MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  renegcl Structured version   Unicode version

Theorem renegcl 9356
Description: Closure law for negative of reals. The weak deduction theorem dedth 3772 is used to convert hypothesis of the inference (deduction) form of this theorem, renegcli 9354, to an antecedent. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
renegcl  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )

Proof of Theorem renegcl
StepHypRef Expression
1 negeq 9290 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  RR ,  A ,  1 )  ->  -u A  =  -u if ( A  e.  RR ,  A ,  1 ) )
21eleq1d 2501 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  RR ,  A ,  1 )  -> 
( -u A  e.  RR  <->  -u if ( A  e.  RR ,  A , 
1 )  e.  RR ) )
3 1re 9082 . . . 4  |-  1  e.  RR
43elimel 3783 . . 3  |-  if ( A  e.  RR ,  A ,  1 )  e.  RR
54renegcli 9354 . 2  |-  -u if ( A  e.  RR ,  A ,  1 )  e.  RR
62, 5dedth 3772 1  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   ifcif 3731   RRcr 8981   1c1 8983   -ucneg 9284
This theorem is referenced by:  resubcl  9357  negreb  9358  renegcld  9456  ltnegcon1  9521  ltnegcon2  9522  lenegcon1  9524  lenegcon2  9525  mullt0  9539  infm3lem  9958  infm3  9959  riotaneg  9975  infmrcl  9979  elnnz  10284  btwnz  10364  ublbneg  10552  negn0  10554  supminf  10555  uzwo3  10561  zmax  10563  rebtwnz  10565  rpneg  10633  max0sub  10774  xnegcl  10791  xnegneg  10792  xltnegi  10794  rexsub  10811  xnegid  10814  xnegdi  10819  xpncan  10822  xnpcan  10823  xadddi  10866  iooneg  11009  iccneg  11010  icoshftf1o  11012  ceicl  11224  ceige  11225  ceim1l  11226  negmod0  11248  crim  11912  cnpart  12037  sqrneglem  12064  absnid  12095  max0add  12107  absdiflt  12113  absdifle  12114  sqreulem  12155  resinhcl  12749  rpcoshcl  12750  tanhlt1  12753  tanhbnd  12754  resubdrg  16742  cnheiborlem  18971  evth2  18977  ismbf3d  19538  mbfinf  19549  itgconst  19702  reeff1o  20355  atanbnd  20758  readdsubgo  21933  remulg  24262  mulge0b  25183  mulle0b  25184  ltflcei  26231  iblabsnclem  26258  ftc1anclem1  26270  areacirclem4  26284  areacirclem1  26285  areacirc  26288  mulltgt0  27660  stoweidlem10  27726
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-ltxr 9117  df-sub 9285  df-neg 9286
  Copyright terms: Public domain W3C validator