MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rerpdivcld Unicode version

Theorem rerpdivcld 10433
Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
rpgecld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rerpdivcld  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )

Proof of Theorem rerpdivcld
StepHypRef Expression
1 rpgecld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 rpgecld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
3 rerpdivcl 10397 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( A  /  B
)  e.  RR )
41, 2, 3syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1696  (class class class)co 5874   RRcr 8752    / cdiv 9439   RR+crp 10370
This theorem is referenced by:  iccf1o  10794  xov1plusxeqvd  10796  expmulnbnd  11249  discr  11254  geomulcvg  12348  mertenslem1  12356  retanhcl  12455  bitsfzolem  12641  bitsfzo  12642  bitsmod  12643  odmodnn0  14871  nmoi  18253  nmoleub  18256  icopnfcnv  18456  nmoleub2lem  18611  nmoleub2lem3  18612  pjthlem1  18817  ovolscalem1  18888  ovolscalem2  18889  ovolsca  18890  mbfmulc2lem  19018  itg2const2  19112  dvferm1lem  19347  abelthlem7  19830  logdivlti  19987  logdivle  19989  logcnlem3  20007  logcnlem4  20008  advlogexp  20018  cxpaddle  20108  cxploglim  20288  cxploglim2  20289  ftalem1  20326  ftalem2  20327  basellem3  20336  fsumvma2  20469  chpval2  20473  chpchtsum  20474  chpub  20475  logfacrlim  20479  logexprlim  20480  efexple  20536  bposlem9  20547  chebbnd1lem2  20635  chebbnd1lem3  20636  chtppilim  20640  chpchtlim  20644  chpo1ubb  20646  rplogsumlem1  20649  rplogsumlem2  20650  rpvmasumlem  20652  dchrmusum2  20659  dchrvmasumlem2  20663  dchrisum0fno1  20676  dchrisum0lem1b  20680  dchrisum0lem1  20681  dchrisum0lem2a  20682  rplogsum  20692  mulog2sumlem1  20699  mulog2sumlem2  20700  vmalogdivsum2  20703  vmalogdivsum  20704  2vmadivsumlem  20705  log2sumbnd  20709  selberglem2  20711  selbergb  20714  selberg2b  20717  chpdifbndlem1  20718  selberg3lem1  20722  selberg3lem2  20723  selberg3  20724  selberg4lem1  20725  selberg4  20726  pntrsumo1  20730  selberg3r  20734  selberg4r  20735  selberg34r  20736  pntrlog2bndlem1  20742  pntrlog2bndlem2  20743  pntrlog2bndlem3  20744  pntrlog2bndlem4  20745  pntrlog2bndlem5  20746  pntrlog2bndlem6  20748  pntrlog2bnd  20749  pntpbnd1a  20750  pntpbnd2  20752  pntibndlem2  20756  pntibndlem3  20757  pntlemb  20762  pntlemg  20763  pntlemh  20764  pntlemn  20765  pntlemr  20767  pntlemj  20768  pntlemf  20770  pntlemk  20771  pntlemo  20772  pnt  20779  ostth2lem1  20783  ostth2lem4  20801  ostth3  20803  pjhthlem1  21986  dya2iocbrsiga  23593  faclimlem5  24121  geomcau  26578  cntotbnd  26623  bfplem1  26649
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-rp 10371
  Copyright terms: Public domain W3C validator