MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rerpdivcl Structured version   Unicode version

Theorem rerpdivcl 10640
Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by NM, 10-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
rerpdivcl  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( A  /  B
)  e.  RR )

Proof of Theorem rerpdivcl
StepHypRef Expression
1 rprene0 10629 . 2  |-  ( B  e.  RR+  ->  ( B  e.  RR  /\  B  =/=  0 ) )
2 redivcl 9734 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  e.  RR )
323expb 1155 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  B  =/=  0 ) )  ->  ( A  /  B )  e.  RR )
41, 3sylan2 462 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( A  /  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    e. wcel 1726    =/= wne 2600  (class class class)co 6082   RRcr 8990   0cc0 8991    / cdiv 9678   RR+crp 10613
This theorem is referenced by:  rerpdivcld  10676  icccntr  11037  modcl  11254  mod0  11256  negmod0  11257  modge0  11258  modlt  11259  moddiffl  11260  moddifz  11261  modid  11271  modcyc  11277  modadd1  11279  modmul1  11280  moddi  11285  modsubdir  11286  modirr  11287  sqrdiv  12072  divrcnv  12633  gexdvds  15219  aaliou3lem8  20263  logdivlt  20517  cxp2limlem  20815  harmonicbnd4  20850  logexprlim  21010  bposlem7  21075  bposlem9  21077  chebbnd1lem3  21166  chebbnd1  21167  chto1ub  21171  chpo1ub  21175  vmadivsum  21177  rplogsumlem1  21179  dchrvmasumlema  21195  dchrvmasumiflem1  21196  dchrisum0fno1  21206  mulogsumlem  21226  logdivsum  21228  mulog2sumlem1  21229  selberg2lem  21245  selberg3lem1  21252  pntrmax  21259  pntpbnd1a  21280  pntpbnd1  21281  pntpbnd2  21282  pntpbnd  21283  pntibndlem3  21287  pntlem3  21304  pntleml  21306  pnt2  21308  subfacval3  24876  heiborlem6  26526  refldivcl  28145  fldivle  28146  ltdifltdiv  28149  modvalr  28150  flpmodeq  28151
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-riota 6550  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-rp 10614
  Copyright terms: Public domain W3C validator