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Theorem relexpsucr 24910
Description: A reduction for relation exponentiation to the right. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
relexpsucr.1  |-  ( ph  ->  Rel  R )
relexpsucr.2  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
relexpsucr  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( R ^ r ( N  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r N )  o.  R
) ) )

Proof of Theorem relexpsucr
Dummy variables  r  n  x  y  z 
b  s  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relexpsucr.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
2 uniexg 4647 . . . 4  |-  ( R  e.  _V  ->  U. R  e.  _V )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  U. R  e.  _V )
4 uniexg 4647 . . 3  |-  ( U. R  e.  _V  ->  U.
U. R  e.  _V )
5 resiexg 5129 . . 3  |-  ( U. U. R  e.  _V  ->  (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V )
63, 4, 53syl 19 . 2  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V )
7 eqidd 2389 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `  n
) )  =  ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) )
8 simprr 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  /\  ( r  =  R  /\  n  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  n  =  ( N  + 
1 ) )
9 eqidd 2389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  0  =  0 )
10 eqidd 2389 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  _V  =  _V )
11 coeq2 4972 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  (
x  o.  r )  =  ( x  o.  R ) )
1210, 10, 11mpt2eq123dv 6076 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  (
x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) )  =  ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) )
13 unieq 3967 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  R  ->  U. r  =  U. R )
1413unieqd 3969 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  R  ->  U. U. r  =  U. U. R
)
1514reseq2d 5087 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  (  _I  |`  U. U. r
)  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
1615mpteq2dv 4238 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  (
z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r
) )  =  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) )
179, 12, 16seqeq123d 11260 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) )  =  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) )
1817fveq1d 5671 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  ( N  +  1
) ) )
1918ad2antrl 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  /\  ( r  =  R  /\  ( N  + 
1 )  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  ( N  +  1
) ) )
20 eqeq1 2394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
n  =  ( N  +  1 )  <->  ( N  +  1 )  =  ( N  +  1 ) ) )
2120anbi2d 685 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( r  =  R  /\  n  =  ( N  +  1 ) )  <->  ( r  =  R  /\  ( N  +  1 )  =  ( N  +  1 ) ) ) )
2221anbi2d 685 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) )  /\  (
r  =  R  /\  n  =  ( N  +  1 ) ) )  <->  ( ( N  e.  NN0  /\  (
(  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  /\  ( r  =  R  /\  ( N  + 
1 )  =  ( N  +  1 ) ) ) ) )
23 fveq2 5669 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r
) ) ) `  ( N  +  1
) ) )
2423eqeq1d 2396 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
(  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r
) ) ) `  n )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  ( N  +  1 ) )  <->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  ( N  +  1
) ) ) )
2522, 24imbi12d 312 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( ( ( N  e.  NN0  /\  (
(  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  /\  ( r  =  R  /\  n  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  ( N  +  1
) ) )  <->  ( (
( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  /\  ( r  =  R  /\  ( N  + 
1 )  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  ( N  +  1
) ) ) ) )
2619, 25mpbiri 225 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) )  /\  (
r  =  R  /\  n  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  ( N  +  1
) ) ) )
278, 26mpcom 34 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  /\  ( r  =  R  /\  n  =  ( N  +  1 ) ) )  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  ( N  +  1
) ) )
281ad2antll 710 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  ->  R  e.  _V )
29 simpl 444 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  ->  N  e.  NN0 )
30 1nn0 10170 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN0
3130a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
1  e.  NN0 )
32 nn0addcl 10188 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  NN0 )
3329, 31, 32syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( N  +  1 )  e.  NN0 )
34 fvex 5683 . . . . . . 7  |-  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 ( N  + 
1 ) )  e. 
_V
3534a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
(  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  ( N  +  1
) )  e.  _V )
367, 27, 28, 33, 35ovmpt2d 6141 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) ( N  +  1 ) )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  ( N  +  1 ) ) )
37 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  /\  ( r  =  R  /\  n  =  N ) )  ->  r  =  R )
38 fveq2 5669 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  N  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 n )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  N ) )
3938ad2antll 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  /\  ( R  =  R  /\  n  =  N
) )  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 n )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  N ) )
40 eqeq1 2394 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  (
r  =  R  <->  R  =  R ) )
4140anbi1d 686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  (
( r  =  R  /\  n  =  N )  <->  ( R  =  R  /\  n  =  N ) ) )
4241anbi2d 685 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) )  /\  (
r  =  R  /\  n  =  N )
)  <->  ( ( N  e.  NN0  /\  (
(  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  /\  ( R  =  R  /\  n  =  N
) ) ) )
4317fveq1d 5671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  n ) )
4443eqeq1d 2396 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  (
(  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r
) ) ) `  n )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  <->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 n )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  N ) ) )
4542, 44imbi12d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( ( N  e.  NN0  /\  (
(  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  /\  ( r  =  R  /\  n  =  N ) )  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  N ) )  <->  ( (
( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  /\  ( R  =  R  /\  n  =  N
) )  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 n )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  N ) ) ) )
4639, 45mpbiri 225 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( N  e. 
NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) )  /\  (
r  =  R  /\  n  =  N )
)  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  N ) ) )
4737, 46mpcom 34 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  /\  ( r  =  R  /\  n  =  N ) )  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  N ) )
48 fvex 5683 . . . . . . . 8  |-  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N )  e. 
_V
4948a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
(  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  N )  e.  _V )
507, 47, 28, 29, 49ovmpt2d 6141 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
) )
51 simprl 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
52 nn0uz 10453 . . . . . . . . 9  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
5351, 52syl6eleq 2478 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
54 seqp1 11266 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N ) ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ( ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
5553, 54syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) ) )  -> 
(  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  ( N  +  1
) )  =  ( (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  N ) ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ( ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) `  ( N  +  1
) ) ) )
56 eqidd 2389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  b  ->  (  _I  |`  U. U. R
)  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
5756cbvmptv 4242 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( b  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) )
5857a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) ) )  -> 
( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( b  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) )
59 eqidd 2389 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) ) )  /\  b  =  ( N  +  1 ) )  ->  (  _I  |`  U. U. R )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
6051, 30jctir 525 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) ) )  -> 
( N  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )
)
61 elex 2908 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
_V )
6260, 32, 613syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) ) )  -> 
( N  +  1 )  e.  _V )
63 simpl 444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  ->  (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V )
6463ad2antll 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) ) )  -> 
(  _I  |`  U. U. R )  e.  _V )
6558, 59, 62, 64fvmptd 5750 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) ) )  -> 
( ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) `  ( N  +  1
) )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
66 nfcv 2524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ s
( x  o.  R
)
67 nfcv 2524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ t
( x  o.  R
)
68 nfcv 2524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( s  o.  R
)
69 nfcv 2524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y
( s  o.  R
)
70 coeq1 4971 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  s  ->  (
x  o.  R )  =  ( s  o.  R ) )
7170adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  t )  ->  ( x  o.  R
)  =  ( s  o.  R ) )
7266, 67, 68, 69, 71cbvmpt2 6091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) )  =  ( s  e. 
_V ,  t  e. 
_V  |->  ( s  o.  R ) )
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) )  =  ( s  e.  _V , 
t  e.  _V  |->  ( s  o.  R ) ) )
74 coeq1 4971 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N )  -> 
( s  o.  R
)  =  ( (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  o.  R ) )
7574ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  /\  ( s  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  t  =  (  _I  |`  U. U. R ) ) )  ->  ( s  o.  R )  =  ( (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  N )  o.  R
) )
76 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
(  _I  |`  U. U. R )  e.  _V )
77 coexg 5353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  N )  e.  _V  /\  R  e.  _V )  ->  ( (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N )  o.  R )  e.  _V )
7849, 28, 77syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N )  o.  R )  e.  _V )
7973, 75, 49, 76, 78ovmpt2d 6141 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N ) ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N )  o.  R ) )
80 coeq1 4971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  ->  ( ( R ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
)  =  ( (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  o.  R ) )
8180eqeq2d 2399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  ->  ( (
(  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  N ) ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
)  <->  ( (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N ) ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N )  o.  R ) ) )
8279, 81syl5ibr 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  (
(  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N ) ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
) ) )
8382imp 419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) ) )  -> 
( (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N ) ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
) )
84 oveq2 6029 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) `  ( N  +  1
) )  =  (  _I  |`  U. U. R
)  ->  ( (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N ) ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ( ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
) ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) (  _I  |`  U. U. R
) ) )
8584eqeq1d 2396 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) `  ( N  +  1
) )  =  (  _I  |`  U. U. R
)  ->  ( (
(  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  N ) ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ( ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) `  ( N  +  1
) ) )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
)  <->  ( (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N ) ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
) ) )
8683, 85syl5ibr 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) `  ( N  +  1
) )  =  (  _I  |`  U. U. R
)  ->  ( (
( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) ) )  -> 
( (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N ) ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ( ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( R ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
) ) )
8765, 86mpcom 34 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) ) )  -> 
( (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `
 N ) ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ( ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( R ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
) )
8855, 87eqtrd 2420 . . . . . 6  |-  ( ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  =  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  R ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) `  N
)  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R
)  e.  _V  /\  ph ) ) )  -> 
(  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  ( N  +  1
) )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
) )
8950, 88mpancom 651 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
(  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  R
) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. R
) ) ) `  ( N  +  1
) )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
) )
9036, 89eqtrd 2420 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) ( N  +  1 ) )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
) )
91 df-relexp 24908 . . . . 5  |-  ^ r  =  ( r  e. 
_V ,  n  e. 
NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) )
92 oveq 6027 . . . . . . 7  |-  ( ^
r  =  ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) )  ->  ( R ^
r ( N  + 
1 ) )  =  ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) ( N  +  1 ) ) )
93 oveq 6027 . . . . . . . 8  |-  ( ^
r  =  ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) )  ->  ( R ^
r N )  =  ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N ) )
9493coeq1d 4975 . . . . . . 7  |-  ( ^
r  =  ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) )  ->  ( ( R ^ r N )  o.  R )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e. 
_V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
) )
9592, 94eqeq12d 2402 . . . . . 6  |-  ( ^
r  =  ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) )  ->  ( ( R ^ r ( N  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r N )  o.  R )  <->  ( R
( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `  n
) ) ( N  +  1 ) )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0 ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `  n
) ) N )  o.  R ) ) )
9695imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( ^
r  =  ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) )  ->  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( R ^ r ( N  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r N )  o.  R
) )  <->  ( ( N  e.  NN0  /\  (
(  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) ( N  +  1 ) )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
) ) ) )
9791, 96ax-mp 8 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( R ^ r ( N  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r N )  o.  R
) )  <->  ( ( N  e.  NN0  /\  (
(  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) ( N  +  1 ) )  =  ( ( R ( r  e.  _V ,  n  e.  NN0  |->  (  seq  0
( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x  o.  r ) ) ,  ( z  e.  _V  |->  (  _I  |`  U. U. r ) ) ) `
 n ) ) N )  o.  R
) ) )
9890, 97mpbir 201 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph ) )  -> 
( R ^ r ( N  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r N )  o.  R
) )
9998expcom 425 . 2  |-  ( ( (  _I  |`  U. U. R )  e.  _V  /\ 
ph )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( R ^ r ( N  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r N )  o.  R ) ) )
1006, 99mpancom 651 1  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( R ^ r ( N  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r N )  o.  R
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2900   U.cuni 3958    e. cmpt 4208    _I cid 4435    |` cres 4821    o. ccom 4823   Rel wrel 4824   ` cfv 5395  (class class class)co 6021    e. cmpt2 6023   0cc0 8924   1c1 8925    + caddc 8927   NN0cn0 10154   ZZ>=cuz 10421    seq cseq 11251   ^ rcrelexp 24907
This theorem is referenced by:  relexp1  24911  relexpsucl  24912  relexpcnv  24913  relexprn  24916  relexpadd  24918  rtrclreclem.min  24927
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-seq 11252  df-relexp 24908
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