Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  remim Unicode version

Theorem remim 11602
 Description: Value of the conjugate of a complex number. The value is the real part minus times the imaginary part. Definition 10-3.2 of [Gleason] p. 132. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
remim

Proof of Theorem remim
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cjval 11587 . 2
2 replim 11601 . . . . . 6
32oveq1d 5873 . . . . 5
4 recl 11595 . . . . . . 7
54recnd 8861 . . . . . 6
6 ax-icn 8796 . . . . . . 7
7 imcl 11596 . . . . . . . 8
87recnd 8861 . . . . . . 7
9 mulcl 8821 . . . . . . 7
106, 8, 9sylancr 644 . . . . . 6
115, 10, 5ppncand 9197 . . . . 5
123, 11eqtrd 2315 . . . 4
134, 4readdcld 8862 . . . 4
1412, 13eqeltrd 2357 . . 3
155, 10, 10pnncand 9196 . . . . . . 7
162oveq1d 5873 . . . . . . 7
176a1i 10 . . . . . . . 8
1817, 8, 8adddid 8859 . . . . . . 7
1915, 16, 183eqtr4d 2325 . . . . . 6
2019oveq2d 5874 . . . . 5
217, 7readdcld 8862 . . . . . . 7
2221recnd 8861 . . . . . 6
23 mulass 8825 . . . . . . 7
246, 6, 23mp3an12 1267 . . . . . 6
2522, 24syl 15 . . . . 5
2620, 25eqtr4d 2318 . . . 4
27 ixi 9397 . . . . . 6
28 1re 8837 . . . . . . 7
2928renegcli 9108 . . . . . 6
3027, 29eqeltri 2353 . . . . 5
31 remulcl 8822 . . . . 5
3230, 21, 31sylancr 644 . . . 4
3326, 32eqeltrd 2357 . . 3
345, 10subcld 9157 . . . 4
35 cju 9742 . . . 4
36 oveq2 5866 . . . . . . 7
3736eleq1d 2349 . . . . . 6
38 oveq2 5866 . . . . . . . 8
3938oveq2d 5874 . . . . . . 7
4039eleq1d 2349 . . . . . 6
4137, 40anbi12d 691 . . . . 5
4241riota2 6327 . . . 4
4334, 35, 42syl2anc 642 . . 3
4414, 33, 43mpbi2and 887 . 2
451, 44eqtrd 2315 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  wreu 2545  cfv 5255  (class class class)co 5858  crio 6297  cc 8735  cr 8736  c1 8738  ci 8739   caddc 8740   cmul 8742   cmin 9037  cneg 9038  ccj 11581  cre 11582  cim 11583 This theorem is referenced by:  cjreb  11608  recj  11609  remullem  11613  imcj  11617  cjadd  11626  cjneg  11632  imval2  11636  cji  11644  remimd  11683 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-2 9804  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586
 Copyright terms: Public domain W3C validator