MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  renemnf Structured version   Unicode version

Theorem renemnf 9125
Description: No real equals minus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
renemnf  |-  ( A  e.  RR  ->  A  =/=  -oo )

Proof of Theorem renemnf
StepHypRef Expression
1 mnfnre 9120 . . . 4  |-  -oo  e/  RR
2 df-nel 2601 . . . 4  |-  (  -oo  e/  RR  <->  -.  -oo  e.  RR )
31, 2mpbi 200 . . 3  |-  -.  -oo  e.  RR
4 eleq1 2495 . . 3  |-  ( A  =  -oo  ->  ( A  e.  RR  <->  -oo  e.  RR ) )
53, 4mtbiri 295 . 2  |-  ( A  =  -oo  ->  -.  A  e.  RR )
65necon2ai 2643 1  |-  ( A  e.  RR  ->  A  =/=  -oo )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598    e/ wnel 2599   RRcr 8981    -oocmnf 9110
This theorem is referenced by:  renemnfd  9128  renfdisj  9130  xrnemnf  10710  rexneg  10789  rexadd  10810  xaddnemnf  10812  xaddcom  10816  xaddid1  10817  xnegdi  10819  xpncan  10822  xleadd1a  10824  rexmul  10842  xadddilem  10865  xrs1mnd  16728  xrs10  16729  isxmet2d  18349  imasdsf1olem  18395  xaddeq0  24111
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115
  Copyright terms: Public domain W3C validator