MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  renegcl Unicode version

Theorem renegcl 9110
Description: Closure law for negative of reals. The weak deduction theorem dedth 3606 is used to convert hypothesis of the inference (deduction) form of this theorem, renegcli 9108, to an antecedent. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
renegcl  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )

Proof of Theorem renegcl
StepHypRef Expression
1 negeq 9044 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  RR ,  A ,  1 )  ->  -u A  =  -u if ( A  e.  RR ,  A ,  1 ) )
21eleq1d 2349 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  RR ,  A ,  1 )  -> 
( -u A  e.  RR  <->  -u if ( A  e.  RR ,  A , 
1 )  e.  RR ) )
3 1re 8837 . . . 4  |-  1  e.  RR
43elimel 3617 . . 3  |-  if ( A  e.  RR ,  A ,  1 )  e.  RR
54renegcli 9108 . 2  |-  -u if ( A  e.  RR ,  A ,  1 )  e.  RR
62, 5dedth 3606 1  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   ifcif 3565   RRcr 8736   1c1 8738   -ucneg 9038
This theorem is referenced by:  resubcl  9111  negreb  9112  renegcld  9210  ltnegcon1  9275  ltnegcon2  9276  lenegcon1  9278  lenegcon2  9279  mullt0  9293  infm3lem  9712  infm3  9713  riotaneg  9729  infmrcl  9733  elnnz  10034  btwnz  10114  ublbneg  10302  negn0  10304  supminf  10305  uzwo3  10311  zmax  10313  rebtwnz  10315  rpneg  10383  max0sub  10523  xnegcl  10540  xnegneg  10541  xltnegi  10543  rexsub  10560  xnegid  10563  xnegdi  10568  xpncan  10571  xnpcan  10572  xadddi  10615  iooneg  10756  iccneg  10757  icoshftf1o  10759  ceicl  10955  ceige  10956  ceim1l  10957  negmod0  10979  crim  11600  cnpart  11725  sqrneglem  11752  absnid  11783  max0add  11795  absdiflt  11801  absdifle  11802  sqreulem  11843  resinhcl  12436  rpcoshcl  12437  tanhlt1  12440  tanhbnd  12441  resubdrg  16423  cnheiborlem  18452  evth2  18458  ismbf3d  19009  mbfinf  19020  itgconst  19173  reeff1o  19823  atanbnd  20222  readdsubgo  21020  mulge0b  24086  mulle0b  24087  areacirclem4  24927  areacirclem1  24928  areacirc  24931  mulltgt0  27693  stoweidlem1  27750  stoweidlem7  27756  stoweidlem10  27759  stoweidlem13  27762  stoweidlem22  27771  stoweidlem23  27772  stoweidlem34  27783  stoweidlem42  27791
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-sub 9039  df-neg 9040
  Copyright terms: Public domain W3C validator