MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relssi Structured version   Unicode version

Theorem relssi 5002
Description: Inference from subclass principle for relations. (Contributed by NM, 31-Mar-1998.)
Hypotheses
Ref Expression
relssi.1  |-  Rel  A
relssi.2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)
Assertion
Ref Expression
relssi  |-  A  C_  B
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y

Proof of Theorem relssi
StepHypRef Expression
1 relssi.1 . . 3  |-  Rel  A
2 ssrel 4999 . . 3  |-  ( Rel 
A  ->  ( A  C_  B  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
) ) )
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  ( A 
C_  B  <->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  A  -> 
<. x ,  y >.  e.  B ) )
4 relssi.2 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)
54ax-gen 1556 . 2  |-  A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)
63, 5mpgbir 1560 1  |-  A  C_  B
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178   A.wal 1550    e. wcel 1728    C_ wss 3309   <.cop 3846   Rel wrel 4918
This theorem is referenced by:  xpsspwOLD  5022  resiexg  5223  oprssdm  6264  dftpos4  6534  enssdom  7168  idssen  7188  txuni2  17635  txpss3v  25758  pprodss4v  25764  aoprssdm  28154
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pr 4438
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-v 2967  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-nul 3617  df-if 3768  df-sn 3849  df-pr 3850  df-op 3852  df-opab 4298  df-xp 4919  df-rel 4920
  Copyright terms: Public domain W3C validator