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Theorem relin01 25194
Description: An interval law for less than or equal. (Contributed by Scott Fenton, 27-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
relin01  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <_  0  \/  (
0  <_  A  /\  A  <_  1 )  \/  1  <_  A )
)

Proof of Theorem relin01
StepHypRef Expression
1 1re 9090 . . . 4  |-  1  e.  RR
2 letric 9174 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( A  <_  1  \/  1  <_  A ) )
31, 2mpan2 653 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <_  1  \/  1  <_  A ) )
4 0re 9091 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
5 letric 9174 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( A  <_  0  \/  0  <_  A ) )
64, 5mpan2 653 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <_  0  \/  0  <_  A ) )
7 pm3.21 436 . . . . . 6  |-  ( A  <_  1  ->  (
0  <_  A  ->  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )
87orim2d 814 . . . . 5  |-  ( A  <_  1  ->  (
( A  <_  0  \/  0  <_  A )  ->  ( A  <_ 
0  \/  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) ) )
96, 8syl5com 28 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <_  1  ->  ( A  <_  0  \/  (
0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) ) )
109orim1d 813 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A  <_  1  \/  1  <_  A )  ->  ( ( A  <_  0  \/  (
0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  \/  1  <_  A
) ) )
113, 10mpd 15 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A  <_  0  \/  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  \/  1  <_  A ) )
12 df-3or 937 . 2  |-  ( ( A  <_  0  \/  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 )  \/  1  <_  A
)  <->  ( ( A  <_  0  \/  (
0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  \/  1  <_  A
) )
1311, 12sylibr 204 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <_  0  \/  (
0  <_  A  /\  A  <_  1 )  \/  1  <_  A )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    \/ w3o 935    e. wcel 1725   class class class wbr 4212   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    <_ cle 9121
This theorem is referenced by:  colinearalglem4  25848
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126
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