MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relogcld Unicode version

Theorem relogcld 20475
Description: Closure of the natural logarithm function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
relogcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
relogcld  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  RR )

Proof of Theorem relogcld
StepHypRef Expression
1 relogcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
2 relogcl 20430 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  e.  RR )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721   ` cfv 5417   RRcr 8949   RR+crp 10572   logclog 20409
This theorem is referenced by:  logcnlem3  20492  advlogexp  20503  logccv  20511  recxpcl  20523  cxpsqr  20551  loglesqr  20599  ang180lem2  20609  isosctrlem2  20620  atanlogaddlem  20710  atantan  20720  birthdaylem2  20748  birthdaylem3  20749  amgmlem  20785  emcllem1  20791  emcllem2  20792  emcllem3  20793  emcllem4  20794  emcllem5  20795  emcllem6  20796  harmonicubnd  20805  fsumharmonic  20807  chtf  20848  efchtcl  20851  chtge0  20852  vmacl  20858  chtprm  20893  chtdif  20898  efchtdvds  20899  prmorcht  20918  vmalelog  20946  chtleppi  20951  chtublem  20952  fsumvma2  20955  pclogsum  20956  vmasum  20957  chpval2  20959  chpchtsum  20960  chpub  20961  logfacubnd  20962  logfaclbnd  20963  logexprlim  20966  logfacrlim2  20967  bposlem1  21025  bposlem9  21033  chebbnd1lem1  21120  chebbnd1lem2  21121  chebbnd1lem3  21122  chtppilimlem1  21124  chpchtlim  21130  vmadivsum  21133  vmadivsumb  21134  rplogsumlem1  21135  rplogsumlem2  21136  rpvmasumlem  21138  dchrvmasumlem1  21146  dchrvmasum2lem  21147  dchrvmasum2if  21148  dchrvmasumiflem1  21152  dchrvmasumiflem2  21153  rplogsum  21178  mulogsumlem  21182  mulogsum  21183  mulog2sumlem1  21185  mulog2sumlem2  21186  mulog2sumlem3  21187  vmalogdivsum2  21189  vmalogdivsum  21190  2vmadivsumlem  21191  logsqvma  21193  logsqvma2  21194  log2sumbnd  21195  selberglem2  21197  selbergb  21200  selberg2lem  21201  selberg2b  21203  chpdifbndlem1  21204  chpdifbndlem2  21205  logdivbnd  21207  selberg3lem1  21208  selberg3lem2  21209  selberg3  21210  selberg4lem1  21211  selberg4  21212  selberg3r  21220  selberg4r  21221  selberg34r  21222  pntsf  21224  pntsval2  21227  pntrlog2bndlem1  21228  pntrlog2bndlem2  21229  pntrlog2bndlem3  21230  pntrlog2bndlem4  21231  pntrlog2bndlem5  21232  pntrlog2bndlem6  21234  pntrlog2bnd  21235  pntpbnd1a  21236  pntpbnd2  21238  pntibndlem2  21242  pntlemb  21248  pntlemg  21249  pntlemh  21250  pntlemn  21251  pntlemr  21253  pntlemj  21254  pntlemf  21256  pntlemk  21257  pntlemo  21258  ostth2lem4  21287  ostth2  21288  ostth3  21289  xrge0iifcnv  24276  xrge0iifiso  24278  xrge0iifhom  24280  rnlogbcl  24358  logbrec  24362  logblt  24363  zetacvg  24756  lgamgulmlem3  24772  lgamgulmlem4  24773  lgamgulmlem5  24774  lgamgulmlem6  24775  lgamgulm2  24777  lgambdd  24778  lgamcvg2  24796  gamcvg  24797  gamcvg2lem  24800  relgamcl  24803  lgam1  24805  stirlinglem4  27697  stirlinglem11  27704  stirlinglem12  27705  stirlinglem13  27706
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028  ax-addf 9029  ax-mulf 9030
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-of 6268  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-pm 6984  df-ixp 7027  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-fi 7378  df-sup 7408  df-oi 7439  df-card 7786  df-cda 8008  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-5 10021  df-6 10022  df-7 10023  df-8 10024  df-9 10025  df-10 10026  df-n0 10182  df-z 10243  df-dec 10343  df-uz 10449  df-q 10535  df-rp 10573  df-xneg 10670  df-xadd 10671  df-xmul 10672  df-ioo 10880  df-ioc 10881  df-ico 10882  df-icc 10883  df-fz 11004  df-fzo 11095  df-fl 11161  df-mod 11210  df-seq 11283  df-exp 11342  df-fac 11526  df-bc 11553  df-hash 11578  df-shft 11841  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-limsup 12224  df-clim 12241  df-rlim 12242  df-sum 12439  df-ef 12629  df-sin 12631  df-cos 12632  df-pi 12634  df-struct 13430  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-ress 13435  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-starv 13503  df-sca 13504  df-vsca 13505  df-tset 13507  df-ple 13508  df-ds 13510  df-unif 13511  df-hom 13512  df-cco 13513  df-rest 13609  df-topn 13610  df-topgen 13626  df-pt 13627  df-prds 13630  df-xrs 13685  df-0g 13686  df-gsum 13687  df-qtop 13692  df-imas 13693  df-xps 13695  df-mre 13770  df-mrc 13771  df-acs 13773  df-mnd 14649  df-submnd 14698  df-mulg 14774  df-cntz 15075  df-cmn 15373  df-psmet 16653  df-xmet 16654  df-met 16655  df-bl 16656  df-mopn 16657  df-fbas 16658  df-fg 16659  df-cnfld 16663  df-top 16922  df-bases 16924  df-topon 16925  df-topsp 16926  df-cld 17042  df-ntr 17043  df-cls 17044  df-nei 17121  df-lp 17159  df-perf 17160  df-cn 17249  df-cnp 17250  df-haus 17337  df-tx 17551  df-hmeo 17744  df-fil 17835  df-fm 17927  df-flim 17928  df-flf 17929  df-xms 18307  df-ms 18308  df-tms 18309  df-cncf 18865  df-limc 19710  df-dv 19711  df-log 20411
  Copyright terms: Public domain W3C validator