R )
40 relcoi1 5217 . . . . . . . . 9  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  o.  (  _I  |`  U. U. R ) )  =  R )
4139, 40syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R  o.  (  _I  |`  U. U. R ) )  =  R )
4238, 41eqtr4d 2331 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r 1 )  =  ( R  o.  (  _I  |`  U. U. R ) ) )
43 coeq2 4858 . . . . . . . 8  |-  ( ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( R  o.  ( R ^ r 0 ) )  =  ( R  o.  (  _I  |`  U. U. R ) ) )
4443eqeq2d 2307 . . . . . . 7  |-  ( ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( ( R ^ r 1 )  =  ( R  o.  ( R ^ r 0 ) )  <->  ( R ^ r 1 )  =  ( R  o.  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) )
4542, 44syl5ibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r 1 )  =  ( R  o.  ( R ^ r 0 ) ) ) )
4636, 45mpcom 32 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r 1 )  =  ( R  o.  ( R ^ r 0 ) ) )
47 0p1e1 9855 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
48 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  +  1 )  =  1  ->  ( R ^ r ( 0  +  1 ) )  =  ( R ^
r 1 ) )
4948eqeq1d 2304 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  +  1 )  =  1  ->  (
( R ^ r ( 0  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r 0 ) )  <->  ( R ^
r 1 )  =  ( R  o.  ( R ^ r 0 ) ) ) )
5049imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( ( 0  +  1 )  =  1  ->  (
( ( 0  e. 
NN0  /\  ph )  -> 
( R ^ r ( 0  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r 0 ) ) )  <->  ( (
0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r 1 )  =  ( R  o.  ( R ^ r 0 ) ) ) ) )
5147, 50ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( ( 0  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( 0  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r 0 ) ) )  <->  ( (
0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r 1 )  =  ( R  o.  ( R ^ r 0 ) ) ) )
5246, 51mpbir 200 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r ( 0  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r 0 ) ) )
53 simpl 443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e. 
NN0 )
54 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ph )
5554, 33syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  Rel  R )
5654, 34syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  R  e.  _V )
5755, 56relexpsucr 24041 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  e.  NN0  ->  ( R ^ r ( ( n  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  o.  R ) ) )
5853, 57mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( R ^ r ( ( n  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  o.  R ) )
59 simprrr 741 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
6055, 56relexpsucr 24041 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( n  e.  NN0  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R ) ) )
6159, 60mpd 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R ) )
62 eqeq1 2302 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R )  ->  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) )  <->  ( ( R ^ r n )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) ) )
6362imbi2d 307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R )  ->  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  <->  ( (
n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( ( R ^ r n )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) ) ) )
6463anbi1d 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R )  ->  ( ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  <->  ( (
( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  (
( R ^ r n )  o.  R
)  =  ( R  o.  ( R ^
r n ) ) )  /\  n  e. 
NN0 ) ) )
6564anbi2d 684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R )  ->  ( ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) )  <->  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( ( R ^
r n )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) ) )
6665anbi2d 684 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R )  ->  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  <->  ( ( n  +  1 )  e. 
NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( ( R ^
r n )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) ) ) )
67 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  (
( R ^ r n )  o.  R
)  =  ( R  o.  ( R ^
r n ) ) )  /\  n  e. 
NN0 ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
68 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  (
( R ^ r n )  o.  R
)  =  ( R  o.  ( R ^
r n ) ) )  /\  n  e. 
NN0 ) ) )  ->  ph )
69 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  (
( R ^ r n )  o.  R
)  =  ( R  o.  ( R ^
r n ) ) )  /\  n  e. 
NN0 ) ) )  ->  ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( ( R ^
r n )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) ) )
7067, 68, 69mp2and 660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  (
( R ^ r n )  o.  R
)  =  ( R  o.  ( R ^
r n ) ) )  /\  n  e. 
NN0 ) ) )  ->  ( ( R ^ r n )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )
7170coeq1d 4861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  (
( R ^ r n )  o.  R
)  =  ( R  o.  ( R ^
r n ) ) )  /\  n  e. 
NN0 ) ) )  ->  ( ( ( R ^ r n )  o.  R )  o.  R )  =  ( ( R  o.  ( R ^ r n ) )  o.  R
) )
72 coass 5207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  o.  ( R ^ r n ) )  o.  R )  =  ( R  o.  ( ( R ^
r n )  o.  R ) )
7371, 72syl6eq 2344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  (
( R ^ r n )  o.  R
)  =  ( R  o.  ( R ^
r n ) ) )  /\  n  e. 
NN0 ) ) )  ->  ( ( ( R ^ r n )  o.  R )  o.  R )  =  ( R  o.  (
( R ^ r n )  o.  R
) ) )
74 coeq1 4857 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R )  ->  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  o.  R )  =  ( ( ( R ^ r n )  o.  R )  o.  R ) )
75 coeq2 4858 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R )  ->  ( R  o.  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) )  =  ( R  o.  ( ( R ^ r n )  o.  R ) ) )
7674, 75eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R )  ->  ( ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) )  <->  ( (
( R ^ r n )  o.  R
)  o.  R )  =  ( R  o.  ( ( R ^
r n )  o.  R ) ) ) )
7773, 76syl5ibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R )  ->  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( ( R ^ r n )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) ) ) )
7866, 77sylbid 206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R )  ->  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) ) ) )
7961, 78mpcom 32 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) ) )
8058, 79eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( R ^ r ( ( n  +  1 )  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) ) )
8180anassrs 629 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( n  + 
1 )  e.  NN0  /\ 
ph )  /\  (
( ( n  e. 
NN0  /\  ph )  -> 
( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) )  -> 
( R ^ r ( ( n  + 
1 )  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) ) )
8281expcom 424 . . . . 5  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  ph )  -> 
( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( n  + 
1 )  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( ( n  +  1 )  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) ) ) )
8382expcom 424 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  -> 
( ( ( n  +  1 )  e. 
NN0  /\  ph )  -> 
( R ^ r ( ( n  + 
1 )  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
848, 16, 24, 32, 52, 83nn0ind 10124 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r ( N  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r N ) ) ) )
8584anabsi5 790 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r ( N  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r N ) ) )
8685expcom 424 1  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( R ^ r ( N  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r N ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801   U.cuni 3843    _I cid 4320    |` cres 4707    o. ccom 4709   Rel wrel 4710  (class class class)co 5874   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756   NN0cn0 9981   ^ rcrelexp 24038
This theorem is referenced by:  relexpcnv  24044  relexpdm  24047  relexpindlem  24051
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-seq 11063  df-relexp 24039
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