Theorem relssi 3248

Description: Inference from subclass principle for relations.

Hypotheses

Ref	Expression
relssi.1	|- Rel A
relssi.2	|- (<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B)

Assertion

Ref	Expression
relssi	|- A (_ B

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y

Proof of Theorem relssi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relssi.1	. . 3 |- Rel A
2		ssrel 3247	. . 3 |- (Rel A -> (A (_ B <-> A.xA.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B)))
3	1, 2	ax-mp 7	. 2 |- (A (_ B <-> A.xA.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B))
4		relssi.2	. . 3 |- (<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B)
5	4	ax-gen 963	. 2 |- A.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B)
6	3, 5	mpgbir 988	1 |- A (_ B

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146  A.wal 954   e. wcel 958   (_ wss 2047  <.cop 2411  Rel wrel 3175

This theorem is referenced by:  xpsspw 3257  resiexg 3396  oprssdm 4042  ecopoprdm 4309  enssdom 4383  idssen 4406

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-opab 2667  df-xp 3184  df-rel 3185

Copyright terms: Public domain