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Theorem relexpsucr 24041
Description: A reduction for relation exponentiation to the right. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
relexpsucr.1  |-  ( ph  ->  Rel  R )
relexpsucr.2  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
relexpsucr  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( R ^ r ( N  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r N )  o.  R
) ) )

Proof of Theorem relexpsucr
Dummy variables  r  n  x  y  z 
b  s  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relexpsucr.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
2 uniexg 4533 . . . 4  |-  ( R  e.  _V  ->  U. R  e.  _V )
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  U. R  e.  _V )
4 uniexg 4533 . . 3  |-  ( U. R  e.  _V  ->  U.
U. R  e.  _V )
5 resiexg 5013 . . 3  |-  ( U. U. R  e.  _V  ->  (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V )
63, 4, 53syl 18 . 2  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V )
7 eqidd 2297 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `  n
) )  =  ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) )
8 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  /\  ( r  =  R  /\  n  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  n  =  ( N  + 
1 ) )
9 eqidd 2297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  0  =  0 )
10 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  _V  =  _V )
11 coeq2 4858 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  (
x  o.  r )  =  ( x  o.  R ) )
1210, 10, 11mpt2eq123dv 5926 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  (
x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) )  =  ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) )
13 unieq 3852 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  R  ->  U. r  =  U. R )
1413unieqd 3854 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  R  ->  U. U. r  =  U. U. R
)
1514reseq2d 4971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  (  _I  |`  U. U. r
)  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
1615mpteq2dv 4123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  (
z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r
) )  =  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) )
179, 12, 16seqeq123d 11071 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) )  =  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) )
1817fveq1d 5543 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  ( N  +  1
) ) )
1918ad2antrl 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  /\  ( r  =  R  /\  ( N  + 
1 )  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  ( N  +  1
) ) )
20 eqeq1 2302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
n  =  ( N  +  1 )  <->  ( N  +  1 )  =  ( N  +  1 ) ) )
2120anbi2d 684 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( r  =  R  /\  n  =  ( N  +  1 ) )  <->  ( r  =  R  /\  ( N  +  1 )  =  ( N  +  1 ) ) ) )
2221anbi2d 684 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) )  /\  (
r  =  R  /\  n  =  ( N  +  1 ) ) )  <->  ( ( N  e.  NN0  /\  (
(  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  /\  ( r  =  R  /\  ( N  + 
1 )  =  ( N  +  1 ) ) ) ) )
23 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r
) ) ) `  ( N  +  1
) ) )
2423eqeq1d 2304 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
(  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r
) ) ) `  n )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  ( N  +  1 ) )  <->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  ( N  +  1
) ) ) )
2522, 24imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( ( ( N  e.  NN0  /\  (
(  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  /\  ( r  =  R  /\  n  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  ( N  +  1
) ) )  <->  ( (
( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  /\  ( r  =  R  /\  ( N  + 
1 )  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  ( N  +  1
) ) ) ) )
2619, 25mpbiri 224 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) )  /\  (
r  =  R  /\  n  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  ( N  +  1
) ) ) )
278, 26mpcom 32 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  /\  ( r  =  R  /\  n  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  ( N  +  1
) ) )
281ad2antll 709 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  ->  R  e.  _V )
29 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  ->  N  e.  NN0 )
30 1nn0 9997 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN0
3130a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
1  e.  NN0 )
32 nn0addcl 10015 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  NN0 )
3329, 31, 32syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( N  +  1 )  e.  NN0 )
34 fvex 5555 . . . . . . 7  |-  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 ( N  + 
1 ) )  e. 
_V
3534a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
(  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  ( N  +  1
) )  e.  _V )
367, 27, 28, 33, 35ovmpt2d 5991 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) ( N  +  1 ) )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  ( N  +  1 ) ) )
37 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  /\  ( r  =  R  /\  n  =  N ) )  ->  r  =  R )
38 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  N  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 n )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  N ) )
3938ad2antll 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  /\  ( R  =  R  /\  n  =  N
) )  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 n )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  N ) )
40 eqeq1 2302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  (
r  =  R  <->  R  =  R ) )
4140anbi1d 685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  (
( r  =  R  /\  n  =  N )  <->  ( R  =  R  /\  n  =  N ) ) )
4241anbi2d 684 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) )  /\  (
r  =  R  /\  n  =  N )
)  <->  ( ( N  e.  NN0  /\  (
(  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  /\  ( R  =  R  /\  n  =  N
) ) ) )
4317fveq1d 5543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  n ) )
4443eqeq1d 2304 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  (
(  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r
) ) ) `  n )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  <->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 n )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  N ) ) )
4542, 44imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( ( N  e.  NN0  /\  (
(  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  /\  ( r  =  R  /\  n  =  N ) )  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  N ) )  <->  ( (
( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  /\  ( R  =  R  /\  n  =  N
) )  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 n )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  N ) ) ) )
4639, 45mpbiri 224 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) )  /\  (
r  =  R  /\  n  =  N )
)  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  N ) ) )
4737, 46mpcom 32 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  /\  ( r  =  R  /\  n  =  N ) )  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  N ) )
48 fvex 5555 . . . . . . . 8  |-  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N )  e. 
_V
4948a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
(  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  N )  e.  _V )
507, 47, 28, 29, 49ovmpt2d 5991 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
) )
51 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
52 nn0uz 10278 . . . . . . . . 9  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
5351, 52syl6eleq 2386 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
54 seqp1 11077 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N ) ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ( ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
5553, 54syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) ) )  -> 
(  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  ( N  +  1
) )  =  ( (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  N ) ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ( ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) `  ( N  +  1
) ) ) )
56 eqidd 2297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  b  ->  (  _I  |`  U. U. R
)  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
5756cbvmptv 4127 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( b  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) )
5857a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) ) )  -> 
( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( b  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) )
59 eqidd 2297 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) ) )  /\  b  =  ( N  +  1 ) )  ->  (  _I  |`  U. U. R )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
6051, 30jctir 524 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) ) )  -> 
( N  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )
)
61 elex 2809 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
_V )
6260, 32, 613syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) ) )  -> 
( N  +  1 )  e.  _V )
63 simpl 443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  ->  (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V )
6463ad2antll 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) ) )  -> 
(  _I  |`  U. U. R )  e.  _V )
6558, 59, 62, 64fvmptd 5622 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) ) )  -> 
( ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) `  ( N  +  1
) )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
66 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ s
( x  o.  R
)
67 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ t
( x  o.  R
)
68 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( s  o.  R
)
69 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y
( s  o.  R
)
70 coeq1 4857 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  s  ->  (
x  o.  R )  =  ( s  o.  R ) )
7170adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  t )  ->  ( x  o.  R
)  =  ( s  o.  R ) )
7266, 67, 68, 69, 71cbvmpt2 5941 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) )  =  ( s  e. 
_V ,  t  e. 
_V  |->  ( s  o.  R ) )
7372a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) )  =  ( s  e.  _V , 
t  e.  _V  |->  ( s  o.  R ) ) )
74 coeq1 4857 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N )  -> 
( s  o.  R
)  =  ( (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  o.  R ) )
7574ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  /\  ( s  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  t  =  (  _I  |`  U. U. R ) ) )  ->  ( s  o.  R )  =  ( (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  N )  o.  R
) )
76 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
(  _I  |`  U. U. R )  e.  _V )
77 coexg 5231 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  N )  e.  _V  /\  R  e.  _V )  ->  ( (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N )  o.  R )  e.  _V )
7849, 28, 77syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N )  o.  R )  e.  _V )
7973, 75, 49, 76, 78ovmpt2d 5991 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N ) ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N )  o.  R ) )
80 coeq1 4857 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  ->  ( ( R ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
)  =  ( (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  o.  R ) )
8180eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  ->  ( (
(  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  N ) ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
)  <->  ( (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N ) ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N )  o.  R ) ) )
8279, 81syl5ibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  (
(  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N ) ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
) ) )
8382imp 418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) ) )  -> 
( (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N ) ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
) )
84 oveq2 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) `  ( N  +  1
) )  =  (  _I  |`  U. U. R
)  ->  ( (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N ) ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ( ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
) ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) (  _I  |`  U. U. R
) ) )
8584eqeq1d 2304 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) `  ( N  +  1
) )  =  (  _I  |`  U. U. R
)  ->  ( (
(  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  N ) ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ( ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) `  ( N  +  1
) ) )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
)  <->  ( (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N ) ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
) ) )
8683, 85syl5ibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) `  ( N  +  1
) )  =  (  _I  |`  U. U. R
)  ->  ( (
( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) ) )  -> 
( (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N ) ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ( ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( R ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
) ) )
8765, 86mpcom 32 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) ) )  -> 
( (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N ) ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ( ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( R ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
) )
8855, 87eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) ) )  -> 
(  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  ( N  +  1
) )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
) )
8950, 88mpancom 650 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
(  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  ( N  +  1
) )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
) )
9036, 89eqtrd 2328 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) ( N  +  1 ) )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
) )
91 df-relexp 24039 . . . . 5  |-  ^ r  =  ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) )
92 oveq 5880 . . . . . . 7  |-  ( ^
r  =  ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) )  ->  ( R ^
r ( N  + 
1 ) )  =  ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) ( N  +  1 ) ) )
93 oveq 5880 . . . . . . . 8  |-  ( ^
r  =  ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) )  ->  ( R ^
r N )  =  ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N ) )
9493coeq1d 4861 . . . . . . 7  |-  ( ^
r  =  ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) )  ->  ( ( R ^ r N )  o.  R )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
) )
9592, 94eqeq12d 2310 . . . . . 6  |-  ( ^
r  =  ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) )  ->  ( ( R ^ r ( N  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r N )  o.  R )  <->  ( R
( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `  n
) ) ( N  +  1 ) )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `  n
) ) N )  o.  R ) ) )
9695imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( ^
r  =  ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) )  ->  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( R ^ r ( N  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r N )  o.  R
) )  <->  ( ( N  e.  NN0  /\  (
(  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) ( N  +  1 ) )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
) ) ) )
9791, 96ax-mp 8 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( R ^ r ( N  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r N )  o.  R
) )  <->  ( ( N  e.  NN0  /\  (
(  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) ( N  +  1 ) )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
) ) )
9890, 97mpbir 200 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( R ^ r ( N  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r N )  o.  R
) )
9998expcom 424 . 2  |-  ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( R ^ r ( N  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r N )  o.  R ) ) )
1006, 99mpancom 650 1  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( R ^ r ( N  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r N )  o.  R
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801   U.cuni 3843    e. cmpt 4093    _I cid 4320    |` cres 4707    o. ccom 4709   Rel wrel 4710   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756   NN0cn0 9981   ZZ>=cuz 10246    seq cseq 11062   ^ rcrelexp 24038
This theorem is referenced by:  relexp1  24042  relexpsucl  24043  relexpcnv  24044  relexprn  24048  relexpadd  24050  rtrclreclem.min  24059
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-seq 11063  df-relexp 24039
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