Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  repfuntw Unicode version

Theorem repfuntw 25263
 Description: Representation as a set of pairs of a function whose domain has two distinct elements. (Contributed by FL, 26-Jun-2011.) (Proof shortened by Scott Fenton, 12-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
repfuntw.1
repfuntw.2
Assertion
Ref Expression
repfuntw

Proof of Theorem repfuntw
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fndm 5359 . . . . 5
2 fvex 5555 . . . . . 6
3 fvex 5555 . . . . . 6
42, 3dmprop 5164 . . . . 5
51, 4syl6eqr 2346 . . . 4
71adantl 452 . . . . . 6
87eleq2d 2363 . . . . 5
9 vex 2804 . . . . . . 7
109elpr 3671 . . . . . 6
11 repfuntw.1 . . . . . . . . . . . 12
1211elexi 2810 . . . . . . . . . . 11
1312, 2fvpr1 5738 . . . . . . . . . 10
1413adantr 451 . . . . . . . . 9
1514eqcomd 2301 . . . . . . . 8
16 fveq2 5541 . . . . . . . . 9
17 fveq2 5541 . . . . . . . . 9
1816, 17eqeq12d 2310 . . . . . . . 8
1915, 18syl5ibrcom 213 . . . . . . 7
20 repfuntw.2 . . . . . . . . . . . 12
2120elexi 2810 . . . . . . . . . . 11
2221, 3fvpr2 5739 . . . . . . . . . 10
2322adantr 451 . . . . . . . . 9
2423eqcomd 2301 . . . . . . . 8
25 fveq2 5541 . . . . . . . . 9
26 fveq2 5541 . . . . . . . . 9
2725, 26eqeq12d 2310 . . . . . . . 8
2824, 27syl5ibrcom 213 . . . . . . 7
2919, 28jaod 369 . . . . . 6
3010, 29syl5bi 208 . . . . 5
318, 30sylbid 206 . . . 4
3231ralrimiv 2638 . . 3
33 fnfun 5357 . . . 4
3412, 21, 2, 3funpr 5318 . . . 4
35 eqfunfv 5643 . . . 4
3633, 34, 35syl2anr 464 . . 3
376, 32, 36mpbir2and 888 . 2
384a1i 10 . . . 4
39 df-fn 5274 . . . 4
4034, 38, 39sylanbrc 645 . . 3
41 fneq1 5349 . . . 4
4241biimprd 214 . . 3
4340, 42mpan9 455 . 2
4437, 43impbida 805 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wo 357   wa 358   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  cpr 3654  cop 3656   cdm 4705   wfun 5265   wfn 5266  cfv 5271 This theorem is referenced by:  repcpwti  25264 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-fv 5279
 Copyright terms: Public domain W3C validator