MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  renemnf Unicode version

Theorem renemnf 8880
Description: No real equals minus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
renemnf  |-  ( A  e.  RR  ->  A  =/=  -oo )

Proof of Theorem renemnf
StepHypRef Expression
1 mnfnre 8875 . . . 4  |-  -oo  e/  RR
2 df-nel 2449 . . . 4  |-  (  -oo  e/  RR  <->  -.  -oo  e.  RR )
31, 2mpbi 199 . . 3  |-  -.  -oo  e.  RR
4 eleq1 2343 . . 3  |-  ( A  =  -oo  ->  ( A  e.  RR  <->  -oo  e.  RR ) )
53, 4mtbiri 294 . 2  |-  ( A  =  -oo  ->  -.  A  e.  RR )
65necon2ai 2491 1  |-  ( A  e.  RR  ->  A  =/=  -oo )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    e/ wnel 2447   RRcr 8736    -oocmnf 8865
This theorem is referenced by:  renemnfd  8883  renfdisj  8885  xrnemnf  10460  rexneg  10538  rexadd  10559  xaddnemnf  10561  xaddcom  10565  xaddid1  10566  xnegdi  10568  xpncan  10571  xleadd1a  10573  rexmul  10591  xadddilem  10614  xrs1mnd  16409  xrs10  16410  isxmet2d  17892  imasdsf1olem  17937
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870
  Copyright terms: Public domain W3C validator