Theorem relsn 3254

Description: A singleton of an ordered pair is a relation.

Hypothesis

Ref	Expression
relsn.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
relsn	|- Rel {<.A, B>.}

Proof of Theorem relsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsn.1	. . . . 5 |- A e. V
2		opelxpi 3217	. . . . 5 |- ((A e. V /\ B e. V) -> <.A, B>. e. (V X. V))
3	1, 2	mpan 695	. . . 4 |- (B e. V -> <.A, B>. e. (V X. V))
4		opprc2 2499	. . . . 5 |- (-. B e. V -> <.A, B>. = <.A, A>.)
5	1	opelxp 3214	. . . . . 6 |- (<.A, A>. e. (V X. V) <-> (A e. V /\ A e. V))
6	5, 1, 1	mpbir2an 730	. . . . 5 |- <.A, A>. e. (V X. V)
7	4, 6	syl6eqel 1556	. . . 4 |- (-. B e. V -> <.A, B>. e. (V X. V))
8	3, 7	pm2.61i 126	. . 3 |- <.A, B>. e. (V X. V)
9		snssi 2466	. . 3 |- (<.A, B>. e. (V X. V) -> {<.A, B>.} (_ (V X. V))
10	8, 9	ax-mp 7	. 2 |- {<.A, B>.} (_ (V X. V)
11		df-rel 3185	. 2 |- (Rel {<.A, B>.} <-> {<.A, B>.} (_ (V X. V))
12	10, 11	mpbir 190	1 |- Rel {<.A, B>.}

Syntax hints:  -. wn 2   e. wcel 958  Vcvv 1811   (_ wss 2047  {csn 2409  <.cop 2411   X. cxp 3168  Rel wrel 3175

This theorem is referenced by:  cnvsn 3449  funsn 3543  fsn 3834

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-opab 2667  df-xp 3184  df-rel 3185

Copyright terms: Public domain