MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rerpdivcld Structured version   Unicode version

Theorem rerpdivcld 10667
Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
rpgecld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rerpdivcld  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )

Proof of Theorem rerpdivcld
StepHypRef Expression
1 rpgecld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 rpgecld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
3 rerpdivcl 10631 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( A  /  B
)  e.  RR )
41, 2, 3syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725  (class class class)co 6073   RRcr 8981    / cdiv 9669   RR+crp 10604
This theorem is referenced by:  iccf1o  11031  xov1plusxeqvd  11033  expmulnbnd  11503  discr  11508  geomulcvg  12645  mertenslem1  12653  retanhcl  12752  bitsfzolem  12938  bitsfzo  12939  bitsmod  12940  odmodnn0  15170  nmoi  18754  nmoleub  18757  icopnfcnv  18959  nmoleub2lem  19114  nmoleub2lem3  19115  pjthlem1  19330  ovolscalem1  19401  ovolscalem2  19402  ovolsca  19403  mbfmulc2lem  19531  itg2const2  19625  dvferm1lem  19860  abelthlem7  20346  logdivlti  20507  logdivle  20509  logcnlem3  20527  logcnlem4  20528  advlogexp  20538  cxpaddle  20628  cxploglim  20808  cxploglim2  20809  ftalem1  20847  ftalem2  20848  basellem3  20857  fsumvma2  20990  chpval2  20994  chpchtsum  20995  chpub  20996  logfacrlim  21000  logexprlim  21001  efexple  21057  bposlem9  21068  chebbnd1lem2  21156  chebbnd1lem3  21157  chtppilim  21161  chpchtlim  21165  chpo1ubb  21167  rplogsumlem1  21170  rplogsumlem2  21171  rpvmasumlem  21173  dchrmusum2  21180  dchrvmasumlem2  21184  dchrisum0fno1  21197  dchrisum0lem1b  21201  dchrisum0lem1  21202  dchrisum0lem2a  21203  rplogsum  21213  mulog2sumlem1  21220  mulog2sumlem2  21221  vmalogdivsum2  21224  vmalogdivsum  21225  2vmadivsumlem  21226  log2sumbnd  21230  selberglem2  21232  selbergb  21235  selberg2b  21238  chpdifbndlem1  21239  selberg3lem1  21243  selberg3lem2  21244  selberg3  21245  selberg4lem1  21246  selberg4  21247  pntrsumo1  21251  selberg3r  21255  selberg4r  21256  selberg34r  21257  pntrlog2bndlem1  21263  pntrlog2bndlem2  21264  pntrlog2bndlem3  21265  pntrlog2bndlem4  21266  pntrlog2bndlem5  21267  pntrlog2bndlem6  21269  pntrlog2bnd  21270  pntpbnd1a  21271  pntpbnd2  21273  pntibndlem2  21277  pntibndlem3  21278  pntlemb  21283  pntlemg  21284  pntlemh  21285  pntlemn  21286  pntlemr  21288  pntlemj  21289  pntlemf  21291  pntlemk  21292  pntlemo  21293  pnt  21300  ostth2lem1  21304  ostth2lem4  21322  ostth3  21324  pjhthlem1  22885  esumcst  24447  dya2iocress  24616  dya2iocbrsiga  24617  dya2icobrsiga  24618  sxbrsigalem2  24628  probmeasb  24680  lgamgulmlem2  24806  lgamgulmlem3  24807  lgamucov  24814  itg2addnclem3  26248  ftc1anclem7  26276  geomcau  26456  cntotbnd  26496  bfplem1  26522  wallispilem5  27785  stirlingr  27806
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-rp 10605
  Copyright terms: Public domain W3C validator