MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  renegcli Unicode version

Theorem renegcli 9294
Description: Closure law for negative of reals. (Note: this inference proof style and the deduction theorem usage in renegcl 9296 is deprecated, but is retained for its demonstration value.) (Contributed by NM, 17-Jan-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
renegcl.1  |-  A  e.  RR
Assertion
Ref Expression
renegcli  |-  -u A  e.  RR

Proof of Theorem renegcli
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 renegcl.1 . 2  |-  A  e.  RR
2 ax-rnegex 8994 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  E. x  e.  RR  ( A  +  x )  =  0 )
3 recn 9013 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
4 df-neg 9226 . . . . . . 7  |-  -u A  =  ( 0  -  A )
54eqeq1i 2394 . . . . . 6  |-  ( -u A  =  x  <->  ( 0  -  A )  =  x )
6 0cn 9017 . . . . . . 7  |-  0  e.  CC
71recni 9035 . . . . . . 7  |-  A  e.  CC
8 subadd 9240 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  (
( 0  -  A
)  =  x  <->  ( A  +  x )  =  0 ) )
96, 7, 8mp3an12 1269 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( 0  -  A
)  =  x  <->  ( A  +  x )  =  0 ) )
105, 9syl5bb 249 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  ( -u A  =  x  <->  ( A  +  x )  =  0 ) )
113, 10syl 16 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  ( -u A  =  x  <->  ( A  +  x )  =  0 ) )
12 eleq1a 2456 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  ( -u A  =  x  ->  -u A  e.  RR ) )
1311, 12sylbird 227 . . 3  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( A  +  x
)  =  0  ->  -u A  e.  RR ) )
1413rexlimiv 2767 . 2  |-  ( E. x  e.  RR  ( A  +  x )  =  0  ->  -u A  e.  RR )
151, 2, 14mp2b 10 1  |-  -u A  e.  RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1717   E.wrex 2650  (class class class)co 6020   CCcc 8921   RRcr 8922   0cc0 8923    + caddc 8926    - cmin 9223   -ucneg 9224
This theorem is referenced by:  resubcli  9295  renegcl  9296  recgt0ii  9848  inelr  9922  cju  9928  bernneq  11432  crre  11846  remim  11849  iseraltlem2  12403  iseraltlem3  12404  iseralt  12405  tanhbnd  12689  sinbnd2  12710  cosbnd2  12711  sincos2sgn  12722  dvdslelem  12821  divalglem1  12841  divalglem6  12845  modsubi  13335  xrhmeo  18842  xrhmph  18843  vitalilem2  19368  vitalilem4  19370  vitali  19372  mbfneg  19409  i1fsub  19467  itg1sub  19468  i1fibl  19566  itgitg1  19567  coseq0negpitopi  20278  cosq14gt0  20285  cosq14ge0  20286  pige3  20292  sinord  20303  recosf1o  20304  resinf1o  20305  tanord1  20306  tanregt0  20308  negpitopissre  20309  efif1olem3  20313  efif1olem4  20314  eff1o  20318  ellogrn  20324  logimclad  20337  logneg  20349  logcj  20368  argregt0  20372  argrege0  20373  argimgt0  20374  argimlt0  20375  logimul  20376  logneg2  20377  logcnlem3  20402  dvloglem  20406  logf1o2  20408  efopnlem2  20415  cxpsqrlem  20460  abscxpbnd  20504  ang180lem2  20519  ang180lem3  20520  logreclem  20527  isosctrlem1  20529  1cubrlem  20548  atanre  20592  asinneg  20593  asinsinlem  20598  asinsin  20599  acoscos  20600  asin1  20601  reasinsin  20603  acosbnd  20607  asinrecl  20609  acosrecl  20610  atandmcj  20616  atanlogaddlem  20620  atanlogsublem  20622  atanlogsub  20623  atantan  20630  atanbndlem  20632  atanbnd  20633  atan1  20635  leibpilem2  20648  leibpi  20649  leibpisum  20650  birthday  20660  wilthlem1  20718  wilthlem2  20719  basellem3  20732  basellem4  20733  ppiub  20855  lgsvalmod  20966  lgsdir2lem1  20974  lgsdir2lem4  20977  lgseisen  21004  ex-fl  21603  ipidsq  22057  ipasslem10  22188  hisubcomi  22454  normlem2  22461  normlem9  22468  hmopd  23373  subfacval2  24652  axlowdimlem7  25601  dvreasin  25980  areacirclem2  25982  stoweidlem22  27439
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-riota 6485  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-ltxr 9058  df-sub 9225  df-neg 9226
  Copyright terms: Public domain W3C validator