MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  renegcli Unicode version

Theorem renegcli 9124
Description: Closure law for negative of reals. (Note: this inference proof style and the deduction theorem usage in renegcl 9126 is deprecated, but is retained for its demonstration value.) (Contributed by NM, 17-Jan-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
renegcl.1  |-  A  e.  RR
Assertion
Ref Expression
renegcli  |-  -u A  e.  RR

Proof of Theorem renegcli
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 renegcl.1 . 2  |-  A  e.  RR
2 ax-rnegex 8824 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  E. x  e.  RR  ( A  +  x )  =  0 )
3 recn 8843 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
4 df-neg 9056 . . . . . . 7  |-  -u A  =  ( 0  -  A )
54eqeq1i 2303 . . . . . 6  |-  ( -u A  =  x  <->  ( 0  -  A )  =  x )
6 0cn 8847 . . . . . . 7  |-  0  e.  CC
71recni 8865 . . . . . . 7  |-  A  e.  CC
8 subadd 9070 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  (
( 0  -  A
)  =  x  <->  ( A  +  x )  =  0 ) )
96, 7, 8mp3an12 1267 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( 0  -  A
)  =  x  <->  ( A  +  x )  =  0 ) )
105, 9syl5bb 248 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  ( -u A  =  x  <->  ( A  +  x )  =  0 ) )
113, 10syl 15 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  ( -u A  =  x  <->  ( A  +  x )  =  0 ) )
12 eleq1a 2365 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  ( -u A  =  x  ->  -u A  e.  RR ) )
1311, 12sylbird 226 . . 3  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( A  +  x
)  =  0  ->  -u A  e.  RR ) )
1413rexlimiv 2674 . 2  |-  ( E. x  e.  RR  ( A  +  x )  =  0  ->  -u A  e.  RR )
151, 2, 14mp2b 9 1  |-  -u A  e.  RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753    + caddc 8756    - cmin 9053   -ucneg 9054
This theorem is referenced by:  resubcli  9125  renegcl  9126  recgt0ii  9678  inelr  9752  cju  9758  bernneq  11243  crre  11615  remim  11618  iseraltlem2  12171  iseraltlem3  12172  iseralt  12173  tanhbnd  12457  sinbnd2  12478  cosbnd2  12479  sincos2sgn  12490  dvdslelem  12589  divalglem1  12609  divalglem6  12613  modsubi  13103  xrhmeo  18460  xrhmph  18461  vitalilem2  18980  vitalilem4  18982  vitali  18984  mbfneg  19021  i1fsub  19079  itg1sub  19080  i1fibl  19178  itgitg1  19179  coseq0negpitopi  19887  cosq14gt0  19894  cosq14ge0  19895  pige3  19901  sinord  19912  recosf1o  19913  resinf1o  19914  tanord1  19915  tanregt0  19917  negpitopissre  19918  efif1olem3  19922  efif1olem4  19923  eff1o  19927  ellogrn  19933  logimclad  19946  logneg  19957  logcj  19976  argregt0  19980  argrege0  19981  argimgt0  19982  argimlt0  19983  logimul  19984  logneg2  19985  logcnlem3  20007  dvloglem  20011  logf1o2  20013  efopnlem2  20020  cxpsqrlem  20065  abscxpbnd  20109  ang180lem2  20124  ang180lem3  20125  logreclem  20132  isosctrlem1  20134  1cubrlem  20153  atanre  20197  asinneg  20198  asinsinlem  20203  asinsin  20204  acoscos  20205  asin1  20206  reasinsin  20208  acosbnd  20212  asinrecl  20214  acosrecl  20215  atandmcj  20221  atanlogaddlem  20225  atanlogsublem  20227  atanlogsub  20228  atantan  20235  atanbndlem  20237  atanbnd  20238  atan1  20240  leibpilem2  20253  leibpi  20254  leibpisum  20255  birthday  20265  wilthlem1  20322  wilthlem2  20323  basellem3  20336  basellem4  20337  ppiub  20459  lgsvalmod  20570  lgsdir2lem1  20578  lgsdir2lem4  20581  lgseisen  20608  ex-fl  20850  ipidsq  21302  ipasslem10  21433  hisubcomi  21699  normlem2  21706  normlem9  21713  hmopd  22618  subfacval2  23733  axlowdimlem7  24648  dvreasin  25026  areacirclem2  25028
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-ltxr 8888  df-sub 9055  df-neg 9056
  Copyright terms: Public domain W3C validator