Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rellyscon Structured version   Unicode version

Theorem rellyscon 24938
Description: The real numbers are locally simply connected. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
rellyscon  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e. Locally SCon

Proof of Theorem rellyscon
Dummy variables  a 
b  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 retop 18795 . 2  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
2 tg2 17030 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  y  e.  x )  ->  E. z  e.  ran  (,) ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) )
3 retopbas 18794 . . . . . . . . . 10  |-  ran  (,)  e. 
TopBases
4 bastg 17031 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran 
(,)  e.  TopBases  ->  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  (,) )
)
53, 4ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  (,) )
6 simprl 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  y  e.  x
)  /\  ( z  e.  ran  (,)  /\  (
y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )  ->  z  e.  ran  (,) )
75, 6sseldi 3346 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  y  e.  x
)  /\  ( z  e.  ran  (,)  /\  (
y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )  ->  z  e.  ( topGen `  ran  (,) )
)
8 simprrr 742 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  y  e.  x
)  /\  ( z  e.  ran  (,)  /\  (
y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )  ->  z  C_  x )
9 vex 2959 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
109elpw 3805 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ~P x  <->  z  C_  x )
118, 10sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  y  e.  x
)  /\  ( z  e.  ran  (,)  /\  (
y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )  ->  z  e.  ~P x )
12 elin 3530 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )  i^i  ~P x )  <->  ( z  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  z  e.  ~P x ) )
137, 11, 12sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  y  e.  x
)  /\  ( z  e.  ran  (,)  /\  (
y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )  ->  z  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )  i^i  ~P x
) )
14 simprrl 741 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  y  e.  x
)  /\  ( z  e.  ran  (,)  /\  (
y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )  ->  y  e.  z )
15 ioof 11002 . . . . . . . . . 10  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
16 ffn 5591 . . . . . . . . . 10  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
17 ovelrn 6222 . . . . . . . . . 10  |-  ( (,) 
Fn  ( RR*  X.  RR* )  ->  ( z  e. 
ran  (,)  <->  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  z  =  ( a (,) b ) ) )
1815, 16, 17mp2b 10 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ran  (,)  <->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  z  =  ( a (,) b ) )
19 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( a (,) b )  ->  (
( topGen `  ran  (,) )t  z
)  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
a (,) b ) ) )
20 iooscon 24934 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
a (,) b ) )  e. SCon
2119, 20syl6eqel 2524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( a (,) b )  ->  (
( topGen `  ran  (,) )t  z
)  e. SCon )
2221rexlimivw 2826 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. b  e.  RR*  z  =  ( a (,) b )  ->  (
( topGen `  ran  (,) )t  z
)  e. SCon )
2322rexlimivw 2826 . . . . . . . . 9  |-  ( E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  z  =  ( a (,) b )  ->  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  z )  e. SCon
)
2418, 23sylbi 188 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ran  (,)  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  z
)  e. SCon )
2524ad2antrl 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  y  e.  x
)  /\  ( z  e.  ran  (,)  /\  (
y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )  ->  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  z
)  e. SCon )
2613, 14, 25jca32 522 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  y  e.  x
)  /\  ( z  e.  ran  (,)  /\  (
y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )  ->  ( z  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )  i^i  ~P x
)  /\  ( y  e.  z  /\  (
( topGen `  ran  (,) )t  z
)  e. SCon ) )
)
2726ex 424 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  y  e.  x )  ->  (
( z  e.  ran  (,) 
/\  ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) )  -> 
( z  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )  i^i  ~P x )  /\  ( y  e.  z  /\  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  z )  e. SCon
) ) ) )
2827reximdv2 2815 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  y  e.  x )  ->  ( E. z  e.  ran  (,) ( y  e.  z  /\  z  C_  x
)  ->  E. z  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )  i^i  ~P x
) ( y  e.  z  /\  ( (
topGen `  ran  (,) )t  z
)  e. SCon ) )
)
292, 28mpd 15 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  y  e.  x )  ->  E. z  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )  i^i  ~P x
) ( y  e.  z  /\  ( (
topGen `  ran  (,) )t  z
)  e. SCon ) )
3029rgen2 2802 . 2  |-  A. x  e.  ( topGen `  ran  (,) ) A. y  e.  x  E. z  e.  (
( topGen `  ran  (,) )  i^i  ~P x ) ( y  e.  z  /\  ( ( topGen `  ran  (,) )t  z )  e. SCon )
31 islly 17531 . 2  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )  e. Locally SCon  <->  ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  A. x  e.  ( topGen `  ran  (,) ) A. y  e.  x  E. z  e.  (
( topGen `  ran  (,) )  i^i  ~P x ) ( y  e.  z  /\  ( ( topGen `  ran  (,) )t  z )  e. SCon )
) )
321, 30, 31mpbir2an 887 1  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e. Locally SCon
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706    i^i cin 3319    C_ wss 3320   ~Pcpw 3799    X. cxp 4876   ran crn 4879    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   RRcr 8989   RR*cxr 9119   (,)cioo 10916   ↾t crest 13648   topGenctg 13665   Topctop 16958   TopBasesctb 16962  Locally clly 17527  SConcscon 24907
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-con 17475  df-lly 17529  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-ii 18907  df-htpy 18995  df-phtpy 18996  df-phtpc 19017  df-pcon 24908  df-scon 24909
  Copyright terms: Public domain W3C validator