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Theorem remim 11597
Description: Value of the conjugate of a complex number. The value is the real part minus  _i times the imaginary part. Definition 10-3.2 of [Gleason] p. 132. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
remim  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
Dummy variable  x is distinct from all other variables.

Proof of Theorem remim
StepHypRef Expression
1 cjval 11582 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  =  ( iota_ x  e.  CC ( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x ) )  e.  RR ) ) )
2 replim 11596 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
32oveq1d 5835 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  +  ( (
Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  +  ( ( Re `  A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
4 recl 11590 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
54recnd 8857 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
6 ax-icn 8792 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
7 imcl 11591 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
87recnd 8857 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  CC )
9 mulcl 8817 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
106, 8, 9sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  e.  CC )
115, 10, 5ppncand 9193 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) )  +  ( ( Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( Re `  A )  +  ( Re `  A ) ) )
123, 11eqtrd 2317 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  +  ( (
Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( Re `  A )  +  ( Re `  A ) ) )
134, 4readdcld 8858 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  A
)  +  ( Re
`  A ) )  e.  RR )
1412, 13eqeltrd 2359 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  +  ( (
Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  e.  RR )
155, 10, 10pnncand 9192 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) )  -  ( ( Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
162oveq1d 5835 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  -  ( (
Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  -  (
( Re `  A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
176a1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  _i  e.  CC )
1817, 8, 8adddid 8855 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( (
Im `  A )  +  ( Im `  A ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
1915, 16, 183eqtr4d 2327 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  -  ( (
Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( _i  x.  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) ) ) )
2019oveq2d 5836 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( A  -  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) ) ) ) )
217, 7readdcld 8858 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) )  e.  RR )
2221recnd 8857 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) )  e.  CC )
23 mulass 8821 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) )  e.  CC )  -> 
( ( _i  x.  _i )  x.  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  A ) ) ) ) )
246, 6, 23mp3an12 1269 . . . . . 6  |-  ( ( ( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) )  e.  CC  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  ( (
Im `  A )  +  ( Im `  A ) ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) ) ) ) )
2522, 24syl 17 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  ( (
Im `  A )  +  ( Im `  A ) ) )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) ) ) ) )
2620, 25eqtr4d 2320 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( A  -  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  =  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  A ) ) ) )
27 ixi 9393 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
28 1re 8833 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
2928renegcli 9104 . . . . . 6  |-  -u 1  e.  RR
3027, 29eqeltri 2355 . . . . 5  |-  ( _i  x.  _i )  e.  RR
31 remulcl 8818 . . . . 5  |-  ( ( ( _i  x.  _i )  e.  RR  /\  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) )  e.  RR )  -> 
( ( _i  x.  _i )  x.  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  A ) ) )  e.  RR )
3230, 21, 31sylancr 646 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  ( (
Im `  A )  +  ( Im `  A ) ) )  e.  RR )
3326, 32eqeltrd 2359 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( A  -  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )  e.  RR )
345, 10subcld 9153 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  e.  CC )
35 cju 9738 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  E! x  e.  CC  (
( A  +  x
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR ) )
36 oveq2 5828 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  ->  ( A  +  x )  =  ( A  +  ( ( Re `  A )  -  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
3736eleq1d 2351 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  ->  (
( A  +  x
)  e.  RR  <->  ( A  +  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )  e.  RR ) )
38 oveq2 5828 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  ->  ( A  -  x )  =  ( A  -  ( ( Re `  A )  -  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
3938oveq2d 5836 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  ->  (
_i  x.  ( A  -  x ) )  =  ( _i  x.  ( A  -  ( (
Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )
4039eleq1d 2351 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  ->  (
( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR  <->  ( _i  x.  ( A  -  (
( Re `  A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  e.  RR ) )
4137, 40anbi12d 693 . . . . 5  |-  ( x  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  ->  (
( ( A  +  x )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR )  <-> 
( ( A  +  ( ( Re `  A )  -  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  ( (
Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  e.  RR ) ) )
4241riota2 6323 . . . 4  |-  ( ( ( ( Re `  A )  -  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  e.  CC  /\  E! x  e.  CC  (
( A  +  x
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR ) )  ->  ( (
( A  +  ( ( Re `  A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  ( (
Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  e.  RR )  <->  ( iota_ x  e.  CC ( ( A  +  x )  e.  RR  /\  (
_i  x.  ( A  -  x ) )  e.  RR ) )  =  ( ( Re `  A )  -  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
4334, 35, 42syl2anc 644 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( A  +  ( ( Re `  A )  -  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  ( (
Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  e.  RR )  <->  ( iota_ x  e.  CC ( ( A  +  x )  e.  RR  /\  (
_i  x.  ( A  -  x ) )  e.  RR ) )  =  ( ( Re `  A )  -  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
4414, 33, 43mpbi2and 889 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( iota_ x  e.  CC ( ( A  +  x
)  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  x )
)  e.  RR ) )  =  ( ( Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
451, 44eqtrd 2317 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685   E!wreu 2547   ` cfv 5222  (class class class)co 5820   iota_crio 6291   CCcc 8731   RRcr 8732   1c1 8734   _ici 8735    + caddc 8736    x. cmul 8738    - cmin 9033   -ucneg 9034   *ccj 11576   Recre 11577   Imcim 11578
This theorem is referenced by:  cjreb  11603  recj  11604  remullem  11608  imcj  11612  cjadd  11621  cjneg  11627  imval2  11631  cji  11639  remimd  11678
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-iota 6253  df-riota 6300  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-2 9800  df-cj 11579  df-re 11580  df-im 11581
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