MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  renemnf Unicode version

Theorem renemnf 9067
Description: No real equals minus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
renemnf  |-  ( A  e.  RR  ->  A  =/=  -oo )

Proof of Theorem renemnf
StepHypRef Expression
1 mnfnre 9062 . . . 4  |-  -oo  e/  RR
2 df-nel 2554 . . . 4  |-  (  -oo  e/  RR  <->  -.  -oo  e.  RR )
31, 2mpbi 200 . . 3  |-  -.  -oo  e.  RR
4 eleq1 2448 . . 3  |-  ( A  =  -oo  ->  ( A  e.  RR  <->  -oo  e.  RR ) )
53, 4mtbiri 295 . 2  |-  ( A  =  -oo  ->  -.  A  e.  RR )
65necon2ai 2596 1  |-  ( A  e.  RR  ->  A  =/=  -oo )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551    e/ wnel 2552   RRcr 8923    -oocmnf 9052
This theorem is referenced by:  renemnfd  9070  renfdisj  9072  xrnemnf  10651  rexneg  10730  rexadd  10751  xaddnemnf  10753  xaddcom  10757  xaddid1  10758  xnegdi  10760  xpncan  10763  xleadd1a  10765  rexmul  10783  xadddilem  10806  xrs1mnd  16660  xrs10  16661  isxmet2d  18267  imasdsf1olem  18312  xaddeq0  24031
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-resscn 8981
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057
  Copyright terms: Public domain W3C validator