MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rerpdivcl Unicode version

Theorem rerpdivcl 10397
Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by NM, 10-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
rerpdivcl  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( A  /  B
)  e.  RR )

Proof of Theorem rerpdivcl
StepHypRef Expression
1 rprene0 10386 . 2  |-  ( B  e.  RR+  ->  ( B  e.  RR  /\  B  =/=  0 ) )
2 redivcl 9495 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  e.  RR )
323expb 1152 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  B  =/=  0 ) )  ->  ( A  /  B )  e.  RR )
41, 3sylan2 460 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( A  /  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1696    =/= wne 2459  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753    / cdiv 9439   RR+crp 10370
This theorem is referenced by:  rerpdivcld  10433  icccntr  10791  modcl  10992  mod0  10994  negmod0  10995  modge0  10996  modlt  10997  moddiffl  10998  moddifz  10999  modid  11009  modcyc  11015  modadd1  11017  modmul1  11018  moddi  11023  modsubdir  11024  modirr  11025  sqrdiv  11767  divrcnv  12327  gexdvds  14911  aaliou3lem8  19741  logdivlt  19988  cxp2limlem  20286  harmonicbnd4  20320  logexprlim  20480  bposlem7  20545  bposlem9  20547  chebbnd1lem3  20636  chebbnd1  20637  chto1ub  20641  chpo1ub  20645  vmadivsum  20647  rplogsumlem1  20649  dchrvmasumlema  20665  dchrvmasumiflem1  20666  dchrisum0fno1  20676  mulogsumlem  20696  logdivsum  20698  mulog2sumlem1  20699  selberg2lem  20715  selberg3lem1  20722  pntrmax  20729  pntpbnd1a  20750  pntpbnd1  20751  pntpbnd2  20752  pntpbnd  20753  pntibndlem3  20757  pntlem3  20774  pntleml  20776  pnt2  20778  subfacval3  23735  rdr  26538  heiborlem6  26643
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-rp 10371
  Copyright terms: Public domain W3C validator