MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  renegcl Unicode version

Theorem renegcl 9126
Description: Closure law for negative of reals. The weak deduction theorem dedth 3619 is used to convert hypothesis of the inference (deduction) form of this theorem, renegcli 9124, to an antecedent. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
renegcl  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )

Proof of Theorem renegcl
StepHypRef Expression
1 negeq 9060 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  RR ,  A ,  1 )  ->  -u A  =  -u if ( A  e.  RR ,  A ,  1 ) )
21eleq1d 2362 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  RR ,  A ,  1 )  -> 
( -u A  e.  RR  <->  -u if ( A  e.  RR ,  A , 
1 )  e.  RR ) )
3 1re 8853 . . . 4  |-  1  e.  RR
43elimel 3630 . . 3  |-  if ( A  e.  RR ,  A ,  1 )  e.  RR
54renegcli 9124 . 2  |-  -u if ( A  e.  RR ,  A ,  1 )  e.  RR
62, 5dedth 3619 1  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696   ifcif 3578   RRcr 8752   1c1 8754   -ucneg 9054
This theorem is referenced by:  resubcl  9127  negreb  9128  renegcld  9226  ltnegcon1  9291  ltnegcon2  9292  lenegcon1  9294  lenegcon2  9295  mullt0  9309  infm3lem  9728  infm3  9729  riotaneg  9745  infmrcl  9749  elnnz  10050  btwnz  10130  ublbneg  10318  negn0  10320  supminf  10321  uzwo3  10327  zmax  10329  rebtwnz  10331  rpneg  10399  max0sub  10539  xnegcl  10556  xnegneg  10557  xltnegi  10559  rexsub  10576  xnegid  10579  xnegdi  10584  xpncan  10587  xnpcan  10588  xadddi  10631  iooneg  10772  iccneg  10773  icoshftf1o  10775  ceicl  10971  ceige  10972  ceim1l  10973  negmod0  10995  crim  11616  cnpart  11741  sqrneglem  11768  absnid  11799  max0add  11811  absdiflt  11817  absdifle  11818  sqreulem  11859  resinhcl  12452  rpcoshcl  12453  tanhlt1  12456  tanhbnd  12457  resubdrg  16439  cnheiborlem  18468  evth2  18474  ismbf3d  19025  mbfinf  19036  itgconst  19189  reeff1o  19839  atanbnd  20238  readdsubgo  21036  mulge0b  24101  mulle0b  24102  ltflcei  24998  iblabsnclem  25014  areacirclem4  25030  areacirclem1  25031  areacirc  25034  mulltgt0  27796  stoweidlem1  27853  stoweidlem7  27859  stoweidlem10  27862  stoweidlem13  27865  stoweidlem22  27874  stoweidlem23  27875  stoweidlem34  27886  stoweidlem42  27894
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-ltxr 8888  df-sub 9055  df-neg 9056
  Copyright terms: Public domain W3C validator