Theorem renegclt 5437

Description: Closure law for negative of reals. The weak deduction theorem dedth 2383 is used to convert hypothesis of the inference (deduction) form of this theorem, renegcl 5416, to an antecedent.

Assertion

Ref	Expression
renegclt	|- (A e. RR -> -uA e. RR)

Proof of Theorem renegclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negeq 5359	. . 3 |- (A = if(A e. RR, A, 1) -> -uA = -uif(A e. RR, A, 1))
2	1	eleq1d 1540	. 2 |- (A = if(A e. RR, A, 1) -> (-uA e. RR <-> -uif(A e. RR, A, 1) e. RR))
3		1re 5435	. . . 4 |- 1 e. RR
4	3	elimel 2394	. . 3 |- if(A e. RR, A, 1) e. RR
5	4	renegcl 5416	. 2 |- -uif(A e. RR, A, 1) e. RR
6	2, 5	dedth 2383	1 |- (A e. RR -> -uA e. RR)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 956   e. wcel 958  ifcif 2361  RRcr 5233  1c1 5235  -ucneg 5293

This theorem is referenced by:  resubclt 5438  ltnegcon1t 5656  lenegcon1t 5658  lenegcon2t 5659  lesub1t 5660  lesub2t 5661  ltsub1t 5662  ltsub2t 5663  subge0t 5674  infm3lem 6053  infm3 6054  reuunineg 6066  infmsup 6068  infmrcl 6069  nnnegz 6138  elnnz 6145  elnnz1 6155  zaddclt 6165  btwnz 6215  zmax 6220  rebtwnz 6222  ceiclt 6247  ceiget 6248  ceim1lt 6249  ioonegt 6406  iccnegt 6407  discrlem2 6657  imret 6773  negreb 6795  cj11t 6830  absnidt 6863  absdifltt 6883  absdiflet 6884  climge0 7112  caucvglem2 7158  caucvglem5 7161  infcvgaux1 7219  infcvglem1 7221  dsupivthlem 7291  reeff1o 7426  sin01bndlem3 7469  cos01bndlem3 7471  znnen 7502  readdsubg 8129  nvabs 8301  pilem1 8671  pilem3 8673  shftefif1olem 8741  projlem10 9195

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-sub 5356  df-neg 5358

Copyright terms: Public domain