MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rerpdivcld Unicode version

Theorem rerpdivcld 10607
Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
rpgecld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rerpdivcld  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )

Proof of Theorem rerpdivcld
StepHypRef Expression
1 rpgecld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 rpgecld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
3 rerpdivcl 10571 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( A  /  B
)  e.  RR )
41, 2, 3syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1717  (class class class)co 6020   RRcr 8922    / cdiv 9609   RR+crp 10544
This theorem is referenced by:  iccf1o  10971  xov1plusxeqvd  10973  expmulnbnd  11438  discr  11443  geomulcvg  12580  mertenslem1  12588  retanhcl  12687  bitsfzolem  12873  bitsfzo  12874  bitsmod  12875  odmodnn0  15105  nmoi  18633  nmoleub  18636  icopnfcnv  18838  nmoleub2lem  18993  nmoleub2lem3  18994  pjthlem1  19205  ovolscalem1  19276  ovolscalem2  19277  ovolsca  19278  mbfmulc2lem  19406  itg2const2  19500  dvferm1lem  19735  abelthlem7  20221  logdivlti  20382  logdivle  20384  logcnlem3  20402  logcnlem4  20403  advlogexp  20413  cxpaddle  20503  cxploglim  20683  cxploglim2  20684  ftalem1  20722  ftalem2  20723  basellem3  20732  fsumvma2  20865  chpval2  20869  chpchtsum  20870  chpub  20871  logfacrlim  20875  logexprlim  20876  efexple  20932  bposlem9  20943  chebbnd1lem2  21031  chebbnd1lem3  21032  chtppilim  21036  chpchtlim  21040  chpo1ubb  21042  rplogsumlem1  21045  rplogsumlem2  21046  rpvmasumlem  21048  dchrmusum2  21055  dchrvmasumlem2  21059  dchrisum0fno1  21072  dchrisum0lem1b  21076  dchrisum0lem1  21077  dchrisum0lem2a  21078  rplogsum  21088  mulog2sumlem1  21095  mulog2sumlem2  21096  vmalogdivsum2  21099  vmalogdivsum  21100  2vmadivsumlem  21101  log2sumbnd  21105  selberglem2  21107  selbergb  21110  selberg2b  21113  chpdifbndlem1  21114  selberg3lem1  21118  selberg3lem2  21119  selberg3  21120  selberg4lem1  21121  selberg4  21122  pntrsumo1  21126  selberg3r  21130  selberg4r  21131  selberg34r  21132  pntrlog2bndlem1  21138  pntrlog2bndlem2  21139  pntrlog2bndlem3  21140  pntrlog2bndlem4  21141  pntrlog2bndlem5  21142  pntrlog2bndlem6  21144  pntrlog2bnd  21145  pntpbnd1a  21146  pntpbnd2  21148  pntibndlem2  21152  pntibndlem3  21153  pntlemb  21158  pntlemg  21159  pntlemh  21160  pntlemn  21161  pntlemr  21163  pntlemj  21164  pntlemf  21166  pntlemk  21167  pntlemo  21168  pnt  21175  ostth2lem1  21179  ostth2lem4  21197  ostth3  21199  pjhthlem1  22741  esumcst  24251  dya2iocress  24418  dya2iocbrsiga  24419  dya2icobrsiga  24420  sxbrsigalem2  24430  probmeasb  24467  lgamgulmlem2  24593  lgamgulmlem3  24594  lgamucov  24601  geomcau  26156  cntotbnd  26196  bfplem1  26222  wallispilem5  27486  stirlingr  27507
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-riota 6485  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-rp 10545
  Copyright terms: Public domain W3C validator