MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  renegcl Unicode version

Theorem renegcl 9296
Description: Closure law for negative of reals. The weak deduction theorem dedth 3723 is used to convert hypothesis of the inference (deduction) form of this theorem, renegcli 9294, to an antecedent. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
renegcl  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )

Proof of Theorem renegcl
StepHypRef Expression
1 negeq 9230 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  RR ,  A ,  1 )  ->  -u A  =  -u if ( A  e.  RR ,  A ,  1 ) )
21eleq1d 2453 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  RR ,  A ,  1 )  -> 
( -u A  e.  RR  <->  -u if ( A  e.  RR ,  A , 
1 )  e.  RR ) )
3 1re 9023 . . . 4  |-  1  e.  RR
43elimel 3734 . . 3  |-  if ( A  e.  RR ,  A ,  1 )  e.  RR
54renegcli 9294 . 2  |-  -u if ( A  e.  RR ,  A ,  1 )  e.  RR
62, 5dedth 3723 1  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   ifcif 3682   RRcr 8922   1c1 8924   -ucneg 9224
This theorem is referenced by:  resubcl  9297  negreb  9298  renegcld  9396  ltnegcon1  9461  ltnegcon2  9462  lenegcon1  9464  lenegcon2  9465  mullt0  9479  infm3lem  9898  infm3  9899  riotaneg  9915  infmrcl  9919  elnnz  10224  btwnz  10304  ublbneg  10492  negn0  10494  supminf  10495  uzwo3  10501  zmax  10503  rebtwnz  10505  rpneg  10573  max0sub  10714  xnegcl  10731  xnegneg  10732  xltnegi  10734  rexsub  10751  xnegid  10754  xnegdi  10759  xpncan  10762  xnpcan  10763  xadddi  10806  iooneg  10949  iccneg  10950  icoshftf1o  10952  ceicl  11159  ceige  11160  ceim1l  11161  negmod0  11183  crim  11847  cnpart  11972  sqrneglem  11999  absnid  12030  max0add  12042  absdiflt  12048  absdifle  12049  sqreulem  12090  resinhcl  12684  rpcoshcl  12685  tanhlt1  12688  tanhbnd  12689  resubdrg  16673  cnheiborlem  18850  evth2  18856  ismbf3d  19413  mbfinf  19424  itgconst  19577  reeff1o  20230  atanbnd  20633  readdsubgo  21789  remulg  24086  mulge0b  24970  mulle0b  24971  ltflcei  25950  iblabsnclem  25968  areacirclem4  25984  areacirclem1  25985  areacirc  25988  mulltgt0  27361  stoweidlem10  27427
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-riota 6485  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-ltxr 9058  df-sub 9225  df-neg 9226
  Copyright terms: Public domain W3C validator