MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  renegcli Unicode version

Theorem renegcli 9108
Description: Closure law for negative of reals. (Note: this inference proof style and the deduction theorem usage in renegcl 9110 is deprecated, but is retained for its demonstration value.) (Contributed by NM, 17-Jan-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
renegcl.1  |-  A  e.  RR
Assertion
Ref Expression
renegcli  |-  -u A  e.  RR

Proof of Theorem renegcli
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 renegcl.1 . 2  |-  A  e.  RR
2 ax-rnegex 8808 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  E. x  e.  RR  ( A  +  x )  =  0 )
3 recn 8827 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
4 df-neg 9040 . . . . . . 7  |-  -u A  =  ( 0  -  A )
54eqeq1i 2290 . . . . . 6  |-  ( -u A  =  x  <->  ( 0  -  A )  =  x )
6 0cn 8831 . . . . . . 7  |-  0  e.  CC
71recni 8849 . . . . . . 7  |-  A  e.  CC
8 subadd 9054 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  (
( 0  -  A
)  =  x  <->  ( A  +  x )  =  0 ) )
96, 7, 8mp3an12 1267 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( 0  -  A
)  =  x  <->  ( A  +  x )  =  0 ) )
105, 9syl5bb 248 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  ( -u A  =  x  <->  ( A  +  x )  =  0 ) )
113, 10syl 15 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  ( -u A  =  x  <->  ( A  +  x )  =  0 ) )
12 eleq1a 2352 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  ( -u A  =  x  ->  -u A  e.  RR ) )
1311, 12sylbird 226 . . 3  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( A  +  x
)  =  0  ->  -u A  e.  RR ) )
1413rexlimiv 2661 . 2  |-  ( E. x  e.  RR  ( A  +  x )  =  0  ->  -u A  e.  RR )
151, 2, 14mp2b 9 1  |-  -u A  e.  RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737    + caddc 8740    - cmin 9037   -ucneg 9038
This theorem is referenced by:  resubcli  9109  renegcl  9110  recgt0ii  9662  inelr  9736  cju  9742  bernneq  11227  crre  11599  remim  11602  iseraltlem2  12155  iseraltlem3  12156  iseralt  12157  tanhbnd  12441  sinbnd2  12462  cosbnd2  12463  sincos2sgn  12474  dvdslelem  12573  divalglem1  12593  divalglem6  12597  modsubi  13087  xrhmeo  18444  xrhmph  18445  vitalilem2  18964  vitalilem4  18966  vitali  18968  mbfneg  19005  i1fsub  19063  itg1sub  19064  i1fibl  19162  itgitg1  19163  coseq0negpitopi  19871  cosq14gt0  19878  cosq14ge0  19879  pige3  19885  sinord  19896  recosf1o  19897  resinf1o  19898  tanord1  19899  tanregt0  19901  negpitopissre  19902  efif1olem3  19906  efif1olem4  19907  eff1o  19911  ellogrn  19917  logimclad  19930  logneg  19941  logcj  19960  argregt0  19964  argrege0  19965  argimgt0  19966  argimlt0  19967  logimul  19968  logneg2  19969  logcnlem3  19991  dvloglem  19995  logf1o2  19997  efopnlem2  20004  cxpsqrlem  20049  abscxpbnd  20093  ang180lem2  20108  ang180lem3  20109  logreclem  20116  isosctrlem1  20118  1cubrlem  20137  atanre  20181  asinneg  20182  asinsinlem  20187  asinsin  20188  acoscos  20189  asin1  20190  reasinsin  20192  acosbnd  20196  asinrecl  20198  acosrecl  20199  atandmcj  20205  atanlogaddlem  20209  atanlogsublem  20211  atanlogsub  20212  atantan  20219  atanbndlem  20221  atanbnd  20222  atan1  20224  leibpilem2  20237  leibpi  20238  leibpisum  20239  birthday  20249  wilthlem1  20306  wilthlem2  20307  basellem3  20320  basellem4  20321  ppiub  20443  lgsvalmod  20554  lgsdir2lem1  20562  lgsdir2lem4  20565  lgseisen  20592  ex-fl  20834  ipidsq  21286  ipasslem10  21417  hisubcomi  21683  normlem2  21690  normlem9  21697  hmopd  22602  subfacval2  23718  axlowdimlem7  24576  dvreasin  24923  areacirclem2  24925
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-sub 9039  df-neg 9040
  Copyright terms: Public domain W3C validator