MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relfunc Unicode version

Theorem relfunc 13785
Description: The set of functors is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
relfunc  |-  Rel  ( D  Func  E )

Proof of Theorem relfunc
Dummy variables  f 
b  g  m  n  t  u  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-func 13781 . 2  |-  Func  =  ( t  e.  Cat ,  u  e.  Cat  |->  {
<. f ,  g >.  |  [. ( Base `  t
)  /  b ]. ( f : b --> ( Base `  u
)  /\  g  e.  X_ z  e.  ( b  X.  b ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  u
) ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  (
(  Hom  `  t ) `
 z ) )  /\  A. x  e.  b  ( ( ( x g x ) `
 ( ( Id
`  t ) `  x ) )  =  ( ( Id `  u ) `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  b  A. z  e.  b  A. m  e.  ( x (  Hom  `  t ) y ) A. n  e.  ( y (  Hom  `  t
) z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>. (comp `  t )
z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. (comp `  u )
( f `  z
) ) ( ( x g y ) `
 m ) ) ) ) } )
21relmpt2opab 6243 1  |-  Rel  ( D  Func  E )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1633    e. wcel 1701   A.wral 2577   [.wsbc 3025   <.cop 3677    X. cxp 4724   Rel wrel 4731   -->wf 5288   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   1stc1st 6162   2ndc2nd 6163    ^m cmap 6815   X_cixp 6860   Basecbs 13195    Hom chom 13266  compcco 13267   Catccat 13615   Idccid 13616    Func cfunc 13777
This theorem is referenced by:  cofuval  13805  cofu1  13807  cofu2  13809  cofuval2  13810  cofucl  13811  cofuass  13812  cofulid  13813  cofurid  13814  funcres  13819  funcres2  13821  wunfunc  13822  funcpropd  13823  relfull  13831  relfth  13832  isfull  13833  isfth  13837  idffth  13856  cofull  13857  cofth  13858  ressffth  13861  isnat  13870  isnat2  13871  nat1st2nd  13874  fuccocl  13887  fucidcl  13888  fuclid  13889  fucrid  13890  fucass  13891  fucsect  13895  fucinv  13896  invfuc  13897  fuciso  13898  natpropd  13899  fucpropd  13900  catciso  13988  prfval  14022  prfcl  14026  prf1st  14027  prf2nd  14028  1st2ndprf  14029  evlfcllem  14044  evlfcl  14045  curf1cl  14051  curf2cl  14054  curfcl  14055  uncf1  14059  uncf2  14060  curfuncf  14061  uncfcurf  14062  diag1cl  14065  diag2cl  14069  curf2ndf  14070  yon1cl  14086  oyon1cl  14094  yonedalem1  14095  yonedalem21  14096  yonedalem3a  14097  yonedalem4c  14100  yonedalem22  14101  yonedalem3b  14102  yonedalem3  14103  yonedainv  14104  yonffthlem  14105  yoniso  14108
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-func 13781
  Copyright terms: Public domain W3C validator