MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  renegcli Structured version   Unicode version

Theorem renegcli 9354
Description: Closure law for negative of reals. (Note: this inference proof style and the deduction theorem usage in renegcl 9356 is deprecated, but is retained for its demonstration value.) (Contributed by NM, 17-Jan-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
renegcl.1  |-  A  e.  RR
Assertion
Ref Expression
renegcli  |-  -u A  e.  RR

Proof of Theorem renegcli
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 renegcl.1 . 2  |-  A  e.  RR
2 ax-rnegex 9053 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  E. x  e.  RR  ( A  +  x )  =  0 )
3 recn 9072 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
4 df-neg 9286 . . . . . . 7  |-  -u A  =  ( 0  -  A )
54eqeq1i 2442 . . . . . 6  |-  ( -u A  =  x  <->  ( 0  -  A )  =  x )
6 0cn 9076 . . . . . . 7  |-  0  e.  CC
71recni 9094 . . . . . . 7  |-  A  e.  CC
8 subadd 9300 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  (
( 0  -  A
)  =  x  <->  ( A  +  x )  =  0 ) )
96, 7, 8mp3an12 1269 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( 0  -  A
)  =  x  <->  ( A  +  x )  =  0 ) )
105, 9syl5bb 249 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  ( -u A  =  x  <->  ( A  +  x )  =  0 ) )
113, 10syl 16 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  ( -u A  =  x  <->  ( A  +  x )  =  0 ) )
12 eleq1a 2504 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  ( -u A  =  x  ->  -u A  e.  RR ) )
1311, 12sylbird 227 . . 3  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( A  +  x
)  =  0  ->  -u A  e.  RR ) )
1413rexlimiv 2816 . 2  |-  ( E. x  e.  RR  ( A  +  x )  =  0  ->  -u A  e.  RR )
151, 2, 14mp2b 10 1  |-  -u A  e.  RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2698  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982    + caddc 8985    - cmin 9283   -ucneg 9284
This theorem is referenced by:  resubcli  9355  renegcl  9356  recgt0ii  9908  inelr  9982  cju  9988  bernneq  11497  crre  11911  remim  11914  iseraltlem2  12468  iseraltlem3  12469  iseralt  12470  tanhbnd  12754  sinbnd2  12775  cosbnd2  12776  sincos2sgn  12787  dvdslelem  12886  divalglem1  12906  divalglem6  12910  modsubi  13400  xrhmeo  18963  xrhmph  18964  vitalilem2  19493  vitalilem4  19495  vitali  19497  mbfneg  19534  i1fsub  19592  itg1sub  19593  i1fibl  19691  itgitg1  19692  coseq0negpitopi  20403  cosq14gt0  20410  cosq14ge0  20411  pige3  20417  sinord  20428  recosf1o  20429  resinf1o  20430  tanord1  20431  tanregt0  20433  negpitopissre  20434  efif1olem3  20438  efif1olem4  20439  eff1o  20443  ellogrn  20449  logimclad  20462  logneg  20474  logcj  20493  argregt0  20497  argrege0  20498  argimgt0  20499  argimlt0  20500  logimul  20501  logneg2  20502  logcnlem3  20527  dvloglem  20531  logf1o2  20533  efopnlem2  20540  cxpsqrlem  20585  abscxpbnd  20629  ang180lem2  20644  ang180lem3  20645  logreclem  20652  isosctrlem1  20654  1cubrlem  20673  atanre  20717  asinneg  20718  asinsinlem  20723  asinsin  20724  acoscos  20725  asin1  20726  reasinsin  20728  acosbnd  20732  asinrecl  20734  acosrecl  20735  atandmcj  20741  atanlogaddlem  20745  atanlogsublem  20747  atanlogsub  20748  atantan  20755  atanbndlem  20757  atanbnd  20758  atan1  20760  leibpilem2  20773  leibpi  20774  leibpisum  20775  birthday  20785  wilthlem1  20843  wilthlem2  20844  basellem3  20857  basellem4  20858  ppiub  20980  lgsvalmod  21091  lgsdir2lem1  21099  lgsdir2lem4  21102  lgseisen  21129  ex-fl  21747  ipidsq  22201  ipasslem10  22332  hisubcomi  22598  normlem2  22605  normlem9  22612  hmopd  23517  subfacval2  24865  axlowdimlem7  25879  dvreasin  26270  areacirclem2  26272  stoweidlem22  27728  isosctrlem1ALT  28973
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-ltxr 9117  df-sub 9285  df-neg 9286
  Copyright terms: Public domain W3C validator