MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relssi Unicode version

Theorem relssi 4934
Description: Inference from subclass principle for relations. (Contributed by NM, 31-Mar-1998.)
Hypotheses
Ref Expression
relssi.1  |-  Rel  A
relssi.2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)
Assertion
Ref Expression
relssi  |-  A  C_  B
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y

Proof of Theorem relssi
StepHypRef Expression
1 relssi.1 . . 3  |-  Rel  A
2 ssrel 4931 . . 3  |-  ( Rel 
A  ->  ( A  C_  B  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
) ) )
31, 2ax-mp 8 . 2  |-  ( A 
C_  B  <->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  A  -> 
<. x ,  y >.  e.  B ) )
4 relssi.2 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)
54ax-gen 1552 . 2  |-  A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)
63, 5mpgbir 1556 1  |-  A  C_  B
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177   A.wal 1546    e. wcel 1721    C_ wss 3288   <.cop 3785   Rel wrel 4850
This theorem is referenced by:  xpsspwOLD  4954  resiexg  5155  oprssdm  6195  dftpos4  6465  enssdom  7099  idssen  7119  txuni2  17558  txpss3v  25640  pprodss4v  25646  aoprssdm  27941
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pr 4371
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-v 2926  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-opab 4235  df-xp 4851  df-rel 4852
  Copyright terms: Public domain W3C validator