Theorem relssdr 3519

Description: A relation is included in the cross product of its domain and range. Exercise 4.12(t) of [Mendelson] p. 235.

Assertion

Ref	Expression
relssdr	|- (Rel A -> A (_ (dom A X. ran A))

Proof of Theorem relssdr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 59	. 2 |- (Rel A -> Rel A)
2		19.8a 1031	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. A -> E.y<.x, y>. e. A)
3		19.8a 1031	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. A -> E.x<.x, y>. e. A)
4	2, 3	jca 288	. . . 4 |- (<.x, y>. e. A -> (E.y<.x, y>. e. A /\ E.x<.x, y>. e. A))
5		visset 1816	. . . . . 6 |- y e. V
6	5	opelxp 3220	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. (dom A X. ran A) <-> (x e. dom A /\ y e. ran A))
7		visset 1816	. . . . . . 7 |- x e. V
8	7	eldm2 3314	. . . . . 6 |- (x e. dom A <-> E.y<.x, y>. e. A)
9	5	elrn2 3355	. . . . . 6 |- (y e. ran A <-> E.x<.x, y>. e. A)
10	8, 9	anbi12i 484	. . . . 5 |- ((x e. dom A /\ y e. ran A) <-> (E.y<.x, y>. e. A /\ E.x<.x, y>. e. A))
11	6, 10	bitr 173	. . . 4 |- (<.x, y>. e. (dom A X. ran A) <-> (E.y<.x, y>. e. A /\ E.x<.x, y>. e. A))
12	4, 11	sylibr 200	. . 3 |- (<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. (dom A X. ran A))
13	12	a1i 8	. 2 |- (Rel A -> (<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. (dom A X. ran A)))
14	1, 13	relssdv 3255	1 |- (Rel A -> A (_ (dom A X. ran A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 960  E.wex 982   (_ wss 2050  <.cop 2415   X. cxp 3174  dom cdm 3176  ran crn 3177  Rel wrel 3181

This theorem is referenced by:  relfld 3521  cnvexg 3525  coexg 3530  resfunexg 3585  cofunexg 3586  fnex 3613  fssxp 3643  oprabss 4012

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-br 2625  df-opab 2672  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-dm 3194  df-rn 3195

Copyright terms: Public domain