Theorem renegcl 5388

Description: Closure law for negative of reals.

Hypothesis

Ref	Expression
renegcl.1	|- A e. RR

Assertion

Ref	Expression
renegcl	|- -uA e. RR

Proof of Theorem renegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl.1	. . . 4 |- A e. RR
2		axrnegex 5255	. . . 4 |- (A e. RR -> E.x e. RR (A + x) = 0)
3	1, 2	ax-mp 7	. . 3 |- E.x e. RR (A + x) = 0
4		df-rex 1642	. . 3 |- (E.x e. RR (A + x) = 0 <-> E.x(x e. RR /\ (A + x) = 0))
5	3, 4	mpbi 189	. 2 |- E.x(x e. RR /\ (A + x) = 0)
6		recnt 5285	. . . . . . 7 |- (x e. RR -> x e. CC)
7		0cn 5300	. . . . . . . 8 |- 0 e. CC
8	1	recn 5286	. . . . . . . 8 |- A e. CC
9		subaddt 5347	. . . . . . . 8 |- ((0 e. CC /\ A e. CC /\ x e. CC) -> ((0 - A) = x <-> (A + x) = 0))
10	7, 8, 9	mp3an12 903	. . . . . . 7 |- (x e. CC -> ((0 - A) = x <-> (A + x) = 0))
11	6, 10	syl 10	. . . . . 6 |- (x e. RR -> ((0 - A) = x <-> (A + x) = 0))
12		df-neg 5330	. . . . . . 7 |- -uA = (0 - A)
13	12	eqeq1i 1474	. . . . . 6 |- (-uA = x <-> (0 - A) = x)
14	11, 13	syl5bb 530	. . . . 5 |- (x e. RR -> (-uA = x <-> (A + x) = 0))
15		eleq1a 1535	. . . . 5 |- (x e. RR -> (-uA = x -> -uA e. RR))
16	14, 15	sylbird 205	. . . 4 |- (x e. RR -> ((A + x) = 0 -> -uA e. RR))
17	16	imp 350	. . 3 |- ((x e. RR /\ (A + x) = 0) -> -uA e. RR)
18	17	19.23aiv 1290	. 2 |- (E.x(x e. RR /\ (A + x) = 0) -> -uA e. RR)
19	5, 18	ax-mp 7	1 |- -uA e. RR

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977  E.wrex 1638  (class class class)co 3948  CCcc 5204  RRcr 5205  0cc0 5206   + caddc 5209   - cmin 5264  -ucneg 5265

This theorem is referenced by:  renegclt 5409  ltsubadd 5568  ltneg 5577  leneg 5578  ltnegcon2 5579  lesub0 5586  msqgt0 5587  recgt0i 5770  prodge0 5776  elnnz1 6102  icoshftf1oi 6342  bernneq 6583  discrlem1 6586  discrlem3 6588  sqrlem11 6613  inelr 6665  crulem 6666  crrecz 6672  nthruz 6677  cjcj 6713  recj 6717  imcj 6718  reneg 6729  imneg 6731  abslt 6810  absle 6811  absltOLD 6812  absleOLD 6813  infcvglem1 7156  infcvglem2 7157  infcvglem3 7158  dsupivthlem 7226  efgt0 7345  eflegeolem2 7354  sincos2sgn 7422  znnen 7445  ipid 8297  ipasslem10 8430  minveclem12 8487  pilem1 8590  pilem2 8591  pilem3 8592  efifolem1 8637  efifolem4 8640  efifolem5 8641  eff1o 8670  resslogrn 8675  pilog 8690  hisubcom 8891  normlem2 8898  normlem9 8905  projlem5 9106  projlem8 9109  projlem11 9112  projlem13 9114  projlem15 9116  hmopdt 9862

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-sub 5328  df-neg 5330

Copyright terms: Public domain