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Theorem relexpsucr 24026
Description: A reduction for relation exponentiation to the right. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
relexpsucr.1  |-  ( ph  ->  Rel  R )
relexpsucr.2  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
relexpsucr  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( R ^ r ( N  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r N )  o.  R
) ) )

Proof of Theorem relexpsucr
Dummy variables  r  n  x  y  z 
b  s  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relexpsucr.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
2 uniexg 4517 . . . 4  |-  ( R  e.  _V  ->  U. R  e.  _V )
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  U. R  e.  _V )
4 uniexg 4517 . . 3  |-  ( U. R  e.  _V  ->  U.
U. R  e.  _V )
5 resiexg 4997 . . 3  |-  ( U. U. R  e.  _V  ->  (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V )
63, 4, 53syl 18 . 2  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V )
7 eqidd 2284 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `  n
) )  =  ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) )
8 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  /\  ( r  =  R  /\  n  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  n  =  ( N  + 
1 ) )
9 eqidd 2284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  0  =  0 )
10 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  _V  =  _V )
11 coeq2 4842 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  (
x  o.  r )  =  ( x  o.  R ) )
1210, 10, 11mpt2eq123dv 5910 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  (
x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) )  =  ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) )
13 unieq 3836 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  R  ->  U. r  =  U. R )
1413unieqd 3838 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  R  ->  U. U. r  =  U. U. R
)
1514reseq2d 4955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  (  _I  |`  U. U. r
)  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
1615mpteq2dv 4107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  (
z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r
) )  =  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) )
179, 12, 16seqeq123d 11055 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) )  =  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) )
1817fveq1d 5527 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  ( N  +  1
) ) )
1918ad2antrl 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  /\  ( r  =  R  /\  ( N  + 
1 )  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  ( N  +  1
) ) )
20 eqeq1 2289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
n  =  ( N  +  1 )  <->  ( N  +  1 )  =  ( N  +  1 ) ) )
2120anbi2d 684 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( r  =  R  /\  n  =  ( N  +  1 ) )  <->  ( r  =  R  /\  ( N  +  1 )  =  ( N  +  1 ) ) ) )
2221anbi2d 684 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) )  /\  (
r  =  R  /\  n  =  ( N  +  1 ) ) )  <->  ( ( N  e.  NN0  /\  (
(  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  /\  ( r  =  R  /\  ( N  + 
1 )  =  ( N  +  1 ) ) ) ) )
23 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r
) ) ) `  ( N  +  1
) ) )
2423eqeq1d 2291 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
(  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r
) ) ) `  n )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  ( N  +  1 ) )  <->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  ( N  +  1
) ) ) )
2522, 24imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( ( ( N  e.  NN0  /\  (
(  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  /\  ( r  =  R  /\  n  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  ( N  +  1
) ) )  <->  ( (
( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  /\  ( r  =  R  /\  ( N  + 
1 )  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  ( N  +  1
) ) ) ) )
2619, 25mpbiri 224 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) )  /\  (
r  =  R  /\  n  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  ( N  +  1
) ) ) )
278, 26mpcom 32 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  /\  ( r  =  R  /\  n  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  ( N  +  1
) ) )
281ad2antll 709 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  ->  R  e.  _V )
29 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  ->  N  e.  NN0 )
30 1nn0 9981 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN0
3130a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
1  e.  NN0 )
32 nn0addcl 9999 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  NN0 )
3329, 31, 32syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( N  +  1 )  e.  NN0 )
34 fvex 5539 . . . . . . 7  |-  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 ( N  + 
1 ) )  e. 
_V
3534a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
(  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  ( N  +  1
) )  e.  _V )
367, 27, 28, 33, 35ovmpt2d 5975 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) ( N  +  1 ) )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  ( N  +  1 ) ) )
37 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  /\  ( r  =  R  /\  n  =  N ) )  ->  r  =  R )
38 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  N  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 n )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  N ) )
3938ad2antll 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  /\  ( R  =  R  /\  n  =  N
) )  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 n )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  N ) )
40 eqeq1 2289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  (
r  =  R  <->  R  =  R ) )
4140anbi1d 685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  (
( r  =  R  /\  n  =  N )  <->  ( R  =  R  /\  n  =  N ) ) )
4241anbi2d 684 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) )  /\  (
r  =  R  /\  n  =  N )
)  <->  ( ( N  e.  NN0  /\  (
(  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  /\  ( R  =  R  /\  n  =  N
) ) ) )
4317fveq1d 5527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  n ) )
4443eqeq1d 2291 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  (
(  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r
) ) ) `  n )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  <->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 n )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  N ) ) )
4542, 44imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( ( N  e.  NN0  /\  (
(  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  /\  ( r  =  R  /\  n  =  N ) )  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  N ) )  <->  ( (
( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  /\  ( R  =  R  /\  n  =  N
) )  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 n )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  N ) ) ) )
4639, 45mpbiri 224 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) )  /\  (
r  =  R  /\  n  =  N )
)  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  N ) ) )
4737, 46mpcom 32 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  /\  ( r  =  R  /\  n  =  N ) )  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  N ) )
48 fvex 5539 . . . . . . . 8  |-  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N )  e. 
_V
4948a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
(  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  N )  e.  _V )
507, 47, 28, 29, 49ovmpt2d 5975 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
) )
51 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
52 nn0uz 10262 . . . . . . . . 9  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
5351, 52syl6eleq 2373 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
54 seqp1 11061 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N ) ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ( ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
5553, 54syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) ) )  -> 
(  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  ( N  +  1
) )  =  ( (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  N ) ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ( ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) `  ( N  +  1
) ) ) )
56 eqidd 2284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  b  ->  (  _I  |`  U. U. R
)  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
5756cbvmptv 4111 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( b  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) )
5857a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) ) )  -> 
( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( b  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) )
59 eqidd 2284 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) ) )  /\  b  =  ( N  +  1 ) )  ->  (  _I  |`  U. U. R )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
6051, 30jctir 524 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) ) )  -> 
( N  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )
)
61 elex 2796 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
_V )
6260, 32, 613syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) ) )  -> 
( N  +  1 )  e.  _V )
63 simpl 443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  ->  (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V )
6463ad2antll 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) ) )  -> 
(  _I  |`  U. U. R )  e.  _V )
6558, 59, 62, 64fvmptd 5606 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) ) )  -> 
( ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) `  ( N  +  1
) )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
66 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ s
( x  o.  R
)
67 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ t
( x  o.  R
)
68 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( s  o.  R
)
69 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y
( s  o.  R
)
70 coeq1 4841 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  s  ->  (
x  o.  R )  =  ( s  o.  R ) )
7170adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  t )  ->  ( x  o.  R
)  =  ( s  o.  R ) )
7266, 67, 68, 69, 71cbvmpt2 5925 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) )  =  ( s  e. 
_V ,  t  e. 
_V  |->  ( s  o.  R ) )
7372a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) )  =  ( s  e.  _V , 
t  e.  _V  |->  ( s  o.  R ) ) )
74 coeq1 4841 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N )  -> 
( s  o.  R
)  =  ( (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  o.  R ) )
7574ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  /\  ( s  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  t  =  (  _I  |`  U. U. R ) ) )  ->  ( s  o.  R )  =  ( (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  N )  o.  R
) )
76 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
(  _I  |`  U. U. R )  e.  _V )
77 coexg 5215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  N )  e.  _V  /\  R  e.  _V )  ->  ( (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N )  o.  R )  e.  _V )
7849, 28, 77syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N )  o.  R )  e.  _V )
7973, 75, 49, 76, 78ovmpt2d 5975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N ) ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N )  o.  R ) )
80 coeq1 4841 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  ->  ( ( R ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
)  =  ( (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  o.  R ) )
8180eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  ->  ( (
(  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  N ) ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
)  <->  ( (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N ) ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N )  o.  R ) ) )
8279, 81syl5ibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  (
(  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N ) ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
) ) )
8382imp 418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) ) )  -> 
( (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N ) ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
) )
84 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) `  ( N  +  1
) )  =  (  _I  |`  U. U. R
)  ->  ( (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N ) ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ( ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
) ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) (  _I  |`  U. U. R
) ) )
8584eqeq1d 2291 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) `  ( N  +  1
) )  =  (  _I  |`  U. U. R
)  ->  ( (
(  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  N ) ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ( ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) `  ( N  +  1
) ) )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
)  <->  ( (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N ) ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
) ) )
8683, 85syl5ibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) `  ( N  +  1
) )  =  (  _I  |`  U. U. R
)  ->  ( (
( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) ) )  -> 
( (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N ) ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ( ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( R ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
) ) )
8765, 86mpcom 32 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) ) )  -> 
( (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N ) ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ( ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( R ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
) )
8855, 87eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) ) )  -> 
(  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  ( N  +  1
) )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
) )
8950, 88mpancom 650 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
(  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  ( N  +  1
) )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
) )
9036, 89eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) ( N  +  1 ) )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
) )
91 df-relexp 24024 . . . . 5  |-  ^ r  =  ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) )
92 oveq 5864 . . . . . . 7  |-  ( ^
r  =  ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) )  ->  ( R ^
r ( N  + 
1 ) )  =  ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) ( N  +  1 ) ) )
93 oveq 5864 . . . . . . . 8  |-  ( ^
r  =  ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) )  ->  ( R ^
r N )  =  ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N ) )
9493coeq1d 4845 . . . . . . 7  |-  ( ^
r  =  ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) )  ->  ( ( R ^ r N )  o.  R )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
) )
9592, 94eqeq12d 2297 . . . . . 6  |-  ( ^
r  =  ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) )  ->  ( ( R ^ r ( N  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r N )  o.  R )  <->  ( R
( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `  n
) ) ( N  +  1 ) )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `  n
) ) N )  o.  R ) ) )
9695imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( ^
r  =  ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) )  ->  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( R ^ r ( N  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r N )  o.  R
) )  <->  ( ( N  e.  NN0  /\  (
(  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) ( N  +  1 ) )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
) ) ) )
9791, 96ax-mp 8 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( R ^ r ( N  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r N )  o.  R
) )  <->  ( ( N  e.  NN0  /\  (
(  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) ( N  +  1 ) )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
) ) )
9890, 97mpbir 200 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( R ^ r ( N  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r N )  o.  R
) )
9998expcom 424 . 2  |-  ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( R ^ r ( N  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r N )  o.  R ) ) )
1006, 99mpancom 650 1  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( R ^ r ( N  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r N )  o.  R
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   U.cuni 3827    e. cmpt 4077    _I cid 4304    |` cres 4691    o. ccom 4693   Rel wrel 4694   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740   NN0cn0 9965   ZZ>=cuz 10230    seq cseq 11046   ^ rcrelexp 24023
This theorem is referenced by:  relexp1  24027  relexpsucl  24028  relexpcnv  24029  relexprn  24033  relexpadd  24035  rtrclreclem.min  24044
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-seq 11047  df-relexp 24024
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